Problemas de Contagem!!!
Prof. Túlio Barbosa - UFBA
O PRINCÍPIO ADITIVO: Se A e B são dois conjuntos disjuntos, com
m e n elementos, respectivamente, então A U B possui m + n
elementos.
Exemplos:
1) Numa classe existem 18 rapazes e 12 garotas. De quantas maneiras
podemos selecionar 1 estudante?
Resposta: 30 maneiras
2) Numa confeitaria há 5 sabores de picolés e 3 sabores de salgados.
Suponha que Maria só tenha permissão para tomar um picolé ou comer
um salgado. Quantos são os possíveis pedidos que Maria pode fazer?
Resposta: 8 pedidos
O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO: Se uma decisão D1 pode ser
tomada de p modos e, qualquer que seja esta escolha, a decisão D2
pode ser tomada de q modos, então o número de maneiras de se
tomarem consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a pq.
Exemplos:
1) Uma pessoa pode viajar no trecho Natal/Recife/Natal de ônibus,
automóvel, avião, navio ou trem. Se o meio de transporte da ida não é
o mesmo da volta, de quantas maneiras essa pessoa pode realizar a
viagem?
Resposta: 5.4 = 20 maneiras
2) As placas dos veículos são formadas por três letras (de um alfabeto
de 26) seguidas por 4 algarismos. Quantas placas poderão ser
formadas?
Resposta: 26³ x 104 = 175.760.000
3) Quantas são as formas de pintar a bandeira a seguir utilizando 3
cores diferentes dentre 4 dadas?
Resposta: 4 x 3 x 2 = 24 formas
4) Para pintar a bandeira abaixo, há 4 cores disponíveis. De quantos
modos ela pode ser pintada de modo que faixas adjacentes tenham
cores distintas?
Resposta: 4 x 3 x 3 = 36 modos
5) Quantos são os números de três algarismos distintos?
Resposta: 9 x 9 x 8 = 648 números
6) Quantos são os números pares de três algarismos distintos?
Resposta:
1 x 9 x 8 = 72
4 x 8 x 8 = 256
Total: 72 + 256 = 328 números
7) De quantos modos diferentes 6 pessoas podem ser colocadas
em fila?
Resposta: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 modos
Quantos divisores são pares?
Resposta: O número de divisores naturais pares é igual ao número
total de divisores naturais menos o número de divisores naturais
ímpares. Logo, 24 – 6 = 18.
Quantos são quadrados perfeitos?
Resposta: Um número natural é quadrado perfeito se, e somente se,
na decomposição em seus fatores primos só comparece expoente par.
Desse modo, existem 2 x 2 x 1 = 4 divisores naturais de 360 que são
quadrados perfeitos.
1) (OBM) Um número natural A de três algarismos detona
um número natural B de três algarismos se cada algarismo
de A é maior do que o algarismo correspondente de B. Por
exemplo, 876 detona 345; porém, 651 não detona 542 pois
1 < 2. Quantos números de três algarismos detonam 314?
A) 120
B) 240
C) 360
D) 480
E) 600
Seja XYZ um número de três dígitos que
detona 314. Devemos ter X = 4, 5, 6, 7, 8 ou
9; Y = 2, 3, ..., 9 e Z = 5, 6, 7, 8 ou 9.
Portanto, temos 6 opções para o primeiro
dígito, 8 para o segundo e 5 para o terceiro.
Ou seja 6 x 8 x 5 = 240.
2) (OBM) Quantos números pares de três algarismos têm
dois algarismos ímpares?
A) 20
B) 48
C) 100
D) 125
E) 225
Seja ABC um número par de três algarismos.
Nesse caso, há exatamente 5 possibilidades
para o algarismo C : 0, 2, 4, 6 ou 8. Como esse
número deve ter dois algarismos ímpares, os
algarismos A e B deverão preenchidos com 1, 3,
5, 7 ou 9, ou seja, há 5 possibilidades para cada
um. Logo 5 x 5 x 5 = 125 números pares de três
algarismos têm dois algarismos ímpares.
3) (OBM) Quantos números inteiros positivos menores que
500 têm exatamente 15 divisores inteiros positivos?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Sejam p,q números primos, então para que o
número de divisores inteiros e positivos seja
exatamente 15, os número precisam ser da
seguinte forma: p14 e p2q4. Assim teremos as
seguintes possibilidades: 22.34 = 324, 32.24 = 144
e 52.24 = 400.
4) (OBM) Quantos números de três algarismos ímpares
distintos são divisíveis por 3?
A) 18
B) 24
C) 28
D) 36
E) 48
Os algarismos ímpares são 1, 3, 5, 7 e 9. Para que
o número seja divisível por 3, a soma dos seus 3
algarismos deve ser múltiplo de 3. Os conjuntos de
três algarismos nessas condições são {1,3,5},
{3,5,7}, {5,7,9} e {1,5,9}. Com cada um desses
conjuntos podem-se formar seis números
diferentes. Por exemplo, para o primeiro, temos os
números 135, 153, 315, 351, 513 e 531. Portanto,
há 4 x 6 = 24 números.
5) (OBM) As permutações da palavra BRASIL foram
listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de
seis letras em um dicionário. A 361ª palavra nessa lista é:
A) BRISAL
B) SIRBAL
C) RASBIL
D) SABRIL
E) LABIRS
A palavra BRASIL tem 6 letras diferente.
Fixando a primeira letra à esquerda,
restam 5 letras. O número de palavras que
se obtém permutando-se essas 5 letras é
5x4x3x2x1=120. Portanto, após fixar à
esquerda as letras A, B e I, teremos
listado 3x120=360 palavras. Obedecendo
à ordem alfabética, a próxima letra a ser
fixada é L; escrevendo as demais letras
em ordem alfabética, teremos a palavra
LABIRS.
6) (OBM) Um número com dois dígitos distintos e não
nulos é chamado de bonito se o dígito das dezenas é maior
do que o dígito das unidades. A quantidade de números
bonitos é:
A) 72
B) 36
C) 35
D) 64
E) 56
Existem 9  8 números de dois dígitos distintos,
exatamente metade deles é bonito e a outra
metade não é. Logo existem 9  8/2 = 36
números bonitos.
7) (OBM) O desenho ao lado mostra o mapa de um país
(imaginário) constituído por cinco estados. Deseja-se
colorir esse mapa com as cores verde, azul e amarela, de
modo que dois estados vizinhos não possuam a mesma cor.
De quantas maneiras diferentes o mapa pode ser pintado?
A) 12
B) 6
C) 10
D) 24
E) 120
B
A
D
E
C
O estado A pode ser pintado de
3 formas: verde, azul ou
amarelo. Para qualquer estado
vizinho, por exemplo, o estado
B, temos duas possibilidades e
os demais estados têm suas
cores
determinadas
(1
possibilidade). Logo, podemos
colorir o mapa de 3  2 = 6
formas.
8) (OBMEP) Gabriel comprou uma rosa, um cravo e um lírio e quer
dar uma flor para cada uma de suas três amigas. Ele sabe que uma
amiga não gosta de cravos, outra não gosta de lírios e a terceira não
gosta de rosas. De quantas maneiras ele pode distribuir as flores de
modo a agradar às três amigas?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
9) (OBMEP) Manuela quer pintar as quatro paredes de seu quarto
usando as cores azul, rosa, verde e branco, cada parede de uma cor
diferente. Ela não quer que as paredes azul e rosa fiquem de frente
uma para a outra. De quantas maneiras diferentes ela pode pintar seu
quarto?
A) 8
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
10) (OBMEP) Dois casais de namorados vão sentar-se em
um banco de uma praça. Em quantas ordens diferentes os
quatro podem sentar-se no banco, de modo que cada
namorado fique ao lado de sua namorada?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8
Obs.: Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado
pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não
significado.
11) Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”.
a) possíveis?
Resposta: 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
CURIOSIDADE:
Cite um anagrama
para a palavra
ARGENTINO.
I
G
N
O
R
A
N
T
E
14) De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes
em casas não adjacentes de um tabuleiro 8 x 8? E se os
reis fossem iguais?
Resposta: O tabuleiro de 64 casas possui 4 casas de canto
(vértices), 24 casas laterais que não são vértices e 36 casas
centrais. Cada casa de canto possui 3 casas adjacentes; cada lateral
possui 5 casas adjacentes e cada central possui 8 casas adjacentes.
Vamos contar separadamente os casos que ocorrem conforme o rei
negro ocupe uma casa de canto, lateral ou central. Se o rei negro
ocupar uma casa de canto, haverá 4 posições para o rei negro e 60
posições para o rei branco, pois das 64 casas do tabuleiro uma
estará ocupada, e as 3 a ela adjacentes não poderão ser ocupadas
pelo rei branco. Haverá, portanto, 4x60 = 240 modos de dispor os
reis.
Se o rei negro ocupar uma casa lateral que não seja de canto,
haverá 24 posições para o rei negro e 58 posições para o rei
branco, pois das 64 casas do tabuleiro uma estará ocupada e as 5 a
ela adjacentes não poderão ser ocupadas pelo rei branco. Haverá,
portanto, 24x58 = 1 392 modos de dispor os reis. Se o rei negro
ocupar uma casa central, haverá 36 posições para o rei negro e 55
posições para o rei branco, pois das 64 casas do tabuleiro uma
estará ocupada, e as 8 a ela adjacentes não poderão ser ocupadas
pelo rei branco. Haverá, portanto, 36x55 = 1 980 modos de dispor
os reis. Portanto, a resposta é 240 + 1 392 + 1 980 = 3 612.
Se os reis fossem iguais, a resposta seria a metade da resposta
anterior, 1 806.
15) Cada dígito de uma calculadora é mostrado no visor
acendendo filamentos dispostos como mostra a figura a
seguir. Quantos símbolos diferentes podem ser
representados? (Não inclua o caso em que nenhum
filamento é aceso.)
Resposta: São 7 filamentos. Para cada um, há duas
possibilidades (aceso ou apagado). Logo, o número total de
configurações possíveis é
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 = 128.
Excluindo aquela em que estão todos apagados, obtemos
127 símbolos diferentes.
17) Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se
pode formar um casal? Este problema foi resolvido por
um aluno do modo a seguir: “A primeira pessoa do casal
pode ser escolhida de 10 modos, pois ela pode ser
homem ou mulher. Escolhida a primeira pessoa, a
segunda pessoa só poderá ser escolhida de 5 modos, pois
deve ser de sexo diferente do da primeira pessoa. Há
portanto 10×5 = 50 modos de formar um casal.”
A solução está certa ou errada? Se estiver errada, onde
está o erro?
O casal João e Maria foi considerado diferente do casal
Maria e João. Isso é devido ao fato de termos
trabalhado com o conceito de primeira pessoa do casal.
Por isso a resposta encontrada é o dobro da resposta
real.