ME623A
Planejamento e Pesquisa
Não Interação no Modelo de 2 Fatores
A presença de interação tem um impacto na
interpretação dos dados
 No entanto, se a interação não for significativa,
podemos retirá-la do modelo
 Nesse caso, o modelo se reduz a:

yijk = m + t i + b j + eijk





i = 1... a, j = 1, ..., b,
k = 1, ..., n
A análise estatística do modelo sem interação é
muito parecida com a análise do modelo de dois
fatores com interação
A diferença é que a SSE também contém a SSAB
Não Interação no Modelo de 2 Fatores
Apesar da interação ser significativa no
Exemplo da bateria, vamos fingir que não e analisar
os dados assumindo não interação entre o tipo de
material e a temperatura


anova(lm(dados~factor(material)*factor(temp)))

anova(lm(dados~factor(material)+factor(temp)))
Não Interação no Modelo de 2 Fatores
Assim como no modelo com interação, os
fatores principais são significantes


Vamos então analisar os resíduos desse modelo

Os valores ajustados são dados por:
yˆijk = mˆ + tˆi + bˆ j = yi.. + y. j. - y...
Não Interação no Modelo de 2 Fatores
A análise dos resíduos mostra se o modelo sem
interação é adequado

Qualquer tendência nesse gráfico sugere a
presença de interação

plot(lm(dados~factor(material)*factor(temp)))
plot(lm(dados~factor(material)+factor(temp)))
Modelo com 2 fatores e única
replicação
Nos modelos com dois fatores com
interação, a replicação é necessário para
que possamos obter uma estimativa do
erro
 Mas e quando não existe replicação?
 O modelo com dois fatores e somente
uma observação por tratamento é escrito
como: yij = m + t i + b j + (tb )ij + eij
 i = 1...a
 j = 1...b

Modelo com 2 fatores e única
replicação
Modelo com 2 fatores e única
replicação
Modelo com 2 fatores e única
replicação

Efeito da interação e erro não podem ser
separados
Modelo com 2 fatores e única
replicação
O fato de não poder separar o efeito da
interação (τβ)ij do erro experimental implica que
não existem testes para os efeitos principais a
menos que o efeito da interação seja nulo, ou seja,
(τβ)ij = 0 para todo i e j
 Se não existe interação, então um modelo
plausível é
yij = m + t i + b j + eij


2
E(MSres)
=
s
Nesse caso,
e os efeitos
principais podem ser testados pela comparação
de MSA e MSB com MSRes (teste F)
Teste para Interação
Tukey desenvolveu um teste para determinar se
a interação está ou não presente
 Assume-se que a interação é da seguinte forma

(tb )ij = gt i b j
Onde g é uma constante conhecida
 O teste particiona a SSRes em

SSRes = SSE + SSN
 onde SSN é a soma de quadrados de nãoaditividade, com 1 grau de liberdade e 2

SSN =
éa
êå
êë i=1
æ
y..2 öù
å yij yi. y. j - y.. çè SSA + SSB + ab ÷øúú
û
j=1
b
abSSASSB
Teste para Interação
Dessa forma, temos que

SSE = SSRes - SSN
 com (a – 1)(b – 1) – 1 graus de liberdade

Para testar a hipótese de não-aditividade (ou
interação), calculamos a estatística:

SSN
SSN
F0 =
=
MSE SSE / [(a -1)(b -1) -1]
que sob a hipótese nula, segue uma distribuição
F(1,(a-1)(b-1)-1)
Exemplo: Impureza em um produto químico
 A impureza presente num produto
químico é afetada por dois fatores:
pressão e temperatura
 Os dados estão na tabela abaixo(única
replicação)
Exemplo: Impureza em um produto químico
Exemplo: Impureza em um produto químico
Exemplo: Impureza em um produto químico
Exemplo: Impureza em um produto químico
Os efeitos de pressão e temperatura são
significativos
 Note que esse modelo é similar ao de
blocos completos aleatorizados (mesma
soma de quadrados)
 Qual a diferença?
