Curso de Nivelamento
Razão, Proporção e Regra de Três
Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo
Recife
‹#›
Contatos

Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo

Apelido: Alexandre Cordel

E-mail/gtalk: [email protected]
[email protected]

Site: http://www.alexandrecordel.com.br/fbv

Celular: (81) 9801-1878
Roteiro

Razão

Proporção

Proporções Especiais

Porcentagem

Escala

Regra de Três Simples (Direta e Inversa)

Regra de Três Composta
Razão



A palavra razão vem do latim ratio e significa
“divisão”.
a
A razão representa-se por uma fração:
b
Dados dois números a e b, com b diferente de zero,
a razão entre a e b representa-se por:
Termos
Antecedente
Termos
a
b
ou
a :b
Consequente
e lê-se razão de a para b.
Exemplo Razão

Uma orquestra é formada por 40 homens e 30 mulheres.

Qual a razão entre o número de homens e o número de mulheres?
40
30
• Qual a razão entre o número de
mulheres e o número de homens?
30
40
Numa razão é muito importante verificar a ordem
pela qual estão referidas as duas grandezas
Exemplo Razão.

A capacidade total de um reservatório é de 1000 L. Nesse
momento, o reservatório contém 750 L de água. Qual é a
razão entre a quantidade que o reservatório contém nesse
momento e a sua capacidade total?
Exemplo Razão.

Qual é o número fracionário que representa a razão entre a
área total e a área da região em vermelho deste retângulo?
Proporção

Definição:
•Uma proporção é uma igualdade entre duas
razões.
a c
=
b d
lê-se
“a está para b assim como c está para d”…
Extremo
Extremo
Meio
Meio
a c
=
b d
a :b
Extremo
=
Meio
c :d
Proporção
Propriedade fundamental das
proporções:
Numa proporção, o produto dos meios é
igual ao produto dos extremos.
Extrem
o
Meio
a c
=
b d
Meio
Extremo
b c = a 
d
Proporção
Exemplos:
4 12

 4  21  7  12
7 21
É proporção
3 12

 3  40  8  12
8 40
Não é
proporção
Exercícios de
aplicação
1. Descubra o termo que falta em cada uma das proporções:
2 6

3 ?
2x?=3x6
2 x ? = 18
? = 18 : 2
?=9
5 25

? 20
2. A idade do Rui está para a da avó assim como 2 está para 9.
O Rui tem 12 anos. Que idade tem a avó?
2 12

9 ?
2 x ? = 9 x 12
2 x ? = 108
? = 108 : 2
? = 54
5 x 20 = ? x 25
100 = ? X 25
? = 100 : 25
?=4
Números Diretamente Proporcionais
Números Inversamente Proporcionais
Vejamos um exemplo:
Um motorista
Distância Velocidade
profissional que viajava percorrida média
constantemente de BH 560 Km
60 Km/h
para Uberlândia, fez a
560 Km
70 Km/h
seguinte tabela,após
calcular a velocidade
560 Km
80 Km/h
média.
560 Km
120 Km/h
(V=Distância/tempo)


Obs: distância aproximada
560 Km
140 Km/h
Tempo
gasto
9h20min
8h
7h
4h40min
4h
Escala
• Chamamos escala de um desenho à razão entre as
dimensões da figura e as dimensões reais.
Escala =
• A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as
correspondentes distâncias reais. Como sabes, para representar a superfície da
Terra no seu todo ou em parte numa folha de papel temos de reduzir a realidade.
Por exemplo, se quiseres representar Portugal Continental numa folha de papel
A4 tens de reduzir a dimensão do país cerca de 1,9 milhões de vezes.
Escala
No modelismo ferroviário existem diversas
escalas, - ou, para os menos familiarizados
com esta matéria, diversos "tamanhos - de
representação dos objectos reais.
Por exemplo, a escala 1:160,
significa que um centímetro do
desenho
representa
160
centímetros da realidade.
Desenho
Realidade
1
160
Nota que…
Escala é uma razão entre as medidas de um desenho e as que lhes
correspondem na realidade.
Escala
• O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do
barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul,
ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma
proporção.
Exemplo:
Observemos as
figuras dos barcos
ao lado:
• Base menor barco azul / Base menor barco vermelho = 2/4
• Base maior barco azul / Base maior barco vermelho = 4/8
• Altura do barco azul / Altura do barco vermelho = 3/6
Exemplo Escala
• Em um mapa, a distância em linha reta entre
Brasília e Palmas, no Tocantins, é 10 cm. Sabendo
que a distância real entre as duas cidades é
700km, qual a escala utilizada no mapa?
Proporções Especiais

Densidade Demográfica é a razão entre o número
de habitantes e a área da região.
Densidade Demográfica = número de habitantes
área
Exemplo Densidade Demográfica

De acordo com dados do IBGE ( Estimativa da população –
julho de 2009), a população brasileira era de
aproximadamente 191.480.630 habitantes. Se o Brasil
ocupa uma área territorial de 8.514.876 km quadrados ,
qual era a densidade demográfica do Brasil em julho de
2009?
Proporções Especiais

Velocidade Média é a distância percorrida em
determinado tempo.
Velocidade Média = distância percorrida
tempo gasto
Exemplo Velocidade Média

Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade
média do trem nesse percurso?
Porcentagem

Toda razão onde o consequente b = 100, pode ser
representada por % (por cento).
Calculando Porcentagens


De acordo com uma publicação da Divisão de
População da Organização da Nações Unidas
(ONU), a população mundial, em 2008, era de
6,8 bilhões de habitantes, aproximadamente.
Fazendo uma projeção para o ano 2050, esse
mesmo órgão da ONU estimou o crescimento
da população mundial em 35%, no período
2008-2050. De acordo com essa estimativa,
qual seria, aproximadamente, a população
mundial em 2050?
Fonte:www.un.org/esa/population . Acesso em :26 ago.2009.
Regra de Três
• A regra de três é simplesmente um método para
resolver as proporções sem precisar de armálas.
• A regra de três ganha seu nome do seu uso,
pois é usada para determinar um quarto valor
de um proporção quando são conhecidos três
deles.
Tabela de Valores
A regra de três se vale muito de tabelas para a
fácil visualização do problema.
Faz-se assim:
Manoel decide fazer um túnel
de1Km de extensão.
Pesquisa google;julho 2008
Como o túnel em questão é estreito, somente um
máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na
escavação ao mesmo tempo.
Regra de Três


Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel
resolveu dividi-los em 2 grupos de 15
trabalhadores, cada grupo escavando de um lado
da montanha a fim de aumentar produtividade.
Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em
quanto tempo terminará a escavação com o novo
arranjo?
Primeiro colocamos o problema em uma
tabela:
Agora, marcamos o sentido de crescimento, das
grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu
por que o número de trabalhadores aumentou.
Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas
são diretamente proporcionais. Se marcam sentidos
opostos, são inversamente proporcionais.
Importante lembrar que devemos sempre usar a
mesma unidade para grandezas do mesmo tipo nas
tabelas.
No
caso
de
proporção
inversa,
multiplicamos os valores da tabela em linha
reta e igualando, obtendo:
Que é a própria proporção inversa em
forma de produto, previamente mostrada.
Regra de Três
O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores terminaram essa
distância em 2 meses, qual distância cada grupo de 15 trabalhadores
percorreu no mesmo intervalo de tempo?
Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual
a:
Observamos que a relação obtida é uma forma
da proporção:
Regra de Três composta
Podemos interpretar de outra maneira o problema
anterior:
Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em
3 meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que
os 30 trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?
Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o
tempo. No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação
aos trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são
necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a
distância diminua.
Separamos a incógnita de um lado da tabela e
começamos um processo de multiplicações sucessivas. A
primeira segue as mesmas regras da regra de três simples, e
neste caso será cruzada.
Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem
diretamente proporcionais (setas na mesma direção),
multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais
(setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos
os caminhos.
Obtemos então a solução:
2 meses
Curso de Nivelamento
Razão, Proporção e Regra de Três
Prof. Guilherme Alexandre Monteiro Reinaldo
Recife
‹#›