ME623A
Planejamento e Pesquisa
4. Experimentos em Blocos
1. Blocos Completos Aleatorizados
a)
b)
c)
d)
e)
2.
3.
4.
5.
Definição
Análise Estatística
Decomposição da Soma de Quadrados
Tabela Anova
Estimação dos Parâmetros
Quadrados Latinos
Quadrados Greco-Latinos
Blocos Balanceados Incompletos
Delineamento Cruzados
1
Planejamento em Quadrado Latino

Tipo de experimento muito eficiente que utiliza
apenas N=a2 observações e permite blocagem em
duas direções
Coluna
Linha 1
2
3
4
1
A B C D
2
B C D A
3
C D A B
4
D A B C

Mas e quando existir três fatores de perturbação?
2
Planejamento em Quadrado Greco-Latino

Imagine um Quadrado Latino a x a sobreposto a um
segundo Quadrado Latino a x a cujos níveis sejam
referenciados por letras gregas

Considere ainda que cada combinação de letra
latina e grega acontece uma única vez nesta
sobreposição

Neste caso, os dois quadrados latinos são
ortogonais entre si, e o planejamento obtido é
conhecido como Quadrado Greco-Latino
3
Planejamento em Quadrado Greco-Latino
Coluna
Coluna
Linha
1
2
3
4
Linha
1
2
3
4
1
A
B
C
D
1
2
B
A
D
C
2
α
δ
β
γ
γ
β
δ
α
3
C
D
A
B
3
β
α
δ
γ
4
D
C
B
A
4
γ
δ
α
β
Coluna
Linha
1
2
3
4
1
Aα
Bδ
Cβ
Dγ
2
Bβ
Aγ
Dα
Cδ
3
Cγ
Dβ
Aδ
Bα
4
Dδ
Cα
Bγ
Aβ
Quadrado
GrecoLatino
4
Quadrados Greco-Latinos

Esse tipo de experimento permite blocagem em
três direções, ou seja, é utilizado para controlar,
simultaneamente, três fatores de
perturbação/ruído

Planejamento altamente eficiente: permite
investigação de a níveis (sem interações) com
apenas a2 observações

O fator representado pelas letras gregas é
ortogonal às linhas, colunas e letras latinas

Existem para todo a ≥ 3, exceto para a = 6
5
Ilustração Quadrado Greco-Latino

Pegue todos os Q, J, K, e A de um baralho normal

Arrume as cartas em um grid 4x4 tal que cada linha
e cada coluna contenha todos os naipes e todos os
“números”
Coluna
Linha 1
2
3
4
1
Q♣ A♥ K♠ J♦
2
J♥ K♣ A♦ Q♠
3
K♦ J♠ Q♥ A♣
4
A♠ Q♦ J♣ K♥
6
Modelo Estatístico – Efeitos Fixos

As observações são descritas através do modelo:
7
Tabela ANOVA
Quadrados Greco-Latinos
8
Exemplo - Propulsores de Foguetes

Letras A, B, C, D e E representam 5 tratamentos
Lot
e
1
2
3
4
5
y..k

Operador
1
2
3
4
5
A = −1 B = −5 C = −6 D = −1 E = −1
B = −8 C = −1 D = 5
E = 2 A = 11
C = −7 D = 13
E=1
A = 2 B = −4
D = −1
E = 6 A = 1 B = −2 C = −3
E = −3 A = 5 B = −5
C=4 D=6
− 18
18
−4
5
9
yi..
−14
9
5
3
7
10 = y...
Esses são os dados originais recodificados (dados
originais − 25)
9
Tabela ANOVA – Quadrados Latinos
Exemplo dos Propulsores de Foguetes
Letra
Latina
A
B
Total
Tratament
o
y.1. = 18
y.2. = −24
C
D
y.3. = −13
y.4. = 24
E
y =5
10
Exemplo – Propulsores de Foguetes

Suponha agora que, além de operadores e lotes de
matéria-prima, temos ainda um terceiro fator
perturbador: montagens de teste

Então, a montagem de teste será representada pelas
letras gregas α, β, γ, δ, e ε

Vamos então analisar esse experimento usando um
Quadrado Greco-Latino 5 x 5

A Análise de Variância é bem parecida com a análise
para Quadrados Latinos
11
Exemplo - Propulsores de Foguetes
Lote
Operador
1
2
3
4
5
1
Aα = −1
Bγ = −5
Cε = −6
Dβ = −1
Eδ = −1
−14
2
Bβ = −8
Cδ = −1
Dα = 5
Eγ = 2
Aε = 11
9
3
Cγ = −7
Dε = 13
Eβ = 1
Aδ = 2
Bα = −4
5
4
Dδ = −1
Eα = 6
Aγ = 1
Bε = −2
Cβ = −3
3
5
Eε = −3
Aβ = 5
Bδ = −5
Cα = 4
Dγ = 6
7
y...l
− 18
18
−4
5
9
10 =y....
yi...

As SS das linhas (lote), colunas (operadores) e letras
latinas (formulações) são as mesmas que antes
SSL = 330.00
SSLinhas = 68.00
SSColunas = 150.00

Calcule então SSG e monte a tabela ANOVA
12
Exemplo dos Propulsores de Foguetes
Letra
Grega
α
β
y..2. = −6
γ
y..3. = −3
δ
y..4. = −4
y..5. = 13
ε
Total
y..1. = 10
13
Tabela ANOVA – Quadrados Greco-Latinos
Exemplo dos Propulsores de Foguetes
Conclusão: Existe uma diferença significativa na
médias da velocidade de queima causadas pelas
diferentes formulações
Remoção da variabilidade devido às montagens de
teste reduziu a SSE, e também os gl do erro
14
Análise Estatística
Exemplo dos Propulsores de Foguetes

No R
> dados <- read.table("DadosFoguete.txt", header=TRUE)
> fit <- lm(Rate ~ factor(Formulation) + factor(Batch) +
factor(Operator) + factor(Assembly), data=dados)
> anova(fit)
Analysis of Variance Table
Response: Rate Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
factor(Formulation) 4
330
82.50 10.0000 0.003344 **
factor(Batch)
4
68
17.00 2.0606 0.178311
factor(Operator)
4
150
37.50 4.5455 0.032930 *
factor(Assembly)
4
62
15.50 1.8788 0.207641
Residuals
8
66
8.25
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
15