Simetria de rotação Ox Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 900. Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 1800 . Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 2700 . Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 3600 . A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de amplitude 900 , 1800 , 2700 e 3600 . Isometria Isometrias são aplicações que transformam uma figura geométrica numa outra figura congruente. É uma isometria. Não é uma isometria. TRANSLAÇÃO REFLEXÃO r ROTAÇÃO REFLEXÃO DESLIZANTE s u 90º x o Translação A translação associada ao vetor ué uma isometria do plano que transforma qualquer ponto P num ponto P’ tal que: ’ u P =P+ A translação referida representa-se por Tu P u P’ Propriedades da translação P u P’ • • • Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo e com o mesmo comprimento. Uma reta ou uma semirreta é transformada numa reta ou numa semirreta paralelas, respetivamente. Um ângulo é transformado num ângulo geometricamente igual e com o mesmo sentido. Reflexão Dada uma reta r (eixo de reflexão), dá-se o nome de reflexão de eixo r à isometria que transforma os pontos de r em si próprios e que, a cada ponto P não pertencente a r , faz corresponder um ponto P’ tal que o eixo r é a mediatriz de [PP’]. S R’ R S’ r T O Q’ Q T’ P’ P d d O’ Propriedades das reflexões S R’ R S’ r T O Q’ Q P’ P d • • • • • T’ O’ d Um segmento de reta é transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento. Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa semirreta respetivamente. Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso. Qualquer ponto do eixo de reflexão transforma-se em si próprio. A distância de um ponto original ao eixo de reflexão é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo. Rotação de centro O e ângulo α é a isometria do plano que transforma qualquer ponto P no ponto P’, tal que OP = OP’ e PÔP = α , sendo O o centro de rotação e α o ângulo de rotação. O ângulo de rotação é um ângulo orientado: Sentido positivo(sentido antihorário) ou sentido negativo(sentido horário). A rotação assim definida representa-se por RO , α . C A A’x C’x B P’ α O Desenhar a figura transformada da figura dada por uma rotação de centro O e amplitude 900 . 1.o Desenham-se [OA], [OB], e [OC] . B’x Ox P 2. o Desenham-se os arcos de circunferência ou circunferências de centro O e raios OA , OC , e OB . 3. o Com a ajuda do transferidor medem-se os ângulos de modo que : A’ÔA=900 ; B’ÔB=900 ; C’ÔC=900 . 4. o Desenhar o triângulo [A’B’C’]. Propriedades da rotação • Um segmento de reta é transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento. • Um ângulo é transformado num ângulo com a mesma amplitude e com o mesmo sentido. • Uma reta ou uma semirreta são transformadas numa recta ou numa semirreta respetivamente. • O centro de rotação é o único ponto que se mantém fixo se o ângulo da rotação não for um múltiplo de 360o A’X CX xC’ AX XB B’x Ox Reflexão deslizante é uma isometria resultante da composição de uma reflexão de eixo e com uma translação cujo vetor (não nulo) é paralelo a e. S R’’ R S’’ r T O Q’’ Q P’’ P d R’ d Q’ u u T’’ O’’ S’ T’ P’ O’ Propriedades da reflexão deslizante • Não existem pontos invariantes, pois mesmo os pontos do que pertencem ao eixo de reflexão continuam a pertencer-lhe mas são deslocados pelo vetor. • Um segmento de reta é transformado noutro segmento de reta, reflectido pelo eixo e deslocado pelo vetor. • Um ângulos orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso. • Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa semirreta respetivamente. • A distância de um ponto ao eixo é igual à distância da imagem desse ponto ao eixo. Propriedades das isometrias Em qualquer isometria: • Uma isometria do plano é necessariamente uma translação, uma reflexão, uma rotação ou uma reflexão deslizante • Uma reta é transformada numa reta. • Uma semirreta é transformada numa semirreta. • Um segmento de reta é transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento. • Um ângulo é transformado num ângulo com a mesma amplitude. Simetria Quando a imagem dessa figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. Desta forma uma figura pode ter: Simetria de reflexão Simetria de rotação Simetria de translação Simetria de reflexão deslizante Simetria de reflexão Uma figura tem simetria de reflexão se a sua transformada por uma reflexão é a própria figura. e1 e2 e3 e4 e5 e6 Esta figura tem seis simetrias de reflexão. Simetria de rotação Ox Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 900. Uma figura tem uma simetria de rotação se a sua transformada por uma rotação, distinta da identidade, é a própria figura. Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 1800 . Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 2700 . Ox Rotação de centro O e medida de amplitude 3600 . A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O e medida de amplitude 900 , 1800 , 2700 e 3600 . Simetria de translação Uma figura tem uma simetria de translação de vector u se o transformado da figura pela translação associada ao vector u é a própria figura. … … u u u u Simetria de reflexão deslizante Uma figura tem uma simetria de reflexão deslizante se o transformado da figura por uma dada reflexão deslizante é a própria figura. … … Rosáceas Uma rosácea é uma figura plana com as seguintes características: – Possui um número finito de simetrias de rotação ou de reflexão. – Todas as rotações que deixam a figura invariante estão centradas num mesmo ponto O. – Todas as simetrias de reflexão estão associadas a uma reta que contém o ponto O. Ox Simetrias de rotação e simetrias de reflexão 4 simetrias de rotação 4 simetrias de reflexão 16 simetrias de rotação 0 simetrias de reflexão 5 simetrias de rotação 5 simetrias de reflexão 6 simetrias de rotação 6 simetrias de reflexão 8 simetrias de rotação 8 simetrias de reflexão 3 simetrias de rotação 0 simetrias de reflexão Frisos Um friso é uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translação. Os vetores associados a essas translações possuem todos a mesma direção e são múltiplos inteiros de um dado vetor u não nulo. Nota: As restantes simetrias da figura podem ser rotações de ângulo 180⁰, reflexões ou reflexões deslizantes relativamente a uma reta paralela a u . … … Os 7 tipos de Frisos Padrão Um padrão e uma figura plana que possui uma infinidade de simetrias de translação em mais do que uma direção. Nota: Para além de translações, um padrão pode ser invariante por reflexões, rotações e reflexões deslizantes. Uma reflexão sobre as provas nacionais Augusta Neves [email protected]