ME623A
Planejamento e Pesquisa
Experimentos com Efeitos Aleatórios

Até agora vimos experimentos com fatores fixos,
isto é, os níveis dos fatores são especificamente
escolhidos como sendo os únicos de interesse

No entanto, quando temos fatores que são
quantitativos é comum pensar que os níveis
escolhidos são, na verdade, uma amostra de um
número infinito de possíveis níveis

Nesse caso dizemos que o fator é aleatório
Efeito Fixo ou Aleatório?
Para um Fator A com a níveis:
Efeito Fixo: os a tratamentos foram especificamente escolhidos.
Conclusões aplicam-se APENAS aos tratamentos considerados na análise
Efeito Aleatório: os a tratamentos são uma
amostra aleatória de uma população de
tratamentos.
Conclusões podem ser estendidas à população
de tratamentos
Efeito Fixo ou Aleatório?
Exemplos?
Efeito Fixo ou Aleatório?
Exemplos?
Uma empresa tem 100 lojas, escolhe 7 delas
e fazemos um leventamento da satisfação
dos clientes
Não estamos apenas interessados
satisfação das 7 lojas, mas de todas
na
Efeito Fixo ou Aleatório?
Exemplos?
Dos vários possíveis operadores de uma
certa máquina, escolhemos 10 operários e
medimos a produtividade
Estamos interessados na produtividade geral,
portanto podemos colocar os operários
como fator aleatório
Modelo com Um Fator Fixo

O modelo é escrito como:
com i = 1, ..., a e j = 1, ..., n
 Assumimos que

Restrição:

Note que

Hipóteses:
constante
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)

O modelo é escrito como:
Yij = mi + eij
com i = 1, ..., a e j = 1, ..., n (ni = n)
 Assumimos que

são indep. N(0, s 2 )
ij
2

são
indep.
N(m., s m )
i
e
m

mi e eij são indep.
2
,
s s m constantes
 i = 1...a
 j = 1...n

2
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)

O modelo é escrito como:

Note que:
Yij = mi + eij
E(Yij ) = E(mi )+ E(eij ) = m.
V(Yij ) = V(mi )+V(eij ) = s m + s
2
2
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)

O modelo é escrito como:

Importante: Diferentemente da ANOVA de fatores
fixos, onde todas observações Yij são
independentes, para o modelo de fator aleatório Yij
são apenas independentes se pertencem a
diferentes níveis de fator:
Yij = mi + eij
Cov(Yij ,Yij' ) = s m
Cov(Yij ,Yi' j ' ) = 0
2

Isto é, a cov. entre duas respostas no mesmo nível
de fator é constante para todos os níveis de fator
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)

Seja
é
ê
ê
Y =ê
ê
ê
ë
Y11 ù
ú
Y12 ú
ú
Y21 ú
Y22 úû

então
é
ê
ê
Var(Y ) = ê
ê
ê
ê
ë
s
2
Y
sm
sm s
2
2
0
2
Y
0
0
0
s Y2
0
0
s m2
ù
0 ú
0 ú
ú
s m2 ú
ú
s Y2 úû
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)

Perguntas de Interesse:

Geralmente não queremos saber detalhes de um
específico i

Mas sim, fazer inferência da população toda

m
Ou seja, queremos investigar
m. e s m
2
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)


sm
2
É uma medida de variabilidade de
mi
O efeito dessa variabilidade é medido relativo a
variabilidade total
s m2
s m2
= 2
2
sY sm +s 2
Esta razão mede a proporção da variabilidade total
de Y que é “explicada” por i
 Obvio: vai de 0 à 1

m
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)

Exercício:

Mostrar que
s m2
Corr(Yij ,Yij ' ) = r (Yij ,Yij ' ) = 2
s m +s 2

É chamado coeficiente de correlação intraclasse
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)

Teste de Hipótese:

Para testar se todos os
mi
são iguais, temos
H0 : s m = 0
2
Ha :s m > 0
2

E claro que H0 implica que
mi = m. para todo i
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)

A análise de variância para um fator aleatório é da
mesma forma que para um fator fixo, a diferença
está na esperança do quadrado médio
E(MSE) = s 2
E(MSTR) = s 2 + ns m2
Se H0 é verdadeira, então MSE e MSTR tem a
mesma esperança
 Se não, E(MSTR) > E(MSE) já que n > 0 sempre
 Assim, valores altos da estatística nos levam a
rejeitar H0

Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)
Fonte de
Variação
SS
g.l.
MS
Entre(Between) SSA
Fator Aleat.
a-1
MSA
s 2 + ns m
Dentre(Within) SSE
Erro
a(n-1)
MSE
s
Total
ar-1
SST
E(MS)
2
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)
Exemplo:

Cinco generais foram escolhidos aleatoriamente
do exército brasileiro, e 4 candidatos foram
assinalados aleatoriamente para cada um dos
generais para serem avaliados, recebendo notas.

Como explicar o modelo?
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)
Exemplo:
General
Canditato
1
2
3
4
A
76
65
85
74
B
59
75
81
67
C
49
63
61
46
D
74
71
85
89
E
66
84
80
79
F0 = 5.39
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)
Como estimar
m.
?
Um estimador não viesado é
mˆ. = Y..
Exercício:
Mostrar que
s m2 s 2
ns m2 + s 2
V(mˆ. ) = V(Y.. ) =
+
=
a an
an
Um estimador não viesado é
MSTR
s (Y.. ) =
an
2
Modelo com Um Fator Aleatório(Cell Means)
Assim temos que
Y.. - m.
s(Y.. ) tem distribuição t(a-1)
E um intervalo de confiança para
m.
é
Y.. ± t(a -1,1- a / 2)s(Y.. )
Exercício: Calcular do exemplo dos generais
Modelo com Um Fator Aleatório

O modelo é escrito da mesma forma:
com i = 1, ..., a e j = 1, ..., n

Assumimos que
constante

A diferença é que τi’s também são v.a.,
independentes dos erros, tal que

Então

O modelo acima é chamado de componentes de
variância ou modelo de efeitos aleatórios
Modelo com Um Fator Aleatório

A decomposição das SS ainda é valida,
A variabilidade total é particionada em duas componentes: uma que mede a variabilidade entre os
tratamentos (SSA) e uma que mede a variabilidade
dentre tratamentos (SSE)
 Testar hipóteses sobre os efeitos dos tratamentos
individuais não faz sentido. Em vez disso, testamos:


Se H0 é verdadeira, todos os tratamentos são iguais.
Caso contrário, existe variabilidade entre
tratamentos
Valor Esperado dos MS

Para elaborar o teste para testar a hipótese, temos
que avaliar a esperança dos MS

Sob H0 ,

Exercício: Mostre o valor esperado de MSA
Modelo de Efeito Fixo
O cálculo da tabela ANOVA para efeitos aleatório é
idêntico ao da ANOVA para efeitos fixos
 No entanto, as conclusões são bem diferentes
 Nos efeitos aleatórios, as conclusões aplicam-se a
população inteira de tratamentos
 Como estimar as variâncias do modelo?


Proporção da variância de uma observação devido à
diferença entre tratamentos
Modelo Efeito Aleatório
Exemplo Fibra Sintética (Aula 4)
Aqui nesse exemplo, com a porcentagem de algodão
sendo fator aleatório, rejeitamos a hipótese de que
a variância dos efeitos é nula
 A maior parte da variabilidade de uma observação é
atribuída à variabilidade entre tratamentos
