ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO
Velocidade de Fase e de Grupo
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
Uma onda eletromagnética só tem informação se alguma das suas
propriedades é alterada através do processo denominado
modulação, que consiste em alterar a amplitude, frequencia ou
fase da onda. Veja por exemplo a modulação por amplitude devido
a um sinal digital
cos 0t 
tempo
frequência
portadora
0
t
 
informação
2
t


  
sinal modulado
0  

0  
Analisando o espectro de frequências do sinal
modulado, vemos que a maior parte da energia se
encontra distribuída entre os primeiros
cruzamentos por zero.
Dessa forma podemos simplificar nossa análise
considerando um sinal mais simples, com a
mesma largura de banda
tempo
portadora
cos  t

0

0  
0  
frequência

0
cos  t 
informação
 
2
t


  
sinal modulado
0  

0  
Observando o espectro do sinal modulado, que corresponde a onda enviada desde o
tranmissor para o receptor pode-se escrever de forma geral,
f ( z, t )  Re e

j 0  t  jk 0   z
e
e
j 0  t  jk 0   z
e
na saída do transmissor (z=0) pode ser escrita como,
f ( z  0, t )  Re e

j 0  t
e
j 0  t


f ( z  0, t )  cos 0    t   cos 0    t 




Utilizando a identidade
f  z  0, t   cos 0t  cos  t   sin 0t  sin  t  
Obtem-se
 cos 0t  cos  t   sin 0t  sin  t 
f ( z  0, t )  2cos 0t  cos  t 


f ( z  0, t )  2cos 0t  cos  t 
Considerando que <<0, o vetor de onda k na vizinhança de 0, será aproximado
usando expansão de series de Taylor de primeira ordem,
k 0     k 0   
dk  
d
 0
resultando em um sinal que pode ser descrito pela seguinte expressão para qualquer
instante de tempo e emqualquer posição z,




dk  
dk  




z 
 j k 0  
z
 j k 0  

d    
d     
 j 0  t 
j 0  t
0
0

f ( z, t )  Re e
e
e
e







dk  
dk  




z 
 j k 0  
z
 j k 0  

d    
d     
 j 0  t 
j 0  t
0
0

f ( z, t )  Re e
e
e
e





 
dk  
z
f ( z, t )  cos  0    t   k 0   


d    
0 





 
dk  
z
cos  0    t   k 0   


d    
0 






dk  
f ( z , t )  cos  0t  k 0  z  t   t  
z  


d     
0







dk  
cos  0t  k 0  z  t   t  


d   
0





z 


Utilizando a identidade

dk  
f ( z, t )  cos 0t  k 0  z  cos  t  

d  
0


z




dk  
sin 0t  k 0  z  sin  t  
z

d   
0




dk  
cos 0t  k 0  z  cos  t  
z

d   
0




dk  
sin 0t  k 0  z  sin  t  
z

d   
0


Obtem-se então

dk  
f ( z, t )  2cos 0t  k 0  z  cos  t  

d  
0


z



dk  

f ( z, t )  2cos 0t  k 0  z  cos t  

d  
0


z


Analisando a expressão final, percebe-se que cada coseno, que corresponde à
portadora e à informação, sofre um atraso denominado de atraso de fase e de grupo,
respectivamente,

 
f ( z, t )  2cos 0  t   p  cos   t   g 
Onde,
p 
k 0 
0
z
g 
dk  
d

z
 0
Desta forma, definimos as velocidades de fase e de grupo da seguinte maneira,
0
vp 
k 0 
d
vg 
dk    
0
vg = d0 / dk(0)
0
k()
vp = 0 / k(0)
k(0)
O ponto preto se desloca comvelocidade de fase (acompanha a fase)
O ponto vermelho se desloca com velocidade de grupo (acompanha a envoltoria)
Velocidade de fase = velocidade de grupo
http://newton.ex.ac.uk/teaching/au/phy1106/animationpages/wavepacket_
no_dispersion.html
O ponto preto se desloca comvelocidade de fase (acompanha a fase)
O ponto vermelho se desloca com velocidade de grupo (acompanha a envoltoria)
Velocidade de fase > velocidade de grupo
http://newton.ex.ac.uk/teaching/resources/au/phy1106/animationpages/an
imations/normal_dispersion.gif
O ponto vermelho se desloca com velocidade de fase (acompanha a fase)
O ponto preto se desloca com velocidade de grupo (acompanha a envoltoria)
Velocidade de fase < velocidade de grupo
http://newton.ex.ac.uk/teaching/au/phy1106/animationpages/wavepacket_
anomalous_dispersion.html