FÍSICA - MECÂNICA
Grandezas Vetoriais &
Operações com Vetores
César Augusto
Escalares e Vetores
As Grandezas Físicas podem ser ESCALARES
ou VETORIAIS.
• GRANDEZA ESCALAR
N° + PADRÃO DE MEDIDA
Ex: comprimento; massa; tempo; temperatura;
volume; pressão; energia; etc.
• GRANDEZA VETORIAL
N° + PADRÃO + ORIENTAÇÃO
Ex: deslocamento; velocidade; aceleração; força;
torque; impulso; campos; etc.
VETOR
é
um
ente
matemático
constituído de um módulo, direção e
sentido,
utilizado
em
Física
para
representar as grandezas vetoriais.
RETA SUPORTE
(DIREÇÃO)
A
(origem)
V
(vetor V)
B
(extremidade:
sentido)
“para onde”
OBS: módulo de 𝑽  | 𝑽| ou V = medida do segmento de reta 𝑨𝑩
Comparação entre vetores
I – Vetores Equipolentes (ou Iguais)
• São vetores que apresentam as mesmas
características:
mesmos
módulos;
mesmas
direções e mesmos sentidos.
𝑩
𝑨
𝑨=𝑩=𝑪
São vetores iguais ou
𝑪
equipolentes.
II – Vetores Simétricos (ou Opostos)
• São
vetores
módulos;
que
apresentam
mesmos
mesmas
direções;
porém,
apresentam sentidos contrários.
𝒙=-𝒚
𝒙
𝒚
São vetores simétricos ou opostos.
𝒘
𝒛
𝒘=-𝒛
São vetores simétricos ou opostos.
Componentes ortogonais de
um vetor
São dados um vetor 𝐕 e um sistema
cartesiano com dois eixos ortogonais x e y.
Pode-se projetar a origem e a extremidade
do vetor em cada eixo x e y, obtendo-se;
assim,
suas
componentes
(perpendiculares) 𝑽
𝒙
e 𝑽 .
𝒚
ortogonais
y
Método Geométrico da Decomposição
Vetorial
𝑽𝒙 : componente horizontal (ou
𝐕𝐲
𝐕
tangencial) de 𝑽
𝑽𝒚 : componente vertical (ou
normal) de 𝑽
0
x
𝐕𝐱
OBS: Todo vetor apresenta duas componentes
ortogonais.
Método Analítico da Decomposição
Vetorial
V
Vy

Vx
: ângulo de elevação do vetor V medido a partir da
horizontal (referencial).
𝐕𝐱 = Vcos
𝐕𝐲 = Vsen
Adição vetorial (Vetor-soma
ou vetor-resultante “r”)
A adição vetorial é a operação que
permite calcular um único vetor cujo
efeito é equivalente ao efeito produzido
pelos vetores-parcelas.
Para representar o vetor-soma, pode-se utilizar dois
processos geométricos, que podem ser aplicados
indistintamente, obtendo-se o mesmo resultado.
MÉTODO DO
POLÍGONO
MÉTODO DO
PARALELOGRAMO
Na extremidade do 1º vetor Liga-se
junta-se
a
origem
do
os
vetores
dados
pela
2º origem. Da extremidade de cada
vetor e assim por diante. O vetor, constrói-se um paralelogramo.
vetor-soma liga a origem do A
diagonal
do
paralelogramo,
1º vetor com a extremidade traçada a partir da origem dos
do último vetor.
𝐕𝟏
vetores-parcelas, é o vetor-soma.
𝐕𝟐
𝐕𝟏
𝐕𝟏
𝐕𝟏
𝐕𝟐
𝑺 = 𝐕𝟏 + 𝐕𝟐
𝐕𝟐
𝐕𝟐
𝑺 = 𝐕𝟏 + 𝐕𝟐
Importante!
I)
O módulo do vetor-soma de dois vetores só será
igual a zero se; e somente se, forem simétricos.
II) O módulo do vetor-soma de três ou mais vetores
só será igual a zero se; e somente se, a linha
poligonal formada for fechada (coincidência entre
a extremidade do último vetor com a origem do
primeiro vetor).
𝒂 +𝒃+ 𝒄+𝒅+𝒆 = 𝟎
S = 0
Método Analítico da Soma Vetorial
𝑨
𝑹
A.sen


𝑩
A.cos
R² = (B + Acos)² + (Asen)²
R
R²= B² + 2ABcos + A²cos² + A²sen²
R² = A²(sen² + cos²) + B² + 2ABcos
 R² = A² + B² + 2 A B cos
Sendo assim, qualquer que seja a direção entre os
dois vetores-parcelas, o módulo do vetor-resultante
pertencerá ao intervalo:
|A–B|≤R≤A+B
Importante!
I) Existe e V tal que a  e  a
 
O vetor e  0 é o elemento neutro da soma de vetores.
Ele é um vetor com módulo zero.
II) Existe b V tal que a  b  0
O vetor
b  a é o vetor simétrico da soma de vetores.
a
-a
III) A adição vetorial é comutativa, isto é, para quaisquer
vetores 𝑎 e 𝑏, temos:
a b  b a
IV)
A adição vetorial é associativa, isto é, para quaisquer
vetores 𝑎, 𝑏 e 𝑐, temos:
𝑎+𝑏 + 𝑐 =𝑎+ 𝑏+ 𝑐
subtração vetorial (Vetordiferença “D”)
Subtrair dois vetores consiste em somar o
primeiro vetor com o vetor-simétrico do
segundo.
A soma de 𝒂 + (−𝒃) de um vetor
a
com um vetor simétrico −𝑏
define a subtração de vetores. Para realizá-la é suficiente aplicar
qualquer método geométrico a esses vetores:
𝑏
a
𝑏
−𝑏
𝑫 = 𝒂 + (−𝒃)
−𝑏
a
Método Analítico da Subtração
Vetorial
𝐷
−𝑏
180° - 

a
𝑏
Identidade importante: cos(180° - ) = - cos
D² = a² + b² + 2a b cos(180° - )  D² = a² + b² + 2a b(- cos)
 D² = a² + b² - 2 a b cos
RESUMO!
LEI DOS COSSENOS APLICADA
 
DiagonalMaior: | u  v | ²  u ²  v²  2  u  v  cos
 
DiagonalMenor: | u  v | ²  u ²  v²  2  u  v  cos
Produto de um vetor por um
escalar
Seja K um número real não nulo e a um vetor não nulo. A esse
número e a esse vetor associamos um vetor, que simbolizamos
por K a :
I. com a mesma direção de a ;
II. com módulo igual ao módulo de K vezes o módulo de a ;
III. com o mesmo sentido de a , se K é positivo, mas com sentido
oposto ao de a , se K é negativo. Entretanto, se K = 0 ou se a = 0,
definimos K a como sendo o vetor-nulo.
Versor de um Vetor
Um vetor que possui módulo igual a 1, independente
de sua direção e sentido, é nomeado de “vetor
unitário”.
Vetor no plano, em função dos versores dos
eixos coordenados
Vamos associar um versor a cada eixo do plano
cartesiano.
Assim, o versor 𝑖 = (1, 0) no eixo dos x e o
versor 𝑗 = (0, 1) no eixo dos y, conforme a
figura ao lado:
* Decomposição vetorial em vetores unitários
ortogonais (forma linear de um vetor):
respost as:

a  3 ĵ

b  2î

c  3î  3 ĵ