Aula 8
Fótons e ondas de matéria II
Física Geral F-428
1
Resumo da aula anterior:
• Planck e o espectro da radiação de um corpo negro: introdução
do conceito de estados quantizados de energia para os
osciladores nas paredes, e de emissão/absorção de quanta de luz
de energia E=h ;
• Einstein e a explicação do efeito fotoelétrico: h = Ecin +
(conceitos de quantum de luz, frequência/comprimento de onda
de corte, potencial de corte);
• Compton e o espalhamento de raios-X em alvo de carbono:
’- = = h/mc (1-cos). Os quanta de radiação têm
momento.
Comprimento de onda Compton do elétron
• O nome ‘fóton’ para o quantum de energia h só foi introduzido
por G. Lewis em 1926 .
2
A experiência de Young
A teoria ondulatória da radiação eletromagnética nos ensinou que,
depois de passar radiação eletromagnética de um dado  por duas
fendas, ela apresenta uma figura de interferência ao ser detectada
num anteparo.
3
A experiência de Young
Por outro lado, corpúsculos clássicos apresentariam uma figura
da forma:
I=I1+I2
Como conciliar a teoria ondulatória com a corpuscular ?
4
A experiência de Young
1- feixe de luz intenso:
figura de interferência na
medida de intensidade no
anteparo
5
A experiência de Young
2- feixe de luz intenso +
detector no anteparo:
figura de interferência na
medida de intensidade no
anteparo, mas...
contagem discreta da
chegada dos fótons;
apesar de muitos por
segundo
detector
6
A experiência de Young
3- feixe de luz não intenso
+ detector no anteparo:
1 fóton por segundo
atravessa uma das fendas
e 1 fóton por segundo é
registrado em algum ponto
do anteparo.
(Experiência de 1 fóton)
detector
7
A experiência de Young
Mas, no decorrer de um
intervalo de tempo muito longo:
o histograma apresenta um
perfil de interferência...
... compatível com a sobreposição
dos resultados de N >>1
experiências envolvendo
apenas 1 fóton!
8
A experiência de Young
Por onde passou o fóton?
Bloqueador de
fenda
A informação (bloqueada) destrói a figura de interferência!
9
A teoria quântica
O objeto principal da teoria é a função de onda, ou amplitude

de probabilidade  ( r , t ) , com as seguintes propriedades:



• Princípio da superposição:  ( r , t )   1 ( r , t )   2 ( r , t )

 2
• Interpretação probabilística:  ( r , t ) |  ( r , t ) | é a
densidade de probabilidade de se encontrar um fóton (ou

partícula) no ponto r , de modo que:

3
  (r , t ) d r  1
V
Então, no caso de fótons, não podemos somar as probabilidades
dele ser oriundo de uma fenda ou outra. Devemos somar as
amplitudes de probabilidade (superposição) para depois tomar o
seu módulo quadrado (intensidade) !
10
A hipótese de de Broglie
Louis de Broglie (7.º duque de Broglie, 1892 – 1987)
Baseado no fato da radiação eletromagnética propagar-se como
onda e, ao interagir com a matéria, apresentar características
corpusculares, Louis de Broglie (em 1924) considerou a
possibilidade de partículas materiais também apresentarem, em
determinadas circunstâncias, um comportamento ondulatório.
11
A hipótese de de Broglie
Usando as relações de Planck – Einstein:


p  k
E  
de Broglie associou um comprimento de onda  e uma freqüência 
a uma partícula de momento p e energia E, através das relações:
h

p
E

h
Louis de Broglie recebeu o prêmio Nobel em 1929
12
Difração de elétrons
• A confirmação da hipótese de de Broglie veio
em 1927, através das observações de C. J.
Davisson e L. H. Germer; e de G. P. Thomson,
que fizeram experimentos com feixes de
elétrons incidindo sobre amostras cristalinas de
níquel (os dois primeiros) ou amostras
policristalinas de vários materiais (o segundo).
Davisson e Germer
Thomson
13
Difração de elétrons
Experimento de Davisson-Germer
E
2
p
h
 p  2mE   
2m
2mE
E  1.6  10
19
J  1 eV
m  9.1  10 31 kg
Difração de Bragg: 
ο
d  2 .15 A
  50
ο
 d sin 
ο
  1 .65 A
h2
(E
~ 54 eV)
2
2 m
h  6.6  10 34 J.s
ο
(1eV )  12.2 A
14
Difração de elétrons
Experimento
de Thomson
Davisson e Thomson
receberam o prêmio
Nobel em 1937
raios – X
elétrons
• Os resultados aqui
apresentados para
elétrons são compatíveis
com os dos fótons
através da fenda dupla
15
A experiência de Young
• Os experimentos de difração eletrônica indicam que, depois de
passar por duas fendas, partículas suficientemente pequenas (como
elétrons, por exemplo) apresentam uma figura de interferência ao
serem detectadas num anteparo.
16
A experiência de Young
Mas corpúsculos clássicos apresentariam uma figura da forma:
I1
I = I1+I2
I2
Como conciliar a teoria ondulatória com a corpuscular ?
17
A experiência de Young
1- feixe eletrônico intenso: figura
de interferência na medida do
número de partículas que chegam
no anteparo
18
A experiência de Young
2- feixe eletrônico intenso +
detector no anteparo: figura de
interferência na medida de
intensidade no anteparo,
mas...contagem discreta da
chegada dos elétrons, apesar de
muitos por segundo
detector
19
A experiência de Young
3- feixe eletrônico não intenso +
detector no anteparo: 1 elétron por
segundo atravessa uma das fendas
e 1 elétron por segundo é
registrado em algum ponto do
anteparo.
detector
20
A experiência de Young
Mas, no decorrer de um intervalo de tempo muito longo:
o histograma apresenta um perfil de interferência...
... compatível com a sobreposição dos resultados de N >>1
experiências envolvendo apenas 1 elétron!
21
A experiência de Young
Intensidade do
feixe de
elétrons
wavemechanics-duality
22
A experiência de Young
Por onde passou o elétron?
Bloqueador de
fenda
Esta informação destrói a figura de interferência!
23
Interferência de objetos complexos
Em 1999, foi mostrado que moléculas
com um grande número de átomos
também podem apresentar uma figura
de interferência.
24
Interferência de objetos complexos
Nature 401 (1999) 1131
25
Em 2012 :
Interferência, com moléculas bem maiores !
26
27
PcH2 (58 atoms)
t=0
t = 20 min
t = 2 min
t = 90 min
t = 40 min
28
PcH2 (58 atoms)
F24PcH2 (114 atoms)
29
Dualidade e complementaridade
• Propriedades ondulatórias e corpusculares podem
coexistir. Esta é a chamada dualidade partícula – onda
• Entretanto, não há nenhuma forma dessas duas
propriedades serem testadas simultaneamente.
• Ou fazemos um esquema de medida onde o aspecto
corpuscular seja evidenciado, ou um que revele o caráter
ondulatório do sistema em questão.
• Este é o chamado princípio da complementaridade.
30
A teoria quântica
O objeto principal da teoria é a função de onda, ou amplitude

de probabilidade  ( r , t ) , com as seguintes propriedades:



• Princípio da superposição:  ( r , t )   1 ( r , t )   2 ( r , t )

 2
• Interpretação probabilística:  ( r , t ) |  ( r , t ) | é a
densidade de probabilidade de se encontrar um fóton (ou

partícula) no ponto r , de modo que:

3
  (r , t ) d r  1
V
Então, no caso de fótons, não podemos somar as probabilidades
dele ser oriundo de uma fenda ou outra. Devemos somar as
amplitudes de probabilidade (superposição) para depois tomar o
seu módulo quadrado (intensidade) !
31
Radiação Eletromagnética




E  x, y, z,t   E0 sin k .r  t



E  x, y, z,t   E0 sinkx  t 

vetor de Poyting S , intensidade I
E  h  


pk
_____________________________________________________
Partículas
???????
E  h  


pk
32
Introduzindo a função de onda
Ψ  x, y, z,t 
,
a qual é uma solução de uma equação diferencial,
a equação de Schrödinger.
33
A função de onda
• Em resumo, dada uma partícula atômica, este objeto pode ser
descrito pela chamada amplitude de probabilidade  ( r , t ), ou
função de onda, à qual podemos aplicar:



• Princípio da superposição:  ( r , t )   1 ( r , t )   2 ( r , t )
• Interpretação probabilística:
(Max Born)


 2
 ( r , t ) |  ( r , t ) |

 (r , t ) d 3r  1
Max Born
V
A função de onda carrega a informação máxima
que podemos ter sobre o sistema em questão.
34
http://www.youtube.com/watch?v=jvO0P5-SMxk
35
Físicos mencionados no capítulo que receberam o
Prêmio Nobel de Física
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Max Planck: 1918
Albert Einstein: 1921
Louis de Broglie: 1929
Erwin Schrödinger:1933
Arthur Compton: 1927
Werner Heisenberg: 1932
Clinton Davisson & George Thomson: 1937
Max Born: 1954
36
Prob. 11:
Uma lâmpada de sódio de 100 W ( = 589 nm) irradia
energia uniformemente em todas as direções.
a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela
lâmpada?
b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente
absorvente absorve fótons à razão de 1,00 fóton/(cm2 s) ?
c) Qual é o fluxo de fótons (número por unidade de área
e de tempo) em uma pequena tela situada a 2,00 m da
lâmpada?
r
37
Prob. 11:
Uma lâmpada de sódio com potência (P) de 100 W radia energia ( = 589 nm)
uniformemente em todas as direções.
a) Quantos fótons por segundo (R) são emitidos pela lâmpada?
b) A que distância da lâmpada uma tela totalmente absorvente absorve fótons à razão
(ou fluxo F) de 1,00 fóton/(cm2 s) ?
c) Qual é o fluxo de fótons, F (número por unidade de área por unidade de tempo), em
uma pequena tela situada a 2 m da lâmpada?
a)
c
P
(589  10 9 m )  (100 W )
20
P  R E f  R h  R h  R 


2
,
96

10
fótons/s

34
8
hc ( 6,63  10 J s )( 3  10 m/s )

b) F 
 R 

 r  
 4 F 
R
4 r 2
1/ 2
 2,96  10 20 fótons/s 

 
4
2 
 4  10 fótons/(m s) 
1/ 2
 4,85  10 7 m
onde: F = 1 fóton/(cm2s) = 104 fótons/(m2s)
c)
F
R
4 r 2

2,96  10 20 fótons/s
4 (2 m) 2
r
 5,89  10 18 fótons/(m 2 s)
38
Prob. 22:
Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos
luz monocromática e um fotocatodo de sódio, encontramos
um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de
onda de 3000 Å e de 0,82 V para um comprimento de onda
de 4000 Å. Destes dados determine:
a) O valor da constante de Planck.
b) A função trabalho do sódio.
c) O comprimento de onda de corte do sódio.
39
Prob. 22:
Numa experiência do efeito fotoelétrico, onde utilizamos luz monocromática e um fotocatodo
de sódio, encontramos um potencial de corte de 1,85 V para um comprimento de onda de 3000
Å e de 0,82 V para um comprimento de onda de 4000 Å. Destes dados determine:
a) O valor da constante de Planck.
V01  1,85 V
01  3  10 7 m
b) A função trabalho do sódio.
V02  0,82 V
02  4  10  7 m
c) O comprimento de onda de corte do sódio.
a) e b)
eV01 
eV02 
hc
1
hc
2
e (V01  V02 )
e (V01  V02 )  hc (    )  h 
c ( 11   2 1 )
1
1
 0
h
 0
1
2
1,85 eV  0,82 eV
1,03 eV
15


4
,
136

10
eV s
8
1
1
7
15
3  10  ( 3  4 )  10
3  10  ( 0,083)
hc
4,136  10 15  3  10 8
0   eV 01 
 1,85 eV  2,28 eV
7
1
3  10
c)
0
c
hc 4,136  10 15  3  10 8
0  
  m ax 

 5,44  10  7 m  544 nm
h max
0
2,28
 0 : frequência de corte
max : comprimento de onda de corte
40
Efeito Compton:
Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de
1,00 Å. Se a radiação espalhada pelos elétrons livres é observada
a 90o do feixe incidente, determine:
a) O deslocamento Compton.
b) A energia cinética fornecida ao elétron.
c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao
elétron.
41
Efeito Compton:
Considere um feixe de raios-X com comprimento de onda de 1,00 Å. Se a radiação espalhada
pelos elétrons livres é observada a 90o do feixe incidente, determine:
a) O deslocamento Compton.
b) A energia cinética fornecida ao elétron.
c) A percentagem da energia do fóton incidente que é cedida ao elétron.
a)
   f  i
i  10 10 m ;   90
h
h
6,63  10 34 Js
 
(1  cos 90 ) 
  
 2,43  10 12 m  2,43 pm
 31
8
m0 c
m0 c
( 9,11  10 kg )( 3  10 m/s )
b) E if  E ei  E ff  E ef  h  i  h  f  E cin ; E ei  0



c
c 
1
1

E cin  h

 hc i1  i      ( 6,63  10  34 )( 3  10 8 ) 1010  1010 1,0243 
  
f 
 i
E cin  1,989  10  15 2 ,37  10  2  4 , 72  10  17 J  2,95  10 2 eV  295 eV



c) Variação da energia do fóton:
 E ff  E if
E f  
 Ei
f

  hc  f 1

  i





1


1
 
  hc  1

i
  f
 



10 10
  100 0,976  1  2,4%
E f (%)  100 

1
10
1
,
0243

10


(cedida ao elétron)
42
Prob. 42:
Se o comprimento de onda de de Broglie de um próton é 100 fm,
a) qual é a velocidade do próton?
b) A que diferença de potencial deve ser submetido o próton para chegar a esta
velocidade?
h
a) p  m p v 

b)
eV 
m pv2
2


h
v
m p
V 
m pv2
2e
43