Análise Combinatória
1
ANÁLISE COMBINATÓRIA é uma
parte da matemática que estuda os
agrupamentos de elementos sem
precisar de enumerá-los.
A origem desse assunto está ligada ao
estudo dos jogos de azar, tais como:
lançamento de dados, jogos de cartas,
etc.
2
Atualmente, a estimativa de acertos
em jogos populares como: loteria
esportiva, loto, loteria federal, etc.,
além de utilizações mais específicas,
como confecções de horários, de
planos de produção, de números de
placas de automóveis etc.
3
Fatorial é uma operação !
Ex.: 2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Convenção 0! = 1
4
1! = 1
Observação: n! = n (n – 1)!
Ex.: 8! = 8 . 7!
10! = 10 . 9!
Exemplo:Simplificar a expressão:
100 !
98 !

100 x 99 x 98 !
 9900
98 !
5
O Triângulo de Pascal assim como o conhecemos,
na verdade não foi descoberto por Pascal, ou por
Tartaglia, como é conhecido na Itália; na verdade o
cálculo de combinações e arranjos, data 200 a.c.
com Pingala, na Índia.
Na China, 1700 antes de Pascal, mas em 1.654
um famoso jogador denominado “O Cavaleiro de
Méré” escreveu uma carta ao famoso matemático
Blaise Pascal, propondo-lhe resolver alguns
problemas matemáticos como jogos de dados e
probabilidades.
6
Propriedades do Triângulo de
Pascal
7
 Observamos que todas as linhas
começãm e terminam em 1;
 Na construção não é necessário
calcular os coeficientes binomiais um a
um. A partir da 3ª linha, cada elemento(
com exceção do primeiro e do último) é a
soma dos elementos da linha anterior,
imediatamente acima dele. Esta
propriedade é conhecida como relação
de Stifel.
8
n=0 1
Triângulo Aritmético de
Pascal
3
3
1
n=4 1
4
6
4
1
n=5 1
5
10
10
5
1
n=6 1
6
15
20
15
6
1
n=7 1
7
21
35
35
21
7
1
n=8 1
8
28
56
70
56
28
8
1
p=5
p=6
p=7
p=8
p=3
n=3 1
p=2
1
p=1
2
p= 0
n=2 1
p=4
n=1 1 1
9
Simetria
O triângulo de Pascal apresenta simetria
em relação à altura, se escrito da
seguinte forma:
n  n 
   

 p n  p
10
n=0
1
n=1
1 1
n=2
1
2
1
n=3
1
3
3
1
n=4
1
4
6
4
1
n=5
1
5
10
10
5
1
n=6
1
6
15
20
15
6
1
n=7
1
7
21
35
35
21
7
1
n=8
1
8
28
56
70
56
28
8
p= 0
p=1
p=2
p=3
1
p=8
p=7
p=6
11
p=5
p=4
O s simétricos são
iguais.
A soma dos elementos de cada linha é uma
potência de 2, cujo expoente corresponde à
ordem da linha:c
12
Aplicação
No conjunto A = { 1,2,3} o número de
subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos
( soma das linhas) ,ou seja,
P(A)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
13
1
2
1
n=3
1
3
3
1
n=4
1
4
6
4
1
n=5
1
5
10
10
5
1
n=6
1
6
15
20
15
6
1
n=7
1
7
21
35
35
21
7
1
n=8
1
8
28
56
70
56
28
8
p= 0
p=1
p=2
p=3
14
1
p=8
n=2
p=7
1 1
p=6
n=1
p=5
1
p=4
n=0
Os números naturais aparecem em
sequência na segunda diagonal.
15
Os números triangulares aparecem na
3ª diagonal, representam a soma dos
naturais:
1; 1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 3 = 6, etc.
Generalizando,
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
n ( n  1)
2
16
17
Os números tetraédricos são o número
de pontos com que se pode definir um
tetraedro,
Tn 
1
n ( n  1)( n  2 ) , com n  N
6
18
*
19
Seqüência de Fibonacci
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...
Os números de Fibonacci aparecem com
frequência na natureza, esses números
começam pelo 1 e cada um dos seguintes
é a soma dos dois anteriores.
No Triângulo de Pascal os números de
Fibonacci aparecem como soma dos
números das diagonais secundárias:
20
21
Curiosidade
Retângulo Áureo e o Nautilus
Anexando dois quadrados com lado=1,
teremos um retângulo 2x1, sendo o lado
maior igual à soma dos lados dos
quadrados anteriores. Anexamos agora
outro quadrado com lado=2 (o maior
lado do retângulo 2x1) e teremos um
retângulo 3x2.
22
Continuamos a anexar quadrados com
lados iguais ao maior dos comprimentos
dos retângulos obtidos no passo anterior.
A sequência dos lados dos próximos
quadrados é: 3,5,8,13,... que é a
sequência de Fibonacci.
23
Usando um compasso, trace um quarto
de círculo no quadrado de lado L=13
( figura abaixo), repita o processo para os
outros quadrados,
24
Com as concordâncias dessas curvas,
obtemos uma espiral como a do Nautilus
marinho.
25
Binômio de Newton
Uma das aplicações que Pascal fazia
era a determinação dos coeficientes
binomiais, quando fazemos a expansão
do binômio de Newton:
( a  b )  a  2 ab  b
2
2
2
O desenvolvimento acima tem como
coeficientes os números da linha 2 do
triângulo.
26
Já se desejarmos a expansão de ( a  b )
3
Pegaremos a linha 3, e assim por
diante.
27
Herança Quantitativa ou Poligênica
Na herança quantitativa dois ou mais
pares
de
alelos
determinam
o
fenótipo.Por isto é também chamada de
herança poligênica.
O número de fenótipos que podem ser
encontrados depende do número de
pares de alelos envolvidos, que
chamamos de n:
O número de fenótipos = 2n +1
28
Quando estão envolvidos 2 pares de
genes haverá 5 fenótipos possíveis.
Se forem 3 pares serão 7 fenótipos;
Se forem 4 pares serão 9 fenótipos e
assim por diante.
Sabemos que a frequência de fenótipos
se distribui em uma curva normal,
assunto
que
será
abordado
posteriormente.
29
Expressividade do caráter
a = mínima, b = média, c = máxima
30
Cor da pele humana
No caso da cor da pele humana,
considerando apenas 5 fenótipos,
envolvendo dois pares de genes N e B,
que teriam a mesma função, ou seja,
acrescentar uma certa quantidade de
melanina à pele, se efetivos (N ou B)
ou não acrescentar nada, se não
efetivos (n ou b).
31
Se acontecer um cruzamento entre
dihíbridos, quais serão as proporções
fenotípicas
da
descendência?
Usando a Genética: (quais são os
gametas e os tipos possíveis de filhos
gerados?)
32
NnBb x NnBb
Gametas produzidos por ambos:
NB, Nb, nB e nb
Gametas
NB
Nb
NB
NNBB NNBb NnBB NnBb
Nb
NNBb NNbb NnBb Nnbb
nB
NnBB NnBb nnBB nnBb
nb
NnBb Nnbb
33
nB
nnBb
nb
nnbb
Fenótipos
Negro(NNBB )
mulatos escuros
(NNBb ou nNBB )
mulatos médios
(NNbb, nnBB ou
NnBb )
mulatos claros
(Nnbb ou nnBb )
Branco (nnbb )
Número de genes
4 genes efetivos e 0 não
efetivos
3 genes efetivos e 1 não
efetivo
2 genes efetivos e 2 não
efetivos
1 gene efetivo e 3 não
efetivos
0 genes efetivos e 4 não
efetivos
34
Usando o Triângulo de Pascal:
Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B)
e de q = genes não efetivos = 2 (n ou b)
Procura-se no triângulo a linha em que o
número de genes é igual a 4.
no. genes
coeficientes
0
1
1
1 1
2
1 2 1
3
1 3 3 1
4
135 4 6 4 1
1
negro
4 efetivos e 0 não efetivo
4
mulatos escuros 3 efetivos e 1 não efetivo
6
mulatos médios
2 efetivos e 2 não efetivos
4
mulatos claros
1 efetivo e 3 não efetivos
1
branco
0 efetivo e 4 não efetivos
Portanto, na descendência chega-se à seguinte
proporção fenotípica: 1 negro : 4 mulatos
escuros: 6 mulatos médios : 4 mulatos claros : 1
branco.
36
Princípio Fundamental de
Contagem
01. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de
quantas maneiras ela poderá se vestir?
A escolha de uma camisa poderá ser feita de
cinco maneiras diferentes. Escolhida a primeira
camisa poderá escolher uma das quatro saias.
Portanto, o número total de escolhas será: 4 x
5 = 20
37
02. Uma moeda é lançada três vezes.
Qual o número de seqüências
possíveis de cara e coroa?
Indicaremos por C o resultado cara e
K o resultado coroa.
Queremos o número de triplas
ordenadas(a,b,c) onde a  {C,K},b 
{C,K} e c  {C,K}, logo, o resultado
procurado é
2.2.2 = 8
38
Pelo o Diagrama da
Árvore
C
C
C–C–C
K
C–C–K
C
C–K–C
K
C–K–K
C
K
C
K–C–C
K
K–C–K
C
K–K–C
K
K–K-K
C
K
K
39
03. Quantos números de 3
algarismos podemos formar com
os algarismos significativos (1 a
9)?


9
x
números

9
x
40
9
= 729
E se fossem com algarismos distintos?
9
x
8
x
7 = 504 números
41
04. Quantos números de quatro algarismos
distintos podemos formar no sistema de
numeração decimal?
Resolução:
Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
9
x
9
x
8
x
7
O número não começar por 0 (zero), logo:
9 . 9 . 8. 7 = 4.536
Resposta: 4.536 números
42
05. Em uma corrida de 6 carros,
quantas são as possibilidades do 1º,
2º e 3º lugares?
1º lugar 2º lugar

3º lugar

6
x
5
possibilidades

x
43
4
= 120
06. Quantos são os divisores de 72?
Os divisores de 72 são do tipo 2x . 3y
(pois 72=23.32) onde: x  {0, 1, 2, 3} e
y  {0, 1, 2}.
Logo teremos: 4 possibilidades para
x e 3 possibilidades para y.
Total: 4 x 3 = 12
44
07. Quantos resultados podemos obter na
loteria esportiva?
Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos
temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2.
Pelo P.F.C., teremos:
Jogo 1
Jogo 2
Jogo 14
C1 Cm C2
C1 Cm C2
C1 Cm C2
3
x
3
x...x
45
3
= 314
EM RESUMO:
1º) Quantas escolhas devem ser feitas.
2º) Quantas opções cada escolha tem.
3º) Multiplicar tudo!
 Se o problema não depender da ordem
( por exemplo: comissões, escolhas, jogos,
equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão,
casais, grupos, etc.) dividimos o resultado
pelo fatorial das escolhas.
46
08. Existem 3 linhas de ônibus ligando a
cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à
cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C,
passando por B. De quantos modos
diferentes a pessoa poderá fazer essa
viagem?
Resolução:
de A para B = 3 possibilidades
de B para C = 4 possibilidades
Logo, pelo princípio fundamental de contagem,
temos: 3 . 4 = 12
Resposta: 12 modos
47
09. A placa de um automóvel é
formada por duas letras seguidas por
um número de quatro algarismos.
Com as letras A e R e os algarismos
ímpares, quantas placas diferentes
podem ser constituídas, de modo que
o número não tenha algarismo
repetido?
48
Resolução:
Placa:
2 . 2
. 5
. 4
. 3
Pelo princípio fundamental
contagem, temos:
2 . 2 . 5. 4. 3. 2 = 480
Resposta: 480 placas
49
. 2
da
10. Quantos números de três
algarismos distintos podemos formar
com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7?
5
x
4
x
 5 x 4 x 3 = 60
3
Respostas: 60 números
50
11. Com os algarismos de 1 a 9,
quantos números de telefone podem
formar-se com 6 algarismos, de
maneira que cada número tenha
prefixo 51 e os restantes sejam
números todos diferentes, incluindose os números que formam o
prefixo?
51
Resolução:
Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
Prefixo 
7 x 6 x
5 x 4
colocando-se o prefixo 51, restam 7
algarismos, logo: 7 . 6 . 5. 4 = 840
Resposta: 840 números
52
12. Um tabuleiro especial de xadrez
possui 16 casas dispostas em 4 linhas
e 4 colunas. Um jogador deseja
colocar 4 peças no tabuleiro, de tal
forma que, em cada linha e cada
coluna, seja colocada apenas uma
peça. De quantas maneiras as 4
peças poderão ser colocadas?
53
Resolução:
Para se colocar 01 peça temos 16 maneiras.
Para a 3ª e 4ª peças temos, respectivamente,
4 e 1 maneiras.
Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576
Resposta: 576 maneiras
54
13. Um torneiro esportivo entre duas escolas
será decidido numa partida de duplas mistas
de tênis. A Escola E inscreveu nesta
modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe
de tenistas da Escola F conta com 5 rapazes
e 3 moças. Calcule de quantas maneiras
poderemos escolher os quatro jogadores
que farão a partida decisiva, sabendo que
uma das jogadoras da equipe E não admite
jogar contra seu namorado, que faz parte da
equipe F.
55
Resolução:
Cálculo da quantidade de maneiras
de formação das equipes:
Escola E  6. 4 = 24 maneiras
Escola F  5 . 3 = 15 maneiras
56
Assim, os quatro jogadores podem ser
escolhidos de: 24 . 15 = 360 maneiras.
Excluindo os casos nos quais os
namorados jogam entre si, que são em
números de:
(6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos:
360 – 18 = 342
Resposta: 342 maneiras
57
14. De quantos modos pode-se
pintar as faces laterais de uma
pirâmide
pentagonal
regular,
utilizando-se oito cores diferentes,
sendo cada face de uma única cor?
58
Resolução:
Supondo-se que todas as cinco faces
laterais da pirâmide sejam pintadas com
cores diferentes duas a duas, e que a
pirâmide esteja fixa, o número de modos
de pintar suas faces laterais, utilizando 8
cores diferentes, será dado por:
8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720
Resposta: 6.720 modos
59
15) (Cesgranrio/2005) A senha de certo
cadeado é composta por 4 algarismos
ímpares, repetidos ou não. Somando-se os
dois primeiros algarismos dessa senha, o
resultado é 8; somando-se os dois últimos,
o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais
informações abrirá esse cadeado em no
máximo n tentativas, sem repetir nenhuma.
O valor de n é igual a:
a) 9
b) 15
c) 20
d) 24
e) 30
60
Resolução:
Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9
Soma 8 : 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou
seja, 04 opções;
Soma 10 : 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e
1, ou seja, 05 opções.
Total de tentativas : 04 x 05 = 20
Portanto n = 20 tentativas.
61
16. Observe o diagrama
O número de ligações distintas entre
X e Z é:
a) 39
b) 41
c) 35
d) 45
62
Resolução:
Possíveis caminhos
XRZ = 3.1 = 3
XRYZ = 3.3.2 = 18
XYZ = 1.2 = 2
XSYZ = 3.2.2 = 12
XSZ = 3.2 = 6
TOTAL = 41
63
17. A quantidade de números de três
algarismos, maiores que 500, que
podem ser formados com os
algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com
repetição, é igual a:
a) 10
b) 20
c) 48
d) 52
e) 100
64
Resolução: é um problema em que o
português é quem manda, a maioria
das pessoas cometeriam o erro de
fazer o cálculo:
4 x 5 x 5 = 100(errado!)
Porém, quando o problema fala com
repetição, os algarismos devem ser
repetidos,assim:
65
Nº com algarismos repetido mais nº com
algarismos distintos é igual ao total de nº que
podem ser formados Usando o P.F.C.
teremos:
Nº com algarismos repetidos = x
Nº com algarismos distintos = 4x4x3 = 48
Total de nº formados = 4x5x5 = 100
Portanto, x + 48 = 100 x = 52
Resposta : Letra D.
66
18. Duas das cinqüenta cadeiras de uma
sala serão ocupadas por dois alunos. O
número de maneiras distintas possíveis
que esses alunos terão para escolher
duas das cinqüenta cadeiras, para ocupálas, é:
a) 1225
b) 2450
c) 250
d) 49!
Resolução: 50 x 49 = 2450
67
19. Com relação a palavra BRASIL, quantos
anagramas podemos formar:
a) No total ?
Resolução: 6! = 720
b) Começados por BR ?
Resolução: 4! = 24  |BR| 4.3.2.1
c) Começando por vogal e terminando em
consoante ?
Resolução: 2 . 4.3.2.1. 684 = 192
d) Com as letras BR juntas nesta ordem?
Resolução:BR
juntas
significa
que
formarão uma única letra, logo o
anagrama será composto de 5 letras,
portanto a resposta é 5! = 120
e) Com as letras BR juntas em qualquer
ordem ?
Resolução: Em qualquer ordem, teremos
5! . 2 = 240
69
f) Quantos anagramas podemos formar
com a palavra ARARA?
5!
3!2!

120
 10
6 .2
g) E com a palavra ITATIAIA ?
8!
3!3!2!
h) E com a palavra APROVADO ?
8!
2!702!
20. Uma urna contém 3 bolas vermelhas
e 2 amarelas.Elas são extraídas uma a
uma
sem
reposição.
Quantas
seqüências de cores podemos observar?
Resolução:É como se fosse uma
seqüência de bolas em fileira, do tipo:
VVVAA, em qualquer ordem faremos
como se fosse um anagrama com
repetição, ou seja,
5!
 10
3!. 2!
71
21. Uma cidade é formada por 12
quarteirões segundo a figura abaixo.
Uma pessoa sai do ponto P e dirigi-se
para o ponto Q pelo caminho mais curto,
isto é movendo–se da esquerda para
direita, ou de baixo para cima. Nessas
condições, quantos caminhos diferentes
ele poderá fazer, se existem 2 ruas
“horizontais” e 3 “verticais”?
72
.Q
P.
Idem solução anterior, é uma anagrama
com repetição do tipo:
DDDDCCC, ou seja:
7!
 35
4!. 3!
73
22.O número de anagramas que
podem ser formados com as letras
da palavra APOSTA e que não
apresentam as letras A juntas é:
a) 120
b) 240
c) 360
d) 480
e) 600
74
Resolução: TOTAL – A juntas = A separadas
6!
 5! 
2!
720
 120 
2
360  120  240
75
23.O jogo da Sena consiste em acertar
6 dezenas sorteadas entre 60. O
número de possíveis resultados está
entre:
a) 15.000.000 e 25.000.000
b) 25.000.000 e 35.000.000
c) 35.000.000 e 45.000.000
d) 45.000.000 e 55.000.000
Resolução:
60 59 58 57 56 55





 50.063.860
6 5 4 3 2 76 1
24.Um indivíduo possui 5 discos dos
Beatles, 8 discos dos Rolling Stones e
4 discos do U2. Ele foi convidado para
ir a uma festa e, ao sair, levou 2
discos dos Beatles, 2 dos Rolling
Stones e 3 do U2. O número de modos
distintos de se escolherem os discos
é:
a) 12
b) 42
c) 160
d) 1.120
e) 1.200
77
Resolução:
Beatles
x
Rolling Stones
x U2
5 4 8 7 4 3 2
 x  x    1120
2 1 2 1 3 2 1
78
25.Se existem 11 pessoas em uma
sala e cada pessoa cumprimenta
todas as outras uma única vez, o
número de apertos de mão dados
será igual a:
a) 55
Resolução:
b) 65
c) 110
Precisamos de mãos :
d) 121
11 10

 55
2 1
79
26.Um fisioterapeuta recomendou a um paciente
que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes
de exercícios e lhe forneceu uma lista contendo
sete tipos diferentes de exercícios adequados a
esse tratamento. Ao começar o tratamento, o
paciente resolve que, a cada dia, sua escolha
dos três exercícios será distinta das escolhas
feitas anteriormente. O número máximo de dias
que o paciente poderá manter esse
procedimento é:
a) 35
b) 38
c) 40
80
d) 42
Resolução:
7 6 5
   35
3 2 1
81
27. De quantas maneiras distintas
podemos distribuir 10 alunos em 2
salas de aula, com 7 e 3 lugares,
respectivamente?
a) 120
b) 240
c) 14.400
d) 86.400
e) 3.608.800
82
Resolução: Basta escolhermos 3 e
os outros irão para a outra sala;
10 9 8
   120
3 2 1
83
28.O número de múltiplos de 10,
compreendidos entre 100 e 9999 e
com todos os algarismos distintos
é:
a) 250
b) 321
c) 504
d) 576
84
Resolução:
Para ser múltiplo de 10 o zero tem
que estar fixo na casa das
unidades, portanto:
9 8
9 8 7
0  72
0  504
total  576
85
29.Uma sala tem 6 lâmpadas com
interruptores
independentes.
O
número de modos de iluminar essa
sala, acendendo pelo menos uma
lâmpada é:
a) 63
b) 79
c) 127
d) 182
e) 201
86
Resolução:
Sabemos que a condição para iluminar
a sala é que pelo menos uma lâmpada
esteja acesa.As opções de cada
lâmpada são: acesa e apagada, logo:
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 – 1
(todas apagadas) = 63
87
30. O código Morse usa “palavras”
contendo de 1 a 4 “letras”. As
“letras” são representadas pelo
ponto (.) ou pelo traço (-). Deste
modo, a quantidade de “palavras”
possíveis através do código Morse
é:
a) 16
b) 64
c) 30
d) 8
e) 36
88
Resolução:
Pode-se formar palavras de uma, duas ,
três ou quatro letras e as opções por
letra são duas( ponto ou traço), logo:
2 ( 1 letra )
2 . 2  4 ( 2 letras )
2 . 2 . 2  8 ( 3 letras )
2 . 2 . 2 . 2  16 ( 4 letras )
total  30
89
31. O número de maneiras de se
distribuir 10 objetos diferentes em
duas caixas diferentes, de modo
que nenhuma caixa fique vazia, é:
a) 45
b) 90
c) 1022
d) 101
90
Resolução:
São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1024 – 2 = 1022
(opções de apenas a caixa A ou apenas a
caixa B)
91
32.(BB/2007) Considere que o BB tenha
escolhido alguns nomes de pessoas para
serem usados em uma propaganda na
televisão, em expressões do tipo Banco do
Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha,
também, que a quantidade total de nomes
escolhidos para aparecer na propaganda
seja 12 e que, em cada inserção da
propaganda na TV, sempre apareçam
somente dois nomes distintos. Nesse caso,
a quantidade de inserções com pares
diferentes de nomes distintos que pode
92
ocorrer é inferior a 70.
Resolução:
É uma questão de análise combinatória
onde usaremos o princípio fundamental
de contagem:
Devemos fazer duas escolhas dentre as
12 pessoas disponíveis, ou seja:
12
2
x
11
1
 66 pares diferentes , ou
portanto o item está correto.
93
,
C 12 , 2 
12 !
10 !. 2!
 66
33.(BB/2007)Considere
que
um
decorador deva usar 7 faixas coloridas
de dimensões iguais, pendurando-as
verticalmente na vitrine de uma loja para
produzir
diversas
formas.
Nessa
situação, se 3 faixas são verdes e
indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e
indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse
decorador conseguirá produzir, no
máximo, 140 formas diferentes com
essas faixas
94
Resolução:
É um problema de permutação repetida
onde as cores são como letras e o total
de faixas(7) como uma palavra de 07
letras, ou seja:
7
3 ,3
P

7!
3 !. 3 !
 140
formas,
portanto o item está correto.
95
34. Há exatamente 495 maneiras
diferentes de se distribuírem 12
funcionários de um banco em 3 agências,
de modo que cada agência receba 4
funcionários.
Resolução:
1ª agência x 2ª agência x 3ª agência
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
 
         
4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1
495  70  1  34650
96
35. Se 6 candidatos são aprovados em
um concurso público e há 4 setores
distintos onde eles podem ser lotados,
então há, no máximo, 24 maneiras de se
realizarem tais lotações.
Resolução:
4.4.4.4.4.4 = 46, maneiras, portanto o
item está errado
97
36.(UFMG2006) A partir de um grupo de oito
pessoas, quer-se formar uma comissão
constituída de quatro integrantes. Nesse
grupo,incluem-se Gustavo e Danilo, que,
sabe-se, não se relacionam um com o outro.
Portanto, para evitar problemas, decidiu-se
que esses dois,juntos, não deveriam
participar da comissão a ser formada.
Nessas condições, de quantas maneiras
distintas se pode formar essa comissão?
a) 70
b) 35
c) 45
d) 55
98
RESOLUÇÂO:
Total de comissões – comissões (Gustavo
e Danilo juntos)
8 7 6 5 6 5
. . .  .  70  15  55
4 3 2 1 2 1
99
Soluções inteiras não negativas de
uma equação linear
Ex.: Considere a equação linear
x + y = 5, quantas soluções inteiras
não negativas podemos obter:
(0,5);(1,4);(2,3);(3,2);(4,1);(5,0),
portanto teremos 6 soluções inteiras
não negativas.
100
Considere agora a equação
x + y + z = 7, resolvendo por tentativa, o
trabalho será muito grande , e corremos
o risco de esquecer alguma solução.
Temos que dividir 7 unidades em 3
partes ordenadas, de modo que fique em
cada parte um número maior ou igual a
zero.
101
Indicaremos cada unidade por uma
bolinha e usaremos a barra para fazer a
separação, que corresponde aos sinais
de adição:
102
Logo teremos uma permutação com
elementos repetidos( como em ARARA),
assim:
9!
7!2!
 36
103
Portanto existem 36 soluções inteiras
positivas para a equação.
104
Arranjo Simples
A n .p =
n!
(n - p )!
105
Permutação simples
Pn = n!
Permutação com repetição
P
n!
 !  ! !
106
Combinação simples
C n .p =
n!
(n - p )! . p !
107
Permutação Circular
P = ( n – 1)!
108