INTRODUÇÃO A ALGORITMOS
NUMÉRICOS
Prof. Renata S.S. Guizzardi
2012/01
AGENDA
Introdução
 Erros
 Detalhes da Disciplina:

Ementa
 Métodos de Avaliação
 Outros Detalhes

INTRODUÇÃO
O QUE SÃO ALGORITMOS NUMÉRICOS?
São programas de computador capazes de
solucionar problemas matemáticos, fornecendo
resultado numérico aproximado.
 Apesar de aproximada, a solução pode ser obtida
em um grau crescente de exatidão.

POR QUE UTILIZAR? (1/2)
1) Um problema de Matemática pode ser resolvido
analiticamente, mas esse método pode se tornar
impraticável com o aumento do tamanho do
problema.
Ex.: solução de sistemas de equações lineares.
5
POR QUE UTILIZAR? (2/2)
2) O problema não tem solução analítica.
Exemplos:
a)
e
x2
dx
b) y  y 2  t 2
não representável por funções elementares;
não pode ser resolvido analiticamente;
6
FUNÇÃO DE ALGORITMOS NUMÉRICOS NA
ENGENHARIA
Solucionar problemas técnicos através
de métodos numéricos, usando um
modelo matemático
7
EXEMPLO DE APLICAÇÃO (1/2)

Calcular tensões dos nós do circuito elétrico (pag.
117):
3
2
4
1

No nó 1, pela lei de Kirchhoff:
0  V1 V 2  V1 V 3  V1 V 4  V1



0
1
1
2
2
 6V 1  2V 2  V 3  V 4  0
EXEMPLO DE APLICAÇÃO (2/2)

O problema é resolvido a partir de um sistema
linear de quatro equações e quatro variáveis V1,
V2, V3 e V4.
1
1  V 1   0 
 6 2
 3 4 1
 V 2  0 
0

   

3
2  13 6  V 3  254

  

1
0
2

3
V
4
0

  

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Problema
Real
Levantar
Dados
Construir
Modelo
Matemático
Escolher
Método
Numérico
Implementar Método
Computacionalment
e
Eventualmente
Rever
Analisar
Resultados
Solução
Numérica
NO EXEMPLO ANTERIOR






Problema real: determinar tensões nos nós dos
circuitos.
Levantamento de dados: valores das resistências e
tensões nos pontos A e B.
Construir modelo matemático: montar equações e
criar as matrizes a partir delas.
Escolher método numérico: Decomposição LU,
Decomposição de Cholesky, Fatoração LDLT, Método
de Jacobi etc.
Implementar Método Computacionalmente: criar e
processar programa.
Analisar resultados e verificar se o modelo
matemático ou o método numérico precisam ser
alterados.
ERROS
TIPOS DE ERROS (1/6)

Erro na Modelagem


Devido à expressão matemática que não reflete
perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem
sido obtidos com pouca exatidão.
Erro Grosseiro

Devido a erro na elaboração ou implementação do
algoritmo ou a erro de digitação.
TIPOS DE ERROS (2/6) - TRUNCAMENTO

Erro de Truncamento:

Devido à aproximação de uma fórmula.
expansão da função exponencial
em séries de potência
Exercício: Calcular o valor de e1 por meio de uma série
truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se
que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.
TIPOS DE ERROS (3/6) ARREDONDAMENTO

Erro de Arredondamento:


Devido à forma de representação de números no
computador.
Conversão de base (decimal→binário)


Problema com o número de bits que são usados para
representar os números (números fracionários).
Nem sempre um número decimal exato tem representação
exata em binário. Ex. 0,110 → 0,0001001100110012 =
0,09999084410 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6).
TIPOS DE ERROS (4/6) - ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Números em ponto flutuante (reais) são
representados no formato normalizado:
5 = 0.5 x 101
 0,007 = 0.7 x 10-2
 35,42 = 0.3542 x 102


Representação no computador
TIPOS DE ERROS (5/6) ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Suponha uma mantissa e expoente de tamanho 4
(excluindo bit de sinal):
Represente -8
 Represente 37
 Some 0,375 e 0,05
 Qual o maior número que pode ser representado
nesse computador?

TIPOS DE ERROS (4/6) ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Formato IEEE de ponto flutuante
ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO

Duas formas de medir o erro.

Erro Absoluto = valor real – valor aproximado.

Erro Relativo = valor real – valor aproximado
valor real
OUTROS CONCEITOS IMPORTANTES

Complexidade computacional
Medida do esforço computacional despendido para
resolver o problema.
 Medido pelo número necessário de operações
aritméticas e lógicas.


Convergência
Propriedade de gerar solução exata.
 Ordem de Convergência: rapidez com que a sequência
gerada por dado método converge para a solução
exata.

DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS
SOLUÇÕES (1/3)
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis
(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)
Limitação na representação numérica
(24 bits)
Erro de 0,34 s no cálculo do
tempo de lançamento
21
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS
SOLUÇÕES (2/3)
Exemplo 2: Explosão de foguetes
(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)
Limitação na representação numérica
(64 bits/ 16 bits)
Erro de trajetória 36,7 s
após o lançamento
Prejuízo: U$ 7,5 bilhões
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DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS
SOLUÇÕES (3/3)
Exemplo 3: Afundamento de
Plataforma Marítima
(23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega –
Plataforma Sleipner)
Parcialmente causada por erro de
análise no elemento finito
Rompimento de uma das
Células que compunham a
parede
Prejuízo: U$ 700 milhões