Cálculo
combinatório
Prof. Jorge
Princípios de contagem

Os elementos de um conjunto finito podem ser
agrupados de várias formas, de acordo com os critérios
utilizados na formação dos agrupamentos.

O objetivo do cálculo combinatório é determinar de
quantas maneiras diferentes podem ser formados os
vários tipos de agrupamentos.

Os processos de contagem se baseiam em dois
princípios fundamentais, que passaremos a estudar
agora.
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Princípios de contagem

Princípio Aditivo de contagem;

Princípio multiplicativo de contagem.
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Princípio aditivo de contagem

Vamos considerar o seguinte problema
Suponhamos que para se deslocar de casa até o
trabalho, uma pessoa tenha as seguintes
alternativas:
 Um de seus dois automóveis (A1 e A2);
 Uma das três linhas de ônibus que fazem o
trajeto (O1, O2 e O3);
 O metrô (M).
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Princípio aditivo de contagem

De quantas maneiras diferentes ela poderia
escolher o seu transporte?
hipóteses: Automóvel ou Ônibus ou Metrô
opções:
A1
A2
2 opções
O1 O2 O 3
M
3 opções
1 opção
Portanto, a pessoa pode ir para o trabalho de:
2 + 3 + 1 = 6 maneiras diferentes
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Princípio aditivo de contagem
Suponhamos que existam duas hipóteses para
ocorrer um evento. Se houver m opções para a
primeira hipótese e n opções para a segunda
hipótese, o evento pode ocorrer de m + n
maneiras diferentes.
Esse princípio se estende para o caso de três ou
mais hipóteses.
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Princípio multiplicativo de contagem

Vamos considerar o seguinte problema
Suponhamos que um estudante pretenda
escolher um conjunto tênis – calça - camiseta
para ir à escola e que ele tenha como alternativas,
 Dois pares de tênis (T1 e T2);
 Quatro calças jeans (J1, J2, J3 e J4);
 Três camisetas (C1, C2 e C3).
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Princípio multiplicativo de contagem

De quantas maneiras diferentes ela poderia
fazer sua escolha?
Etapas:
Tênis
opções:
T1
T2
2 opções
e
Jeans
J1 J2
J3
4 opções
e
J4
camiseta
C1 C2 C3
3 opções
Portanto, a pessoa pode fazer sua escolha de:
2 . 4 . 3 = 24 maneiras diferentes
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Árvores de possibilidades
1ª etapa:
escolha do
tênis
2ª etapa:
escolha do
jeans
J1
J2
T1
J3
J4
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3ª etapa:
escolha da
camiseta
Resultado
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
T 1J 1C1
T 1J 1C2
T 1J 1C3
T 1J 2C1
T 1J 2C2
T 1J 2C3
T 1J 3C1
T 1J 3C2
T1J3C3
T 1J 4C1
T1J4C2
T 1J 4C3
Árvores de possibilidades
1ª etapa:
escolha do
tênis
2ª etapa:
escolha do
jeans
J1
J2
T2
J3
J4
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3ª etapa:
escolha da
camiseta
Resultado
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
T 2J 1C1
T 2J 1C2
T 2J 1C3
T 2J 2C1
T 2J 2C2
T 2J 2C3
T 2J 3C1
T 1J 3C2
T2J3C3
T 2J 4C1
T2J4C2
T 2J 4C3
Princípio multiplicativo de contagem
Suponhamos que um evento se componha de
duas etapas independentes. Se a primeira etapa
pode ocorrer de m maneiras e a segunda etapa,
de n maneiras, então, o evento pode ocorrer de
m . n maneiras diferentes.
Esse princípio se estende para o caso de três ou
mais etapas.
Prof. Jorge
Princípios de contagem

Os princípios aditivo e multiplicativo são a base
para resolução de problemas de cálculo
combinatório. Por isso, deve ficar muito clara a
distinção entre os dois princípios.
 A conjunção ou liga duas hipóteses e está
associado à adição.
 A conjunção e liga duas etapas e está associado à
multiplicação.
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Exemplos
 A cantina do meu colégio vende 4 tipos de salgados e
5 marcas de refrigerante. De quantas formas
distintas posso escolher meu lanche (um salgado e
um refrigerante)?
O evento se compõe de duas etapas:
1ª etapa
escolha do salgado
4 opções
2ª etapa
e
escolha do refrigerante
5 opções
Pelo, P.M.C., temos 4 . 5 = 20 maneiras diferentes
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Exemplos
 Uma igreja tem 4 portas. Quando vai lá, Marisa
sempre entra por uma porta e sai por outra. De
quantas formas diferentes ela pode fazer isso?
O evento se compõe de duas etapas:
1ª etapa
entrada
4 opções
2ª etapa
e
saída
3 opções
Pelo, P.M.C., temos 4 . 3 = 12 maneiras diferentes
Prof. Jorge
Exemplos
 Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias
estradas que ligam sua cidade A a duas cidades
vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes
sem passar por C; outras vezes, passando primeiro
por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer?
A
B
C
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Exemplos
 Valéria mora num país muito desenvolvido. Há várias
estradas que ligam sua cidade A a duas cidades
vizinhas B e C. Valéria vai muito à cidade B. Às vezes
sem passar por C; outras vezes, passando primeiro
por C. Quantos trajetos diferentes ela pode fazer?
O evento se compõe de duas hipóteses:
1ª hipótese
A→B
4 trajetos
2ª hipótese
ou
A→C
e
3 trajetos
C→B
2 trajetos
2.3=6
Valéria poderá fazer 4 + 6 = 10 trajetos diferentes.
Prof. Jorge
Exemplos
 Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9,
quantos números podem ser formados, de 3 ou 4
algarismos?
O evento se compõe de duas hipóteses:
1ª hipótese
3 algarismos
3 etapas
Prof. Jorge
2ª hipótese
ou
4 algarismos
4 etapas
Exemplos
 Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9,
quantos números podem ser formados, de 3 ou 4
algarismos?
Números de 3 algarismos:
1ª etapa
2ª etapa
3ª etapa
1º alg.
2º alg.
3º alg.
7 opções
7 opções
7 opções
Pelo, P.M.C., são 7.7.7 = 343 números de 3 algarismos
Prof. Jorge
Exemplos
 Utilizando apenas os algarismos 1, 3, 4, 6, 7, 8 e 9,
quantos números podem ser formados, de 3 ou 4
algarismos?
Números de 4 algarismos:
1ª etapa
2ª etapa
3ª etapa
4ª etapa
1º alg.
2º alg.
3º alg.
4º alg.
7 opções
7 opções
7 opções
7 opções
Pelo, P.M.C., são 7.7.7.7 = 2 401 números de 4 algarismos
Podemos formar = 343 + 2 401 = 2 744 números
Prof. Jorge
Exemplos
 Utilizando apenas os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, e 9,
quantos números naturais maiores que 7 000 e de 4
algarismos distintos podemos formar?
O evento se compõe de quatro etapas:
1ª etapa
2ª etapa
3ª etapa
4ª etapa
1º alg.
2º alg.
3º alg.
4º alg.
2 opções
5 opções
4 opções
3 opções
Pelo, P.M.C., temos 2.5.4.3 = 120 números
Prof. Jorge
Observação
 Quando trabalhamos com os elementos de
um conjunto, o princípio multiplicativo só é
válido quando for importante a ordem de
escolha dos elementos.
Prof. Jorge
Exemplo
 A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de
quantas maneiras diferentes podemos formar uma
comissão de 2 pessoas?
O evento se compõe de duas etapas:
1ª etapa
2ª etapa
escolha do
1º membro
escolha do
2º membro
4 opções
3 opções
Pelo, P.M.C., temos 4.3 = 12 comissões (incorreto)
Prof. Jorge
Exemplo
 A partir de um grupo de 4 pessoas (A, B, C e D), de
quantas maneiras diferentes podemos formar uma
comissão de 2 pessoas?
Veja as hipóteses reais
(A, B)
(A, C)
(A, D)
(B, A)
(B, C)
(B, D)
1ª comissão
2ª comissão
3ª comissão
igual à 1ª
4ª comissão
5ª comissão
(C, A)
(C, B)
(C, D)
(D, A)
(D, B)
(D, C)
igual à 2ª
igual à 4ª
6ª comissão
igual à 3ª
igual à 5ª
igual à 6ª
Na verdade, a comissão pode ser formada de 6 maneiras
diferentes.
Prof. Jorge
Agrupamentos ordenados
e não-ordenados
Prof. Jorge
Agrupamentos

O objetivo do cálculo combinatório é contar.
É descobrir de quantas formas diferentes
podem ser agrupados os elementos de um
conjunto finito, sob certas condições
definidas previamente.
Agrupamentos em que é importante a ordem em que
seus elementos são dispostos são chamados
agrupamentos ordenados.
Agrupamentos em que não é importante a ordem em
que os elementos são dispostos são chamados
agrupamentos não-ordenados.
Prof. Jorge
Exemplos
 A partir de um grupo de 5 estudantes (A, B, C, D e E),
quais são as possíveis maneiras de se formar uma
comissão de 3 pessoas?
Pretende-se simplesmente escolher 3 pessoas entre as 5
disponíveis, não importando a ordem em que elas são
dispostas.
{A, B, C} {A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E}
{A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E}
Há 10 maneiras possíveis de se formar a comissão. Cada
uma delas é um agrupamento não-ordenado.
Prof. Jorge
Exemplos
 A partir do mesmo grupo de 5 estudantes
(A, B, C, D e E), quais são as possíveis maneiras de se
formar a diretoria do grêmio estudantil, composta de
presidente (P), vice-presidente (V) e tesoureiro (T)?
(A, B, C)
(A, B, D)
(A, B, E)
(A, C, D)
(A, C, E)
(A, D, E)
(B, C, D)
(B, C, E)
(B, D, E)
(C, D, E)
Prof. Jorge
(A, C, B)
(A, D, B)
(A, E, B)
(A, D, C)
(A, E, C)
(A, E, D)
(B, D, C)
(B, E, C)
(B, E, D)
(C, E, D)
(B, A, C)
(B, A, D)
(B, A, E)
(C, A, D)
(C, A, E)
(D, A, E)
(C, B, D)
(C, B, E)
(D, B, E)
(D, C, E)
(B, C, A) (C, A, B)
(B, D, A) (D, A, B)
(B, E, A) (E, A, B)
(C, D, A) (D, A, C)
(C, E, A) (E, A, C)
(D, E, A) (E, A, D)
(C, D, B) (D, B, C)
(C, E, B) (E, B, C)
(D, E, B) (E, B, D)
(D, E, C) (E, C, D)
(C, B, A)
(D, B, A)
(E, B, A)
(D, C, A)
(E, C, A)
(E, D, A)
(D, C, B)
(E, C, B)
(E, D, B)
(E, D, C)
Exemplos
 Um grupo tem 5 pessoas (A, B, C, D, E). A seguir
aparecem critérios para agrupá-los. Identifique se
cada agrupamento é ordenado ou não-ordenado.
a) Escolher 3 pessoas para irem a uma festa. NO
b) Definir os 5 primeiros colocados num concurso. O
c) Colocar 5 pessoas em fila. O
d) Dar um mesmo presente a 4 dessas pessoas. NO
e) Dar 4 presentes diferentes a 4 dessas pessoas. O
Prof. Jorge
Exemplos
 Analise, em cada caso, se os agrupamentos são
ordenados ou não-ordenados
a) Números de 3 algarismos, formados a partir dos
algarismos 3, 4, 7, 8 e 9. Ord.
b) Códigos de 4 símbolos, escolhidos entre os
elementos do conjunto {1, 3, 7, a, b, c}. Ord.
c) Grupos de 5 alunos, escolhidos entre os 40 de
uma sala, para participarem de um evento. N-Ord.
Prof. Jorge
Exemplos
 Analise, em cada caso, se os agrupementos são
ordenados ou não-ordenados
d) Formas diferentes de colocar 10 livros lado a
lado, em uma prateleira. Ord.
e) Misturas obtidas juntando-se volumes iguais de 3
líquidos, escolhidos entre 6 disponíveis. N-Ord.
f) Retas que podem ser formadas, ligando-se 2 a 2
um conjunto de 5 pontos não-alinhados. N-Ord.
Prof. Jorge
Permutação simples
Prof. Jorge
Permutação simples
 Quantas e quais são as formas diferentes que 4
pessoas (A, B, C, D) podem ser colocadas em fila?
Veja as possibilidades
ABCD
BACD
CABD
DABC
ABDC
BADC
CABD
DACB
ACBD
BCAD
CBAD
DBAC
ACDB
BCDA
CBDA
DBCA
No total são 24 maneiras diferentes.
ADBC
BDAC
CDAB
DCAB
ADCB
BDCA
CDBA
DCBA
⇒ P4 = 24
 Dizemos que cada um desses agrupamentos ordenados é
uma permutação simples de 4 elementos.
Prof. Jorge
Permutação simples
 Permutação simples dos n elementos de um
conjunto A é cada agrupamento ordenado que
contém, sem repetição, os n elementos de A.
O número de permutações simples de n
elementos é indicado por Pn.
Prof. Jorge
Cálculo no total de permutação simples
 A formação de todas as permutações simples de n
elementos envolve n etapas, veja
A → n elementos
Etapas:
E1
E2
E3
...
En
Opções:
n
n–1
n–2
...
1
Pn = n(n – 1)(n – 2). ... . 1
Prof. Jorge
Exemplos
 O número de permutações simples de 6 elementos é
P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720
 O número de permutações simples de 5 elementos é
P5 = 5.4.3.2.1 = 120
 O número de permutações simples de 4 elementos é
P4 = 4.3.2.1 = 24
 P3 = 3.2.1 = 6
Prof. Jorge
Exemplos
 Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra”
(com ou sem significado) obtida, trocando-se suas
letras de posição. Consideremos todos os anagramas
da palavra UNIVERSO.
a) Qual é o total de anagramas?
b) Quantos começam por consoante e terminam por
vogal?
c) Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta
ordem?
d) Quantos têm as letras R, S, O juntas, em
qualquer ordem?
Prof. Jorge
Exemplos
 Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra”
(com ou sem significado) obtida, trocando-se suas
letras de posição. Consideremos todos os anagramas
da palavra UNIVERSO.
a) Qual é o total de anagramas?
P8 = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40 320 anagramas
Prof. Jorge
Exemplos
 Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra”
(com ou sem significado) obtida, trocando-se suas
letras de posição. Consideremos todos os anagramas
da palavra UNIVERSO.
b) Quantos começam por consoante e terminam por
vogal?
A palavra tem 4 vogais e 4 consoantes.
Cons.
Vogal
4 opç.
4 opç.
P6
4 . 4 . P6 = 4 . 4 . 6.5.4.3.2.1 = 11 520
Prof. Jorge
Exemplos
 Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra”
(com ou sem significado) obtida, trocando-se suas
letras de posição. Consideremos todos os anagramas
da palavra UNIVERSO.
c) Quantos têm as letras R, S, O juntas, nesta
ordem?
U
N
I
V
P6
P6 = 6.5.4.3.2.1 = 720
Prof. Jorge
E
RSO
Exemplos
 Chama-se anagrama de uma palavra, toda “palavra”
(com ou sem significado) obtida, trocando-se suas
letras de posição. Consideremos todos os anagramas
da palavra UNIVERSO.
d) Quantos têm as letras R, S, O juntas, em qualquer
ordem?
P3
U
N
I
V
E
RSO
P6
P3 . P6 = 6 . 6.5.4.3.2.1 = 4320
Prof. Jorge
Arranjo simples
Prof. Jorge
Arranjo simples
 Com os algarismos 2, 4, 5 e 8 vamos formar todos os
números possíveis de 3 algarismos distintos. Qual o
total deles?
Para formar cada número temos duas etapas:
Escolhemos
3 algarismos
Ordenamos os alg. escolhidos
2, 4, 5
245 254 425 452 524 542
2, 4, 8
2, 5, 8
248 284 428 482 824 842
258 285 528 582 825 852
4, 5, 8
458 485 548 584 845 854
 Dizemos que cada um desses números é um arranjo
simples de 4 elementos, tomados 3 a 3.
Prof. Jorge
Arranjo simples
 Arranjo simples dos n elementos de um conjunto
A, tomados p a p (p ≤ n), é cada agrupamento
ordenado que contém, sem repetição, p
elementos de A.
O número de arranjos simples de n
elementos, tomados p a p, é indicado por An,p.
 No nosso exemplo, A4,3 = 24
Prof. Jorge
Cálculo no total de Arranjo simples
 A formação de todos os arranjos simples de n
elementos, tomados p a p, envolve p etapas, veja
A → vamos escolher p entre os n elementos.
Etapas:
E1
E2
E3
...
Opções:
n
n–1
n–2
...
Ep
n – (p – 1)
An,p = n(n – 1)(n – 2). ... . (n – p + 1)
Prof. Jorge
n!
A 
n  p !
p
n
Cálculo no total de Arranjo simples
 No cálculo de An,p
significados de n e p.
An,p
Prof. Jorge
é
importante
n → primeiro fator
p → número de fatores
perceber
os
Exemplos
 A4,3 = 4.3.2 = 24
1.º fator → 4
Número de fatores → 3
 A8,5 = 8.7.6.5.4 = 6 720
 An+1,3 = (n + 1)n(n – 1)
1.º fator → 8
Número de fatores → 5
1.º fator → n
Número de fatores → 3
 An,p é o produto dos p números naturais consecutivos
tomados decrescentemente a partir de n.
Prof. Jorge
Exemplos
 Formei todos os arranjos simples com os elementos
de um conjunto A, tomados 2 a 2. Eram 90 arranjos.
Quantos são os elementos de A?
An,2 = 90
Prof. Jorge
⇒
n(n – 1) = 90
⇒
n = 10
Exemplos
 Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5,
6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar
a) De 4 algarismos?
b) Ímpares, de 3 algarismos?
c) Maiores que 70 000?
Prof. Jorge
Exemplos
 Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5,
6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar
a) De 4 algarismos?
A7,4 = 7.6.5.4 = 840
Prof. Jorge
Exemplos
 Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5,
6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar
b) Ímpares, de 3 algarismos?
ímpar
A6,2
5 opções
5 . A6,2 = 5 . 6.5 = 150
Prof. Jorge
Exemplos
 Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5,
6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar
c) Maiores que 70 000?
Nesse caso, há três hipóteses:
1.ª hipótese: números de 5 algarismos
2 opções
(7 ou 9)
A6,4
2 . A6,4 = 2 . 6.5.4.3
Prof. Jorge
= 150
Exemplos
 Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5,
6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar
c) Maiores que 70 000?
Nesse caso, há três hipóteses:
2.ª hipótese: números de 6 algarismos
A7,6 = 7.6.5.4.3.2 = 5 040
Prof. Jorge
Exemplos
 Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5,
6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar
c) Maiores que 70 000?
Nesse caso, há três hipóteses:
3.ª hipótese: números de 7 algarismos
A7,7 = P7 = 7.6.5.4.3.2.1 = 5 040
Prof. Jorge
Exemplos
 Utilizando-se, sem repetição, os algarismos 1, 3, 4, 5,
6, 7 e 9, quantos números distintos podemos formar
c) Maiores que 70 000?
1.ª hipótese: 720
2.ª hipótese: 5 040
3.ª hipótese: 5 040
Total: 720 + 5 040 + 5 040 = 10 800
Prof. Jorge
Exemplos
 Um torneio de futebol é disputado por 8 equipes: A,
B, C, D, E, F, G e H.
a) Quantas são as alternativas de definição dos 4
primeiros colocados?
b) Se a equipe E já foi declarada campeã
antecipadamente, quantas são as alternativas de
definição do 2.º ao 4.º colocado?
Prof. Jorge
Exemplos
 Um torneio de futebol é disputado por 8 equipes: A,
B, C, D, E, F, G e H.
a) Quantas são as alternativas de definição dos 4
primeiros colocados?
A8,4 = 8.7.6.5 = 1 680
b)
Se a equipe E já foi declarada campeã
antecipadamente, quantas são as alternativas de
definição do 2.º ao 4.º colocado?
A7,3 = 7.6.5 = 210
Prof. Jorge
Combinação simples
Prof. Jorge
Combinação simples
 Tenho 5 amigos (A, B, C, D, E) e quero convidar 3
deles para a festa de meu aniversário. Quantas
alternativas tenho?
O meu problema é escolher apenas 3 dos 5 amigos.
{A, B, C} {A, B, D} {A, B, E} {A, C, D} {A, C, E}
{A, D, E} {B, C, D} {B, C, E} {B, D, E} {C, D, E}
No total são 10 maneiras diferentes.
⇒ C5,3 = 10
 Dizemos que cada um desses agrupamentos é uma
combinação simples de 5 elementos, tomados 3 a 3.
Prof. Jorge
Combinação simples
 Combinação simples dos n elementos de um
conjunto A, tomados p a p (p ≤ n), é cada
agrupamento não-ordenado que contém, sem
repetição, p elementos de A.
O número de combinações simples de n
elementos, tomados p a p, é indicado por Cn,p.
Prof. Jorge
Cálculo no total de Combinações simples
 O cálculo do número de combinações simples está
relacionado ao cálculo do número de arranjos
simples e de permutações simples.
A formação de arranjos simples envolve duas etapas:
1ª etapa
2ª etapa
Formação das
combinações
simples
Formação das
permutações
simples
Cn,p . Pp = An,p
Prof. Jorge
⇒
Cn,p =
Resultado
Formação dos
arranjos
simples
An,p
Pp
Exemplos
 C10,4 =
 C12,3 =
 Cn – 1,2 =
Prof. Jorge
A10,4
P4
A12,3
P3
=
=
An – 1,2
P2
10.9.8.7
4.3.2.1
12.11.10
3.2.1
=
= 210
= 220
(n – 1).(n – 2)
2
Exemplos
 Duas pessoas de um grupo de amigos serão
escolhidas para cuidarem dos preparativos de uma
festa. A escolha pode ser feita de 21 modos
diferentes. Quantas pessoas há no grupo?
Cn,2 = 21
⇒
⇒
An,2
P2
= 21
n.(n – 1)
2
= 21
⇒ n.(n – 1) = 42 ⇒ n = 7
Prof. Jorge
Exemplos
 Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De
quantos modos pode-se formar uma comissão de:
a)
b)
c)
d)
5
7
4
3
pessoas?
pessoas, com exatamente 3 professores?
pessoas, com pelo menos 3 professores?
pessoas, com pelo menos 1 professor?
Prof. Jorge
Exemplos
 Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De
quantos modos pode-se formar uma comissão de:
a) 5 pessoas?
C11,5 =
Prof. Jorge
A11,5
P5
=
11.10.9.8.7
5.4.3.2.1
= 462
Exemplos
 Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De
quantos modos pode-se formar uma comissão de:
b) 7 pessoas, com exatamente 3 professores?
1ª etapa
2ª etapa
Escolher 4
alunos
Escolher 3
professores
C7,4
C4,3
C7,4 . C4,3 =
Prof. Jorge
7.6.5.4
4.3.2.1
.
4.3.2
3.2.1
= 35 . 4 = 140
Exemplos
 Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De
quantos modos pode-se formar uma comissão de:
c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores?
Temos 2 hipóteses:
1ª hipótese:
C7,1 . C4,3
Prof. Jorge
= 7 .
1ª etapa
2ª etapa
Escolher 1
aluno
Escolher 3
professores
C7,1
C4,3
4.3.2
3.2.1
=7.4
= 28
Exemplos
 Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De
quantos modos pode-se formar uma comissão de:
c) 4 pessoas, com pelo menos 3 professores?
Temos 2 hipóteses:
2ª hipótese:
C4,4 =
4.3.2.1
4.3.2.1
Escolher 4 professores
=1
Pelo princípio aditivo, 28 + 1 = 29 maneiras
Prof. Jorge
Exemplos
 Um grupo é formado por 7 alunos e 4 professores. De
quantos modos pode-se formar uma comissão de:
d) 3 pessoas, com pelo menos 1 professor?
Total de
comissões de
3 pessoas
C11,3 =
11.10.9
3.2.1
menos
= 165
Total de comissões
de 3 pessoas, só
com alunos
C7,3 =
7.6.5
3.2.1
165 – 35 = 130 maneiras.
Prof. Jorge
= 35
Exemplos
 Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos
em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos,
quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos
podemos construir?
Veja a ilustração da situação.
r
s
Prof. Jorge
Exemplos
 Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos
em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos,
quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos
podemos construir?
Total de triângulos.
(2 pontos de r e 1 de s)
C5,2 . C6,1
5.4
2.1
.6
ou
(1 ponto de r e 2 de s)
+
C5,1 . C6,2
5.
6.5
2.1
C5,2 . C6,1 + C5,1 . C6,2 = 60 + 75 = 135
Prof. Jorge
Exemplos
 Duas retas r e s são paralelas. Tomam-se 5 pontos
em r e 6 pontos em s. Com vértices nesses pontos,
quantos triângulos e quantos quadriláteros convexos
podemos construir?
Total de quadriláteros é obtido escolhendo-se 4 pontos,
sendo 2 de r e 2 de s.
C5,2 . C6,2 =
Prof. Jorge
5.4
2.1
.
6.5
2.1
= 10. 15 = 150
Distinguindo permutações,
arranjos e combinações
simples
Prof. Jorge
Arranjos, combinações ou permutações?
Critério de
formação
Tipo de
agrupamento
Nome do
agrupamento
Só ordenar os
elementos (todos)
Ordenado
Permutação
Só escolher os
elementos
Não-ordenado
Combinação
Escolher e ordenar
os escolhidos
Ordenado
Arranjo
Prof. Jorge