Matéria: Matemática
Assunto: Progressão Aritmética
Prof. Dudan
Matemática
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Definição
Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada
termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r. O número r
é chamado de razão da progressão aritmética.
Alguns exemplos de progressões aritméticas:
• 1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma progressão aritmética em que a razão (a diferença entre os números
consecutivos) é igual a 3.
• -2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. em que r = -2.
• 6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com r = 0.
Exemplo: (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, ...)
r = a2 – a1 = 9 – 5 = 4 ou r = a3 – a2 = 13 – 9 = 4 ou r = a4 – a3 = 17 – 13 = 4
e assim por diante.
Dica:
Observe que a razão é constante e pode ser calculada subtraindo um termo qualquer
pelo seu antecessor.
CLASSIFICAÇÃO
Uma P.A. pode ser classificada em crescente, decrescente ou constante dependendo de como
é a sua razão (R).
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Exemplos:
I - (5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ...) →
CRESCENTE pois r = +3
II - (26, 18, 10, 2, -6, -14, -22, ...) →
DECRESCENTE pois r = -8
III - (7, 7, 7, 7, 7, ...) → ESTACIONÁRIA OU CONSTANTE pois r =0
TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo
Numa P.A. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo, o último termo ou o
termo genérico dessa sequência.
an = a1 + (n-1)r ou an =ap + (n-p)r
Atenção!
a20 = a1 + 19r ou a20 = a7 + 13r ou a20 = a14 + 6r
Exemplo Resolvido:
Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do
18º termo dessa sequência numérica.
a18 = 2 + (18 - 1) . 5
a18 = 2 + 17 . 5
a18 = 2 + 85 logo
a18 = 87
O 18º termo da PA em questão é igual a 87.
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Faça Você:
1. Dada a progressão aritmética (8, 11, 14, 17, ...), determine:
a) razão
b) décimo termo
c) a14
d) termo geral
2. Calcule a razão da P.A. onde o terceiro termo vale 14 e o décimo primeiro termo
vale 40.
3. A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é -12 vale:
a)
b)
c)
d)
e)
-5
-9
-6
-7
0
4. Numa progressão aritmética, temos a7 = 5 e a15 = 61. Então, a razão pertence ao
intervalo:
a)
b)
c)
d)
e)
[8,10]
[6,8)
[4,6)
[2,4)
[0,2)
TERMO GERAL ou MÉDIO
Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética
do termo antecessor e do sucessor, isto é,
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Exemplo:
Na P.A (2, 4, 6, 8, 10,...) veremos que
ou
, etc.
ou
Na P.A (1, 4, 7, 10, 13,...) veremos que
, etc.
Dica:
Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.A, o termo central é a média
dos seus dois vizinhos, ou seja, a soma dos extremos é o dobro do termo central.
Além disso a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.
Faça Você:
5. Determine a razão da P.A. (x+2, 2x, 13).
6. As idades das três filhas de Carlos estão em progressão aritmética. Colocando em
ordem crescente tem-se (1 + 3x, 4x + 2, 7x + 1). Calcule a idade da filha mais nova.
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
3
4
5
7. Calcule o termo central da progressão (31, 33, 35,..., 79)
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8. Se uma PA de 3 termos a soma dos extremos é 12, o termo médio é:
a)
b)
c)
d)
e)
5
-5
6
-6
0
9. Numa PA de nove termos, o primeiro termo é igual a 7 e o termo central é igual a
13. O nono termo dessa sequência é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
26
23
21
19
14
10. Sabendo que a sequência (1 - 3x, x - 2, 2x + 1) é uma P.A., determine o valor da
razão.
a)
b)
c)
d)
e)
-2
0
2
4
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SOMA DOS “n” TERMOS
Sendo n o número de termos que se deseja somar, temos:
Dica:
Essa fórmula pode ser lembrada como a soma do primeiro e do último termos,
multiplicada pelo número de casais ( ).
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Exemplo Resolvido:
Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15,...), determine a soma dos 20 primeiros termos.
1) Cálculo da razão da PA
r = 3 – (–1) = 3 + 1 = 4
ou r =7 – 3 = 4 ou r =11 – 7 = 4
2) Determinando o 20º termo da PA
a20 = –1 + (20 – 1) * 4
a20 = – 1 + 19 * 4
a20 = – 1 + 76
a20 = 75
2) Calculando a Soma dos termos
s20 = 740
A soma dos 20 primeiros termos da PA (–1, 3, 7, 11, 15, ...) equivale a 740.
Observe que a soma do 1° termo com o último(20°) é 74 que multiplicada pelo número de
casais formados com 20 pessoas (10 casais) totalizará 740.
Faça Você
11. Calcule a soma dos vinte primeiros termos da sequencia (15, 21, 27, 33, ...).
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12. A soma dos 12 primeiros termos de uma P.A. é 180. Se o primeiro termo vale 8,
calcule o último termo dessa progressão.
13. O termo geral de uma sucessão é an = 3n + 1 . A soma dos trinta primeiros termos
dessa sucessão é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
91.
95.
110.
1425.
1560.
14. Uma exposição de arte mostrava a seguinte sequência lógica formada por bolinhas
de gude:
O primeiro quadro contém 5 bolas, o segundo contém 12 bolas, o terceiro contém 21
bolas, o quarto contém 32 bolas ... . Cada quadro contém certa quantidade de bolas
de gude e seguirá nesse padrão até chegar ao vigésimo quadro que tem n bolinhas. É
correto afirmar que n vale:
a)
b)
c)
d)
e)
420
440
460
480
500
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15. Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos
em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos,
como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou-se compor uma plateia
com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda,
14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi:
a)
b)
c)
d)
e)
384
192
168
92
80
Gabarito: 3. C 4. B 6. D 8. C 9. D 10. E 13. D 14. D 15. C
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