CONTAGEM
Aula de hoje
• Correção dos Exercícios
• Permutações com Repetição
• Combinações com Repetição
• Permutações com Objetos Idênticos
• Distribuição de Objetos em Caixas
Exercício 5
• Para fazer uma viagem Rio - São Paulo – Rio, posso usar
como transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos
modos posso escolher os transportes se não desejo usar
na volta o mesmo meio de transporte usado na ida?
• Três meios de transporte
Exercício 5
• Ida (Rio – São Paulo)
Posso ir de 3 formas diferentes
Exercício 5
• Ida (Rio – São Paulo)
Posso ir de 3 formas diferentes
• Volta (São Paulo - Rio)
Posso voltar somente de 2 formas diferentes
Exercício 5
• Ida (Rio – São Paulo)
Posso ir de 3 formas diferentes
• Volta (São Paulo - Rio)
Posso voltar somente de 2 formas diferentes
Logo: 3 x 2 = 6 modos de se fazer a viagem.
Exercício 6
• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco
e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor.
De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
3 cores
Exercício 6
• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco
e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor.
De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
Possibilidades para pintar
3 cores
?
?
?
3 cores
Exercício 6
• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco
e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor.
De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
Possibilidades para pintar
3 cores
2 cores
2 cores
2 cores
3 cores
Exercício 6
• Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem
ser coloridas usando se apenas as cores amarelo, branco
e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor.
De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
Possibilidades para pintar
3 cores
2 cores
2 cores
2 cores
Total = 24 cores
3 cores
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
________
_________
__________
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
____9____
____?_____
Não pode ser o 0
____?______
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
____9____
____9_____
____?______
Deve ser distinto
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
____9____
____9_____
____8______
Deve ser distinto
Exercício 7
• Quantos números naturais de três algarismos distintos
(na base 10) existe?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
base 10
____9____
____9_____
= 648
____8______
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
______
______
_______
____?____
quantos são possíveis aqui?
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
______
______
_______
tem que ser o 5
____1____
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__?____
______
_______
____1____
Quantos são possíveis aqui?
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__3___
______
_______
Não pode ser o 5
____1____
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__3___
___?___
___?____
____1____
Quantos são possíveis aqui?
Exercício 8
• Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10),
que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem
ser formados usando se apenas os algarismos 2,3,4 e 5?
__3___
___4___
___4____
____1____
Total de 48 modos!!!
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____
_____?______ _____?_____
De quantos modos podemos escolher?
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____
_____?______ _____5_____
Pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____
_____?______ _____5_____
De quantos modos podemos escolher?
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____?_____
_____?______ _____5_____
Depende!!!!
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
_____9_____
_____?______ _____0_____
O zero foi usado no ultimo!!!!
_____8_____ _____?______ __2,4,6,8___
Não pode ser 0 nem o ultimo usado
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
• Caso 1) Termina com 0
_____9_____
_____8______ _____1_____
• Caso 2) Não termina com 0
_____8_____
_____8______ _____4_____
Exercício 8
• Quantos são os números naturais pares que se escrevem
(na base 10) com três algarismos?
• Caso 1) Termina com 0 = 72 números
_____9_____
_____8______ _____1_____
• Caso 2) Não termina com 0 = 256 números
_____8_____
_____8______ _____4_____
Total = 72 + 256 = 328
Permutação e Combinação
• A ordem dos
• Permutação
?
• Combinação
elementos é
importante
• A ordem dos
elementos não
importa
Permutação e Combinação
• A ordem dos
• Permutação
elementos é
importante
• Combinação
• A ordem dos
elementos não
importa
Pergunta?
• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas:
____26____ ____25____ ____24____
P(26,3) = 26! / (26-3)!
Pergunta?
• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas:
____26____ ____25____ ____24____
P(26,3) = 26! / (26-3)!
• Repetidas:
____?____ ____?____ ____?____
Pergunta?
• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas:
____26____ ____25____ ____24____
P(26,3) = 26! / (26-3)!
• Repetidas:
____26____ ____26____ ____26____
263
Permutações com Repetição
• Quantas palavras de extensão 3 podem ser formadas
com 26 letras?
• Distintas: P(n,r) = n! / (n-r)!
• Repetidas:
• O número de r-permutações de um conjunto com n
objetos, com repetição, é nr
Pergunta?
• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um
baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
Pergunta?
• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um
baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
Combinações com Repetição
• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos
elementos é permitida.
Combinações com Repetição
• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos
elementos é permitida.
• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um
baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
• O que é n?
• O que é r?
Combinações com Repetição
• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos
elementos é permitida.
• De quantas formas podemos escolher 3 cartas de um
baralho vermelho e azul, se a ordem não é relevante?
• n são as possíveis escolhas (2 cores)
• r é o numero de cartas a serem escolhidas (3)
Combinações com Repetição
• Há C(n+r-1, r) = C(n+r-1, n-1) r-combinações de um
conjunto com n elementos, quando a repetição dos
elementos é permitida.
• C(2+3-1, 3) = C(4,3) = 4
Pergunta
• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém
maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada
pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da
fruta, e o pedaço individual não é relevante também,
sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de
fruta na tigela?
Pergunta
• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém
maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada
pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da
fruta, e o pedaço individual não é relevante também,
sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de
fruta na tigela?
COMBINAÇÃO
Pergunta
• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém
maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada
pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da
fruta, e o pedaço individual não é relevante também,
sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de
fruta na tigela?
C(n+r-1,r) = C(?,?)
Pergunta
• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém
maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada
pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da
fruta, e o pedaço individual não é relevante também,
sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de
fruta na tigela?
C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4)
Pergunta
• Há quantas maneiras possíveis de escolher quatro
pedaços de fruta a partir de uma tigela que contém
maçãs, laranjas e pêras, se a ordem em que cada
pedaço é escolhido não é relevante, apenas o tipo da
fruta, e o pedaço individual não é relevante também,
sendo que há pelo menos 4 pedaços de cada tipo de
fruta na tigela?
C(n+r-1,r) = C(3+4-1,4) =
= C(6,4) = 6x5 / 2 = 15
Pergunta
Exercício 10
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
Exercício 10
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
Pergunta
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
Pergunta
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será
considerado o número de permutações de 7 letras.
3 S ´s
2 C ´s
1Ue1E
Permutações com objetos idênticos
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será
considerado o número de permutações de 7 letras.
3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)
2 C ´s
1Ue1E
Permutações com objetos idênticos
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será
considerado o número de permutações de 7 letras.
3 S ´s
2 C ´s
1U
1E
podem ser colocados em 7 posições C(7,3)
podem ser colocados em 4 posições C(4,2)
C(2,1)
C(1,1)
Permutações com objetos idênticos
• Quantos são os anagramas de PRATICO?
P(7,7) = 7!
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
• Como algumas letras de SUCCESS são idênticas, não será
considerado o número de permutações de 7 letras.
3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)
2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2)
1U
C(2,1)
1E
C(1,1)
= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420
Permutações com objetos idênticos
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
3 S ´s podem ser colocados em 7 posições C(7,3)
2 C ´s podem ser colocados em 4 posições C(4,2)
1U
C(2,1)
1E
C(1,1)
= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420
= 7! / 3! x 2! x 1! x 1!
Teorema?!!
Permutações com objetos idênticos
• Quantos são os anagramas de SUCCESS?
= C(7,3)xC(4,2)xC(2,1)xC(1,1) = 420
= 7! / 3! x 2! x 1! x 1!
O número de permutações diferentes de n objetos, em que
há n1 objetos idênticos do tipo 1, n2 objetos idênticos do
tipo 2, ... E nk objetos idênticos do tipo k, é
n!
n1! n2! ... nk!