UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO POLITÉCNICO
Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período
Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.
Tema de aula 5: Torção
Objetivos:
• Discutir efeitos de esforços torcionais em elemento linear longo circular.
• Determinar a distribuição de tensão e o ângulo de torção internos em regime linear-elástico
e inelástico.
• Discutir eixos e tubos estaticamente indeterminados e concentrações de tensão.
SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:
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5.1 Deformação por Torção de um Eixo Circular
5.2 Fórmula da Torção
5.3 Transmissão de Potência
5.4 Ângulo de Torção
5.5 Elementos Estaticamente Indeterminados Carregados com Torque
À titulo de Curiosidade;
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(1)-Ponto de tensão cisalhante máxima e ângulo de torção em alguns eixos sólidos não circulares
comuns na engenharia.
(2)- Tensão de cisalhamento média em tubos de paredes finas com seções transversais fechadas.
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5.6 Concentração de Tensão
“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.”
THOMAS FULLER, M.D.
5.1-Deformação por torção de um eixo circular
Torque é o momento que tende a torcer
o membro em torno de seu eixo
longitudinal.
Para rotações pequenas o comprimento total
do eixo longitudinal e do raio não mudam .
Imaginando uma extremidade fixa, veremos a
linha radial girando um ângulo de torção φ(x)
ao longo de x.
Isolaremos um elemento de comprimento Δx à distância ρ
ao longo da linha de raio c;
A face anterior e posterior do elemento
respectivamente as rotações φ(x) e φ(x)+Δφ .
sofrem
Essa diferença causa a deformação por cisalhamento γ
mostrada.
Lembrando que; radiano=arco/raio;
Vemos no elemento que: Δφ =BD/ ρ e
γ =BD/ Δx
Logo
BD = Δφ ρ = γ Δx
Fazendo Δφ->dφ e Δx->dx evidenciamos a deformação
por cisalhamento γ ;
Vemos que o ângulo φ(x) varia de forma linear ao longo de
x, (ângulo entre os planos ilustrados), ou seja dφ/dx = cte,
então:
γ = ρ cte (γ é função linear de ρ, e portanto será
máxima em ρ=c)
Concluíndo:
5.2-Fórmula da Torção
Pela lei de Hooke
τ=G γ ,
Substituindo γ e γmax em
portanto
τmax=G γmax,
temos ;
Ou seja, a tensão de cisalhamento também varia linearmente
em ρ;
Portanto um elemento dA estará sujeito a uma força
dF= τ dA, e sujeito a um torque dT= ρ dF;
Integrando podemos obter o torque total na seção
em função de τmax :
e
A integral à direita é o momento de inércia polar da área, (J), assim
são respect. as fórmulas do cisalhamento máximo e variável com o raio, devido à torção.
Obs: Pela propriedade complementar do cisalhamento, o torque T desenvolve tb uma tensão
cisalhante paralelamente ao eixo longitudinal na face do elemento :
Podendo causar falhas do tipo:
Tensão de Torção Máxima Absoluta:
Quando o eixo sofrer variação de raio (c) ou uma série de torques externos
adicionais ao longo do eixo, devemos pelo método das seções avaliar
em qual seção
τ=Tc/J será máximo.
Principais Momentos de inércia polar de áreas de seção circulares(J) :
a) Eixo sólido:
consideraremos um elemento de área
logo:
a) Eixo Tubular (raio externo Ce, e raio interno Ci):
Determinamos J ,simplesmente subtraindo Je (do raio externo Ce), de Ji (do raio interno Ci).
Exemplo:
O eixo maciço de raio c é submetido ao torque T . Determinar T’, como fração de T
resistida pelo material da região externa do eixo, entre c/2 e c.
Sol: dT = ρ dF, logo uma fração de torque será dado por
Selecionando uma faixa branca
na região;
substituindo
deveremos integrar:
Lembrando que
Então substituindo τmax em T’
relacionaremos T’ e T (total):
Fazer:
Exmpl:
Sol:
Da esquerda para direita vemos 4 regiões de torques ctes,
traçamos um diag. mostrando os torques internos nas seções destas regiões:
Vamos analisar onde a Cis. é máximo através da fórmula:
Na região onde torque é 8,5kN.m, (c) e o J são maiores:
Onde o torque é 5kN.m, (c) e o J são menores :
portanto nesta região menor está o cisalhamento máximo.
Fazer:
5.3-Transmissão de potência
O trabalho (W) transmitido por um eixo em rotação é igual ao Torque (T) multiplicado pelo
ângulo de rotação (dθ).
W=T.dθ
Logo como Potência (P) =W/dt;
P=T.dθ/dt
aqui
dθ/dt =ω (veloc. Angular)
e
V= ωr,
Logo:
P=Tω ou P=Tv/r
Unidades e conversões:
Exmp:
(1 hp = 550 pés • lb/s ) (1cv=735w) e (1hp=1.014cv)
Sol:
Do enunciado; PA=PB
logo TAVA/rA=TBVB/rB
A correia faz VA=VB ,
Logo TA/rA=TB/rB
TA/2=TB/4
TB=2TA
TA é obtido por PA=TA ωA
Lembrando de passar a potência para (pés • lb/s ):
Então TB=2TA =
O raio do eixo será
limitado pelo cis.:
Fazer:
5.4-Ângulo de torção
Suponha um eixo de seção transversal circular, que pode variar gradualmente ao longo de seu
comprimento.
Então a fórmula do torque será:
Imaginando comportamento
elástico:
Que substituído dará a def. por cis.
Faremos como em 5.1,
retirando a ‘fatia” de espessura dx:
Aqui radiano=arco/raio;
então: arco=dφ ρ = γ dx
Igualando as 2 expressões de def. cis:
A integração em todo L nos dará o Ângulo de Torção para o eixo inteiro:
Atenção:
Então, no caso de torque e área ctes:
Essa equação é usada para
obter experimentalmente o valor
de G numa maquina de rotação
quando as outras variáveis são conhecidas.
:
Se ao longo do eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes,
Convenção de sinais para torque e ângulo de torção:
Positivo se o dedo se afastar do corpo na
extremidade considerada.
Exemplo;
Sol:
Se o eixo estiver sujeito a diversos torques
Fazemos 3 seções entre os torques aplicados, obtemos seu valor na seção, e pela regra da mão
diferentes,
direita seu sinal .
O ângulo é obtido com o mesmo sinal do torque aplicando a fórmula de φ;
5.5-Elementos estaticamente indeterminados carregados com torque
Ocorre quando as equações de equilíbrio dos MOMENTOS em relação ao eixo de rotação não for
suficiente para obter os torques: Ex:
Haverão os torques nos apoios (TA e TB) :
As eq. de equil. dos momentos em torno de x fornecem:
TA e TB são indeterminados.
Precisamos de equação de compatibilidade dada pelo ângulo de torção nulo entre A e B:
Logo:
assim
é a eq. de compat. que completa o sistema.
Exemplo;
Sol: A eq. de eql dos momentos em x será:
E as de compatibilidade:
Resolvendo o sistema teremos:
τmax estará em BC:
À título de curiosidade:
1-Ponto de tensão cisalhante máxima e ângulo de torção em alguns eixos sólidos
não circulares comuns na engenharia:
À título de curiosidade:
2- Tensão de cisalhamento média em tubos de paredes finas com seções transversais fechadas.
Com uma análise complexa (aqui suprimida , mas apreciável
na bibliografia base) teremos;
onde;
Importante citar que o fluxo de cisalhamento,
é constante em qq pt da seção.
(portanto a maior tensão de cisalhamento ocorre onde a espessura é menor).
5.6-Concentração de tensão
Ocorrem em mudanças bruscas de seção transversal tais como;
O fator de concentração de tensão K é um multiplicador
Acoplamentos:
experimentalmente obtido em função da geometria.
Ps: Concentração Máx. no pt preto
Rasgos de chaveta;
Curvas de concordância:
No caso das curvas de concordância;
T é obtido pelo método das seções, na
longitude (x)
c é o raio do eixo menor.
K é obtido graficamente.
Exemplo: Os elementos estão unidos por um filete de solda de raio r = 4 mm. Determinar a tensão
de cisalhamento máxima no eixo se T = 10 N • m.
Sol:
O cis. máx. é dado por:
Com as dimensões obtemos K na
tabela;
Pelo método das seções vemos que
o torque será T/2 na região da solda,
Logo;
Fazer: O aço usado no eixo tem tensão de cisalhamento admissível de 8 MPa. Supondo que os
elementos estejam unidos por um filete de solda de raio r = 2,25 mm, determinar o torque
máximo T que pode ser aplicado.
– Bibliografia:
– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.
MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!