ME623A
Planejamento e Pesquisa
4. Experimentos em Blocos
1. Blocos Completos Aleatorizados
a)
b)
c)
d)
e)
2.
3.
4.
5.
Definição
Análise Estatística
Decomposição da Soma de Quadrados
Tabela Anova
Estimação dos Parâmetros
Quadrados Latinos
Quadrados Greco-Latinos
Blocos Balanceados Incompletos
Delineamento Cruzados
1
Quadrados Latinos
Tipo de experimento muito eficiente
 Permite controlar (ou eliminar) o
efeito de dois fatores de
perturbação/ruído, isto é, permite
blocagem em duas direções
 Lembre-se que nos experimentos com
blocos controlamos um único fator
ruído
 O nome quadrado latino vem do fato
que o experimento está disposto na
forma de um quadrado e cada
tratamento é representado por uma
letra do alfabeto latino (A, B, C, D, etc)

Vitral em
homenagem a
Fisher
2
Quadrados Latinos
Universidade de
Cambridge, Caius College
 Vitral em homenagem a
Fisher
 No topo, o diagrama de
Venn
 E na parte de baixo, um
quadrado latino 7x7

3
Quadrados Latinos

Nesse tipo de experimento, as linhas e as colunas
representam restrições na aleatorização

O número de tratamentos é mesmo que o número
de linhas e de colunas

De forma geral, um quadrado latinho a x a é um
quadrado contendo a linhas e a colunas, sendo que
cada uma das a células contém uma das a letras
correspondentes aos tratamentos

Cada letra ocorre apenas uma vez em cada linha e
em cada coluna
4
Exemplos de Quadrados Latinos
4x4
ABCD
B C DA
C DA B
DA B C
5x5
ADBEC
DA C B E
C B E DA
B EA C D
E C DA B
6x6
ADCEBF
BA E C F D
C E D FA B
D C F B EA
F BA D C E
E F BA D C
Para um dado número de tratamentos a, existem
vários quadrados latinos possíveis
5
Número Total de Possíveis Quadrados
Latinos
Um quadrado padrão é um quadrado com a 1ª
linha e 1ª coluna com as letras em ordem
alfabética
6
Conhecem Sudoku?
Baseado num quadrado latino 9x9
7
Exemplo – Propulsores de Foguetes
Um pesquisador está interessado em estudar os
efeitos de diferentes formulações de propulsores
de foguetes usados em sistema de fuga da
tripulação (assento ejetor, por ex.) em termos
velocidade de queima (isto é, o quão rápido o
sistema ejeta os tripulantes)
 Cada formulação é misturada a partir
de um lote de matéria-prima,
suficiente para testar 5 formulações
 Além disso, as formulações são
preparadas por operadores diferentes
 Duas fontes de perturbação: operadores e lotes de
matéria-prima
8

Exemplo - Propulsores de Foguetes


Temos 5 tratamentos representados pelas letras A,
B, C, D e E
Lote de
Matéria-Prima
1
1
2
3
4
5
A=24
B=17
C=18
D=26
E=22
Operador
2
3
4
B=20
C=24
D=38
E=31
A=30
C=19
D=30
E=26
A=26
B=20
D=24
E=27
A=27
B=23
C=29
5
E=24
A=36
B=21
C=22
D=31
Note que cada letra aparece exatamente uma vez
em cada linha e coluna
9
Modelo Estatístico – Efeitos Fixos

As observações são descritas através do modelo:

Modelo completamente aditivo: não interação entre
linhas, colunas e tratamentos
10
Decomposição da Soma de Quadrados

Soma de Quadrados Total (SST)
em que,
11
Análise de Variância

A Análise de Variância decompõe a SST das N=a2
observações em
com respectivos graus de liberdade

Sob a suposição de normalidade dos erros e pelo
Teorema de Cochran,
são v.a. qui-quadrado independentes
12
Teste de Hipóteses

Assim como anteriormente, queremos testar se:

A estatística do teste é:

Podemos também testar se os efeitos das linhas e
das colunas são zero, mas como estas são restrições
na aleatorização, os testes podem não ser
apropriados.
13
Tabela ANOVA
Quadrados Latinos
14
Exemplo - Propulsores de Foguetes
Lote de
MatériaPrima
1
2
3
4
5
Operador
1
2
3
A=24 B=20 C=19
D=3
B=17 C=24
0
D=3
C=18
E=26
8
A=2
D=26 E=31
6
E=22
4
5
D=24 E=24
A=3
E=27
6
yi..
111
134
A=27 B=21
130
B=23 C=22
128
A=3
B=20 C=29
0
D=3
1
132
15
Exemplo - Propulsores de Foguetes
Figura: Velocidade de
Queima por Formulação

Aparentemente, a
velocidade de queima
difere para diferentes
formulações

Vamos olhar também
os gráficos de
velocidade de queima
por lote de máteriaprima e operador
16
Exemplo - Propulsores de Foguetes
Figura: Velocidade de
Queima por Lote
Figura: Velocidade de
Queima por Operador
17
Análise Estatística
Exemplo dos Propulsores de Foguetes
18
Exemplo dos Propulsores de Foguetes
Letra
Latina
A
B
C
D
E
Total
Tratamento
y.1. = 143
y.2. = 101
y.3. = 112
y.4. = 149
y.5. = 130
Calculando as médias
de cada tratamento
19
Tabela ANOVA
Exemplo dos Propulsores de Foguetes
Conclusão: Existe uma diferença significativa na
médias da velocidade de queima causadas pelas
diferentes formulações
E existe diferença entre os lotes de matériaprima? E entre operadores?
20
Análise Estatística
Exemplo dos Propulsores de Foguetes

No R
> dados <- read.table("DadosFoguete.txt", header=TRUE)
> fit <- lm(Rate ~ factor(Formulation) + factor(Batch) +
factor(Operator), data=dados)
> anova(fit)
Analysis of Variance Table
Response: Rate
Df Sum Sq Mean Sq F value
Pr(>F)
factor(Formulation) 4
330 82.500 7.7344 0.002537 **
factor(Batch)
4
68 17.000 1.5938 0.239059
factor(Operator)
4
150 37.500 3.5156 0.040373 *
Residuals
12
128 10.667
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1
21
Análise dos Resíduos
Exemplo dos Propulsores de Foguetes

Como em qualquer experimento, devemos
investigar a adequacidade do modelo através da
inspeção dos resíduos

No caso dos Quadrados Latinos, os resíduos são:

Os gráficos dos resíduos são apresentados a
seguir
22
Análise dos Resíduos
Exemplo dos Propulsores de Foguetes
23
Análise dos Resíduos
Exemplo dos Propulsores de Foguetes
24
Análise dos Resíduos
Exemplo dos Propulsores de Foguetes

Parece haver um
problema com as
suposições do modelo

Resíduos não parecem
seguir uma distribuição
normal

Variância aumenta com a
magnitude dos dados
Exercício: Desconsiderar os diferentes lotes de
matéria-prima e ajustar o modelo novamente,
usando apenas operador como bloco
25
Replicação dos Quadrados Latinos

Quadrados Latinos pequenos: poucos graus de
liberdade para o erro

Nesse caso, é aconselhável replicar os quadrados
latinos

A replicação pode ser feita de várias formas e a
Análise de Variância depende de como isso é feito
26
Replicação dos Quadrados Latinos

No exemplo dos foguetes, suponha que iremos
replicar 3 vezes. As formas possíveis são:
1. Usar os mesmos lotes e operadores em cada
replicação
2. Usar os mesmos operadores, mas lotes
diferentes em cada replicação (ou mesmos lotes,
mas operadores diferentes)
3. Usar lotes e operadores diferentes
27
Replicação dos Quadrados Latinos – Caso 1
operadores
1
2
3
4
5
1
A
B
C
D
E
2
B
C
D
E
A
3
C
D
E
A
B
4
D
E
A
B
5
E
A
B
C
2
3
4
5
1
E
A
B
C
D
2
A
B
C
D
E
3
B
C
D
E
A
C
4
C
D
E
A
B
D
5
D
E
A
B
C
lotse
1
Replicação 1
lotes
lotes
operadores
Replicação 2
operadores
1
2
3
4
5
1
D
E
A
B
C
2
E
A
B
C
D
3
A
B
C
D
E
4
B
C
D
E
A
5
C
D
E
A
B
Replicação 3
28
Tabela ANOVA
Quadrados Latinos Replicados – Caso 1
29
Replicação dos Quadrados Latinos – Caso 2
operadores
1
2
3
4
5
1
A
B
C
D
E
2
B
C
D
E
A
3
C
D
E
A
B
4
D
E
A
B
5
E
A
B
C
2
3
4
5
6
E
A
B
C
D
7
A
B
C
D
E
8
B
C
D
E
A
C
9
C
D
E
A
B
D
10
D
E
A
B
C
lotes
1
Replicação 1
lotes
lotes
operadores
Replicação 2
operadores
1
2
3
4
5
11
D
E
A
B
C
12
E
A
B
C
D
13
A
B
C
D
E
14
B
C
D
E
A
15
C
D
E
A
B
Replicação 3
30
Tabela ANOVA
Quadrados Latinos Replicados – Caso 2
31
Replicação dos Quadrados Latinos – Caso 2
operadores
1
2
3
4
5
1
A
B
C
D
E
2
B
C
D
E
A
3
C
D
E
A
B
4
D
E
A
B
5
E
A
B
C
7
8
9
10
6
E
A
B
C
D
7
A
B
C
D
E
8
B
C
D
E
A
C
9
C
D
E
A
B
D
10
D
E
A
B
C
lotes
6
Replicação 1
lotes
lotes
operadores
Replicação 2
operadores
11
12
13
14
15
11
D
E
A
B
C
12
E
A
B
C
D
13
A
B
C
D
E
14
B
C
D
E
A
15
C
D
E
A
B
Replicação 3
32
Tabela ANOVA
Quadrados Latinos Replicados – Caso 3
33
ME623A – Aula 10 – 09/09/2013
34