AULA DO
CPOG
Progressão Aritmética
Observe as seqüências numéricas:
2
4
12
6
8 ...
9
6
5
3 ...
5
5
5 ...
Essas seqüências foram construídas
de forma que cada termo (número), a partir
do segundo, é a soma do anterior com
uma constante.
Observe a construção da primeira
seqüência:
Escolhemos um número para ser o primeiro termo da seqüência:
2
Adicionamos a ele um número qualquer e obtemos o segundo
termo:
Para obter os demais termos, vamos adicionando
algebricamente sempre o mesmo valor ao número
anterior:
+2
+2
+2
Seqüências desse tipo, nas quais cada
termo, a partir do segundo, é a soma do
anterior com uma constante, são
chamadas de Progressões Aritméticas.
Essa constante, que indicaremos por r, é
denominada razão da P.A.
Assim na progressão aritmética,
(2,4,6,8,...) temos r = 2 e a P.A. é dita crescente.
(12,9,6,3,...) temos r = -3 e a P.A. é dita decrescente.
(5,5,5,5,...) temos r = 0 e a P.A. é dita constante.
Termo Geral da Progressão Aritmética
Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um
termo qualquer de uma Progressão Aritmética (PA), conhecendo
apenas o primeiro e a razão.
Seja a1 o primeiro termo e r a razão da P.A.
O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a razão :
a2 = a1 + r
O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a razão:
a3 = a2 + r
Como: a2 = a1 + r tem-se que :
a3 = a1 + r + r logo, a3 = a1 + 2r
O valor do quarto termo será o terceiro mais a razão:
a4 = a3 + r
Como a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 2r + r
temos que :
logo
a4 = a1 + 3r
Continuando assim podemos perceber que qualquer
termo de uma PA pode ser expresso da seguinte forma:
an = a1 + (n – 1) . r
onde “n” indica a qual termo estamos nos referindo.
Essa “fórmula” poderá ser usada sempre que quisermos
encontrar an, a1, n ou r. Veja alguns exemplos:
1) Sendo a1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo.
Como queremos o décimo termo temos que n = 10.
Substituindo na fórmula do termo geral teremos:
a10 =3 + (10–1).(-2)
a10 = 3 + 9.(-2)
a10 = 3 - 18
a10 = - 15
2) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e
200 termo igual a 30.
Aplicando na fórmula temos:
30 = a1 + (20–1).3
30 = a1 + 19.3
30 = a1 + 57
a1 = - 27
3) Calcule a razão da P.A. sabendo que a1 = 5 e a14 = - 21.
Substituindo os valores na fórmula temos:
- 21 = 5 + (14 – 1) . r
- 21 = 5 + 13 . r
- 21 – 5 = 13. r
- 26 = 13 . r
r=-2
4) Calcule o número de termos da P.A. finita:
(50,47,44,......,14).
Primeiro calculamos a razão:
Substituindo na fórmula:
14 = 50 + (n – 1).(-3)
14 – 50 = (n -1).(-3)
-36 = (n – 1).(-3)
n - 1 = -36 / (-3)
12 = n - 1
Logo, n = 13
r = 47– 50
r = -3
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
ARITMÉTICA FINITA
Observe a P.A. finita:
Notamos que a soma de dois termos eqüidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos.
Consideremos a P.A. finita de razão r:
(a1,a2,a3,...,an-2,an-1,an)
A soma dos seus termos pode ser escrita por:
Portanto, Sn = (a1 + an) + ( a1 + an ) + ....+ ( a1 + an))
n/2 parcelas iguais a (a1 + an)
Então:
Sn

a1  an .n

2
em que:
* a1 é o primeiro termo;
* an é o enésimo termo;
* n é o número de termos;
* Sn é a soma dos n termos.
Veja alguns exemplos de utilização da fórmula da soma
dos termos de uma P.A.
1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A.
(2,6,....).
Nessa P.A. infinita, os 50 primeiros termos
formam uma P.A. finita, na qual a1 = 2, r = 4 e n= 50
Devemos calcular an ou seja a50:
a50 = 2 + 49 . 4 = 2 + 196 = 198
Aplicando a fórmula da soma temos:
S50

2  198.50

2
Logo, S50 = 5000
2) Em relação a seqüência dos números naturais ímpares,
vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos.
A seqüência é (1,3,5,7,......) com r = 2.
Calculando a20 temos:
a20 = 1 + 19.2 = 1 + 38
Então, a20 = 39
Assim:
S20

1  39.20

2
Logo, S20 = 400
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Petrobras
2010
PG
OBSERVE AS SEQÜÊNCIAS:
2 4 8 16 ....
-2 -6 -18 ...
-72 24 -8 ...
5 5 5 5 ...
Essas seqüências foram construídas de forma
que cada termo, a partir do segundo é igual
ao anterior multiplicado por uma constante.
SEQÜÊNCIAS DESSE TIPO SÃO CHAMADAS
DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS.
Essa constante , que indicaremos por q, é
denominada razão da progressão geométrica.
Assim na progressão geométrica:
(2,4,8,16,....) temos q = 2 e a P.G. é crescente.
(-2,-6,-18,....) temos q = 3 e a P.G. é decrescente.
1
(-72,24,-8,...) temos q = 
3
e a P.G é alternante.
(5,5,5,5,....) temos q = 1 e a P.G. é constante.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA
Progressão Geométrica
Seja (a1,a2,a3,.....,an) uma P.G. de razão q.
Temos:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q logo, a3 = a1 .q.q
a3 = a1.q2
a4
=
a3 . q logo, a4 = a1.q2.q
a4 = a1.q3
Continuando assim podemos perceber que
qualquer termo de uma P.G. pode ser expresso
da seguinte forma:
an = a1 . qn-1
Onde n indica a qual termo estamos nos referindo.
Exemplos de aplicação da fórmula:
1) Determine o décimo termo da P.G. (1,3,9,....)
Sabemos que a1 = 1 e q = 3.
Assim, substituindo na fórmula podemos escrever:
a10 = 1 . 310-1
a10 = 1 . 39, portanto a10 = 19683
2) Numa P.G. o 40 termo é igual 64 e o 10 termo é igual a 1.
Determine a razão da P.G. e, em seguida,
obtenha seu 80 termo.
Como a4 = a1 . q3, temos: 64 = 1.q3
Logo, q3 = 64 então q = 4.
Usando novamente a fórmula do termo geral, vamos
determinar o 80 termo:
a8 = a1 . q7  a8 = 1. 47  a8 = 16 384
Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Para calcularmos a soma, usaremos a seguinte fórmula:


a1 q  1
Sn 
q 1
n
Veja alguns exemplos:
1) Calcule a soma dos cinqüenta primeiros termos de
(3,6,12,...).
Substituindo na fórmula, temos:
3.(2 50 1)
S 50 
2 1
 S50 = 3.(250 – 1)
2) Quantos termos da P.G. (2,6,18,...) devem ser
considerados para que a soma resulte em 19682?
Substituindo na fórmula, temos:


2 . 3n  1
19 682 
3 1
 3n = 19 683
Logo, n = 9
 3n – 1 = 19682
 3n = 39
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