INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Profa. Luciana Montera
[email protected]
Faculdade de Computação – Facom/UFMS
Métodos Numéricos
Integração Numérica
• Integral definida
Integral definida
• Aplicações
li õ
• Métodos Integração Numérica
– Fórmula de Newton‐Cotes
ó u a de e o o es
• Método dos Trapézios
• Método de Simpson
Métodos Numéricos
Integral Definida
Seja f uma função contínua no intervalo [a,
[a b] da
qual se conhece a primitiva F. O valor da
integral
g definida
f
de f p
pode ser calculada usando a
fórmula de Newton‐Leibniz:
b
I   f ( x)dx  F (b)  F (a )
a
Métodos Numéricos
Integração Numérica
Integração Numérica
‐ Os
O métodos
ét d de
d integração
i t
ã numérica
é i aproximam
i
valores de integrais definidas.
‐ A integração numérica é útil quando:
‐ Não se conhece a função
ç ff. Tem‐se apenas
p
uma tabela de valores para f.
‐ f é conhecida mas é muito complexa, o que
dificulta a determinação de sua primitiva
Métodos Numéricos
Integração Numérica
Integração Numérica
‐ Os
O métodos
ét d de
d integração
i t
ã numérica
é i aproximam
i
valores de integrais definidas.
f é aproximada por uma função p, mais simples, cuja primitiva é mais fácil de se obter
cuja primitiva é mais fácil de se obter.
b
b
a
a
I   f ( x)dx   p ( x)dx
Métodos Numéricos
Integração Numérica
Integração Numérica
f é aproximada por uma função p, mais simples, cuja primitiva é mais fácil de se obter.
b
b
a
a
I   f ( x)dx   p ( x)dx
f(x)
a
b
Métodos Numéricos
Integração Numérica
Integração Numérica
f é aproximada por uma função p, mais simples, cuja primitiva é mais fácil de se obter.
b
b
a
a
I   f ( x)dx   p ( x)dx
I = área delimitada por f(x) no intervalo [a, b]
f(x)
a
b
Métodos Numéricos
Integração Numérica
Integração Numérica
f é aproximada por uma função p, mais simples, cuja primitiva é mais fácil de se obter.
b
b
a
a
I   f ( x)dx   P1 ( x)dx
P1(x)
f(x)
a
b
Métodos Numéricos
Integração Numérica
Integração Numérica
f é aproximada por uma função p, mais simples, cuja primitiva é mais fácil de se obter.
b
b
a
a
I   f ( x)dx   P1 ( x)dx
I ≈ área delimitada por P1(x) no intervalo [a, b]
P1(x)
f(x)
a
b
Métodos Numéricos
Integração Numérica
Integração Numérica
f(b)
f(a))
f(
P1(x)
f(x)
a
base_menor = f(a)
base_maior = f(b)
h = b – a h = b a
b
Área do Trapézio
 (base _ menor  base _ maior ) 
 f (a )  f (b) 
h
 h

2
2




Métodos Numéricos
Integração Numérica
Integração Numérica
f(b)
f(a))
f(
P1(x)
f(x)
a
b
b
b
a
a
I   f ( x)dx  
h
P1 ( x)dx   f (a )  f (b)
2
Métodos Numéricos
Integração Numérica
Integração Numérica
ERRO
P1(x)
f(x)
a
b
Métodos Numéricos
Métodos de Integração Numérica
Métodos de Integração Numérica
Método dos Trapézios
Método de Simpson
p
Métodos Numéricos
Método dos Trapézios
Método dos
b
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n  f ( x ) dx
a
Subintervalos [xi, xxi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
Subintervalos [x
] de comprimento h > 0 Assim temos:
Métodos Numéricos
Método dos Trapézios
Método dos
b
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n  f ( x ) dx
a
Subintervalos [xi, xxi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
Subintervalos [x
] de comprimento h > 0 Assim temos:
•
h = (b – a)/n
•
xi = a + ih, i = 0, ..., n
f(b)
f(a)
f(x)
a
b
Método dos Trapézios
Método dos
b
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n  f ( x ) dx
a
Subintervalos [xi, xxi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
Subintervalos [x
] de comprimento h > 0 Assim temos:
•
h = (b – a)/n
•
xi = a + ih, i = 0, ..., n
f(b)
f(a)
Ii
x i 1

xi
f(x)
Ii
h
P1 ( x ) dx  ( f i  f i  1 )
2
a
xi
xi+1
b
Método dos Trapézios
Método dos
Aproximação da área delimitada por f(x) Aproximação
da área delimitada por f(x)
pela área de 1 trapézio
f(x)
a
b
Método dos Trapézios
Método dos
Aproximação da área delimitada por f(x) Aproximação
da área delimitada por f(x)
pela somatória da área de n = 5 trapézios
a
b
Método dos Trapézios
Método dos
Aproximação da área delimitada por f(x) Aproximação
da área delimitada por f(x)
pela somatória da área de n = 5 trapézios
Ii
x i 1

xi
a
b
h
P1 ( x ) dx  ( f i  f i  1 )
2
Método dos Trapézios
Método dos
Aproximação da área delimitada por f(x) Aproximação
da área delimitada por f(x)
pela somatória da área de n = 5 trapézios
Ii
x i 1

xi
h
P1 ( x ) dx  ( f i  f i  1 )
2
I 
a
b
n

i0
Ii
Método dos Trapézios
Método dos
Ii
x i 1

xi
I 
h
P1 ( x ) dx  ( f i  f i  1 )
2
n 1

i0
Ii
Método dos Trapézios
Método dos
Ii
x i 1

xi
I 
h
P1 ( x ) dx  ( f i  f i  1 )
2
n 1

i0

n 1

i0
Ii
h
 f i  f i 1 
2
Método dos Trapézios
Método dos
Ii
x i 1

xi
I 
h
P1 ( x ) dx  ( f i  f i  1 )
2
n 1

i0

n 1

i0
h

2
Ii
h
 f i  f i 1 
2
 f 0 
f 1    f 1  f 2    f 2  f 3   ...   f n 1  f n 
Método dos Trapézios
Método dos
Ii
x i 1

xi
I 
h
P1 ( x ) dx  ( f i  f i  1 )
2
n 1

i0

n 1

i0
Ii
h
 f i  f i 1 
2
h
  f 0  f 1    f 1  f 2  
2
n 1
h 

  f 0  f n  2  fi  
2 
i 1

 f2
 f 3   ...   f n 1  f n 
  f0  fn 
h

2

n 1

i 1

fi 

Método dos Trapézios
Método dos
b
Seja . Considere a subdivisão do intervalo [a, b] em n  f ( x ) dx
a
Subintervalos [xi, xxi+1] de comprimento h > 0. Assim temos:
Subintervalos [x
] de comprimento h > 0 Assim temos:
•
•
h = (b – a)/n
xi = a + ih, i = 0, ..., n
= a + ih i = 0
n
 b  a   f0  fn 

I 

2
 n 
n 1

i 1

fi 

Método dos Trapézios
Método dos
Exemplo:
1
Seja f ( x ) 
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e a seguinte integral:
o intervalo [3 0 3 6] e a seguinte integral:
x
3,6

f ( x )dx
3,0
Calcule:
• o valor aproximado da integral para n = 1
• o valor aproximado da integral para n = 6
l
i d d i t
l
6
• o valor exato da integral
Método dos Trapézios
Método dos
Exemplo:
1
Seja f ( x ) 
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e n o intervalo [3 0 3 6] e n = 1. Calcule o valor 1 Calcule o valor
x
aproximado da Integral:
3,6

3,0
f ( x )dx
Método dos Trapézios
Método dos
Exemplo:
1
Seja f ( x ) 
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e n o intervalo [3 0 3 6] e n = 1. Calcule o valor 1 Calcule o valor
x
aproximado da Integral:
3,6

f ( x )dx
3,0
Solução:
 b  a   f0  fn 

I 

2
 n 
n 1

i 1

fi 

a = 3,0
b = 3,6
f0 = 1/3,0 = 0,333
fn = 1/3,6 = 0,278
n = 1
I  0 ,1833
Método dos Trapézios
Método dos
Exemplo:
1
Seja f ( x ) 
Seja , o intervalo [3,0, 3,6] e n o intervalo [3 0 3 6] e n = 6. Calcule o valor 6 Calcule o valor
x
aproximado da Integral:
3,6

3,0
f ( x )dx
Método dos Trapézios
Método dos
Solução:
a = 3,0 b = 3,6 n = 6
h = (3 6 – 3)/6 = 0,1
h = (3,6 –
3)/6 = 0 1
f0 = 1/3,0 = 0,3333 f1 = 1/3,1 = 0,3225
f2 = 1/3,2 = 0,3125 f3 = 1/3,3 = 0,3030
f4 = 1/3,4 = 0,2941 f5 = 1/3,5 = 0,2857
f6 = 1/3,6 1/3,6 = 0,2778
0,2778
Método dos Trapézios
Método dos
Solução:
 b  a    f 0  f n  n 1 
I 
  fi 

 n  2
i 1

 0,3333  0,2778 

 0,1
  0,3225  0,3125  0,3030  0,2941  0,2857
2



 0,10,3056  1,5158  0,1*1,8234
 0,1823
Método dos Trapézios
Método dos
Exemplo:
1
f (x) 
Seja , e o intervalo [3,0, 3,6]. Calcule o valor exato
da
x
Integral:
3,6

3,0
f ( x )dx
Método dos Trapézios
Método dos
Solução:
1
f (x) 
x
F ( x )  ln( x )
3,6

f ( x ) dx  F ( 3 , 6 )  F ( 3 , 0 )
3,0
 ln( 3 , 6 )  ln( 3 , 0 )
 1, 28093  1, 09861
 0 ,18232
Método dos Trapézios
Método dos
Exercício:
x
f
(
x
)

e
Seja , o intervalo [0, 1] e a seguinte integral:
1

f ( x )dx
0
Calcule:
• o valor aproximado da integral para n = 1
• o valor aproximado da integral para n = 4
• o valor aproximado da integral para n o valor aproximado da integral para n = 4
4
• o valor exato da integral
• o erro cometido em cada aproximação
Método dos Trapézios
Método dos
Solução:
Valor aproximado para n = 1
 b  a   f0  fn 

I 

2
 n 
1 0
I 
 1
n 1

  1  2 , 71828

2

i 1


fi 

a = 0
b = 1
f0 = e0 = 1
fn = ee1 = 2,71828
2 71828
n = 1
  1,85914

Método dos Trapézios
Método dos
Solução:
Valor aproximado para n = 4
 b  a   f0  fn 

I 

2
 n 
n 1

i 1

fi 

a = 0
b = 1
f0 = e0 = 1 f1 = e1 = 2,71828
f2 = ee2 = ff3 = ee3 = f4 = e4 = n = 4