Sérgio Mário Lins Galdino
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Estimativas não-tendenciosos e Estimativas
Eficientes
Estimativas pontuais e Estimativas
Intervalares
Estimativas do Intervalo de Confiança dos
Parâmetros da População
Intervalos de Confiança para Médias
Intervalos de Confiança para Proporções
Intervalos de Confiança para Diferenças e
Somas
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Uma estimativa é não tendenciosa quando a média
ou esperança da estatística é igual ao parâmetro da
população.
Quando duas estatísticas da distribuição amostral
tem mesma média, a estatística coma menor
variância é a mais eficiente.
Estatística eficiente e não tendenciosa nem sempre
é possível
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Um estimador pontual de um parâmetro
populacional é dado por um único valor.
Um estimador intervalar de um parâmetro
populacional é dado por dois números (limites
inferior e superior) no qual o parâmetro é
considerado pertencer.
Exemplo: Temperatura: 28ºC (pontual)
Temperatura: 28±2 (intervalar)
Sejam s e s a média e o desvio padrão (erro
padrão) da distribuição amostral de uma
estatística amostral S. Assumindo S normalmente
distribuída ( n ≥ 30, lei dos grandes números).
Espera-se encontrar S nos intervalos
s ± s , s ±2 s e s ± 3s
em cerca de 68,27%, 98,45% e 99,83% das
vezes.
Os números extremos dos intervalos
S1.96s e S2.58s, são chamados limites de confiança 1-
95% e 99% (ou 0.95 e 0.99). Os números 1.96, 2.98, etc. são
os valores críticos (zc).
Limite de 99
98
confiança
zc
2.58 2.33
Exemplo:
96
95
90
80
50
2.05
1.96
1.645
1.28
0.6745
> LC= 0.95
> ZC = qnorm(1 - (1-LC)/2)
> ZC
[1] 1.959964
O limite de confiança (1-)100% onde   [0, 1] (LC = 1- ) pode-se
determinar um z∗ com
P (−z∗ < z < z∗) = 1 − α
z∗ é chamado de z1−α/2 . Em R ele é calculado pela função qnorm
> alpha = c(0.01,0.02,0.04,0.05,0.10,0.20,0.5)
> zasterisco = qnorm(1 - alpha/2)
> zasterisco
[1] 2.5758293 2.3263479 2.0537489 1.9599640 1.6448536 1.2815516
0.6744898
>

Amostras grandes ( n ≥ 30).
Os limites de confiança para a média da população
são
X  ZC

n
no caso de uma população infinita, ou por
X  ZC

n
N n
N 1
no caso de amostragem com reposição de uma
população finita,

Exemplo: Encontre os limites de confiança de 95% e
99% de uma amostra de tamanho 30 com média
1.82 e desvio padrão amostral 0.17.
Resposta: Os limites de confiança de 95% são
1.82  1.96
0.17
 1.82  0.06
30
> qnorm(1-(1-0.95)/2)*0.17/sqrt(30)
[1] 0.0608326
>

Os limites de confiança de 99% são
1.82  2.58
0.17
 1.82  0.08
30
> qnorm(1-(1-0.99)/2)*0.17/sqrt(30)
[1] 0.07994759
>

Amostras pequenas (n < 30) e População
Normal.
Usa-se a distribuição T (t de Student) para
obtenção dos limites de confiança.
Por exemplo -t0.95 e t0.95 são os valores de T para
os quais 5% da área pertence a cada lado da
distribuição T
X 
 t0.95 
n  t0.95
ˆ
S

Amostras pequenas (n < 30) e População
Normal.
 pode ser estimado pertencer ao intervalo
X  t0.975
Sˆ
Sˆ
   X  t0.975
n
n
com 95% de confiança.
Os limites de confiança são
Sˆ
X  tc
n
com tc obtido por tabela ou calculado
Amostras pequenas (n < 30) e População
Normal.
Exemplo:

Os valores de tc em R são calculado pela função qt.
> qt(.975, df = c(1:10,20,50,100,1000))
[1] 12.706205 4.302653 3.182446 2.776445 2.570582
2.446912 2.364624 2.306004 2.262157 2.228139
2.085963
[12] 2.008559 1.983972 1.962339
>
Amostras pequenas (n < 30) e População
Normal.
Exemplo:

x=c(175, 176, 173, 175, 174, 173, 173, 176, 173,
179)
n=length(x)
xm=mean(x)
df=n-1
tc=qt(0.975,df)
delta.x=tc*sd(x)/sqrt(n)
x.inf=xm-delta.x
x.sup=xm+delta.x
Amostras pequenas (n < 30) e População
Normal.
Exemplo(continuação)

># Intervalo de confiança de 95%
> x.inf
[1] 173.3076
> x.sup
[1] 176.0924
> # Média de x
> xm
[1] 174.7
> xm/sd(x)*sqrt(10)
[1] 283.8161
>
Amostras pequenas (n < 30) e População
Normal.
Exemplo(continuação)

> t.test(x)
One Sample t-test
data: x
t = 283.8161, df = 9, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
173.3076 176.0924
sample estimates:
mean of x
174.7
>


Suponha que a estatística S é a proporção de
“sucesso” em uma amostra de tamanho n≥30
extraída de uma população binomial em que p é a
proporção de sucessos (i. é., probabilidade de
sucesso).
Os limites de confiança para a proporção da
população são dadas por
P  zc
pq
 P  zc
n
p(1  p)
n
para uma amostra de população infinita, ou uma
amostra com reposição de uma população finita.
(continuação)

Os limites de confiança para a proporção da
população são dadas por
P  zc
pq
N n
 P  zc
n
N 1
se a amostragem é sem reposição , de uma
população finita de tamanho N.
(continuação)


Exemplo: Uma amostra aleatória de 600 eleitores de certo
distrito eleitoral dá 55% como favoráveis a determinado
candidato A. Determine limites de confiança para a proporção
global de eleitores favoráveis ao candidato na base de 99%.
Os limites de confiança de 99% para população são
P  2.58 P  P   P
p(1  p)
0.55 0.45
 0.55  2.58
n
1000
 0.55  0.04
Conclusão: O candidato A está com 99% de chance para
vencer as eleições

Se S1 e S2 são duas estatísticas amostrais com distribuições
amostrais aproximadamente normais, a expressão
S1  S 2  zc   S1  S2  S1  S 2  zc  S21   S22
dá limites de confiança para as diferenças dos parâmetros
populacionais, e
S1  S 2  zc   S1  S2  S1  S 2  zc  S21   S22
dá os limites de confiança para a soma dos parâmetros
populacionais, desde que as amostras sejam independentes.
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No caso de populações infinitas
X 1  X 2  zc   X 1  X 2  X 1  X 2  zc  X2 1   X2 2
dá limites de confiança para as diferenças dos parâmetros
populacionais onde X 1,1, n1 e X , 2 , n2 são as respectivas
médias, desvios padrões e tamanhos das duas amostras
populacionais.
2
Analogamente,
P1  P2  zc   P1  P2  P1  P2  zc
p1 (1  p1 ) p2 (1  p2 )

n1
n2
dá os limites de confiança para a soma dos parâmetros
populacionais, desde que as amostras sejam independentes.