CAP. I – ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO
0. Introdução
Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema
realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas.
A obtenção de uma solução numérica para um problema físico através da aplicação de
métodos numéricos nem sempre nos dá valores de acordo com o pretendido.
A diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exacto é designado por erro.
Pretende-se dar uma noção aos utilizadores de métodos numéricos, sobre as fontes de
erros, para que se possam eliminar, ou pelo menos, controlar o seu valor.
Vamos então descrever o processo de determinação da solução de um problema físico,
por meio de métodos numéricos.
Problema
Modelo
modelagem
físico
resolução
Solução
Matemático
Métodos Numéricos
modelagem: obtém-se o modelo matemático que descreve o
comportamento do problema físico;
resolução: obtém-se a solução numérica do modelo matemático
através da aplicação de métodos numéricos.
Acetato 1-Erros em cálculo numérico
1. Fonte e tipo de erros
A resolução de um problema físico utilizando um método numérico produz, em geral,
uma solução aproximada do problema.
A introdução de erros na resolução do problema pode ser devida a vários factores.
Em função da sua origem, podemos considerar os diferentes tipos de erros:
erros iniciais do problema (são exteriores ao processo de cálculo)
erros inerentes ao modelo matemático
erros inerentes aos dados
erros associados ao uso de métodos numéricos (ocorrem no processo de cálculo)
erros de arredondamento
erros de truncatura
Problema
Físico
Modelo
Matemático
Erros
inerentes
aos Dados
Dados e
Parâmetros
do Modelo
Erros inerentes
ao Modelo
Modelo
Numérico
Cálculo
Solução
Acetato 2-Erros em cálculo numérico
Erros de
Truncatura
Erros de
Arredondamento
Erros inerentes ao modelo: Um modelo matemático raramente oferece uma
representação exacta dos fenómenos reais. Na grande maioria dos casos são apenas
modelos idealizados, já que ao estudar os fenómenos da natureza vemo-nos forçados,
regra geral, a aceitar certas condições que simplificam o problema por forma a torná-lo
tratável. Os melhores modelos são os que incluem aquelas características do problema
real necessárias para reduzir os erros nesta fase a um nível aceitável.
Erros inerentes aos dados: Um modelo matemático não contém apenas equações e
relações, também contém dados e parâmetros que, frequentemente, são medidos
experimentalmente, e portanto, aproximadas. As aproximações nos dados podem ter
grande repercussão no resultado final.
Erros de arredondamento: Quer os cálculos sejam efectuados manualmente quer
obtidos por computador ou numa calculadora, somos conduzidos a utilizar uma
aritmética de precisão finita, ou seja, apenas podemos ter em consideração um número
finito de dígitos. O erro devido a desprezar os outros e arredondar o número é designado
por erro de arredondamento.
Erros de truncatura: Muitas equações têm soluções que apenas podem ser construídas
no sentido que um processo infinito possa ser descrito como limite da solução em
questão. Por definição, um processo infinito não pode ser completado, por isso tem de
ser truncado após certo número finito de operações. Esta substituição de um processo
infinito por um processo finito, resulta num certo tipo de erros designado erro de
truncatura. Em muitos casos, o erro de truncatura é precisamente a diferença entre o
modelo matemático e o modelo numérico.
Existem 2 tipos de erros associados ao uso de métodos numéricos para resolver um
problema num computador ou calculadora: os erros de arredondamento e os erros de
truncatura. Como consequência da ocorrência destes erros, as soluções numéricas
obtidas são, em geral, soluções aproximadas.
Para podermos avaliar quão próxima da solução exacta está a solução aproximada
calculada é necessário conhecer o seu erro.
Acetato 3-Erros em cálculo numérico
! Definições de erro
O conhecimento de uma aproximação para a solução de um problema só tem
qualquer interesse se é acompanhada de informação sobre o seu erro.
"
erro
Seja x o valor aproximado duma quantidade cujo valor exacto é x.
O erro de x , define-se como:
x ! x-x
Há vários critérios para avaliar a qualidade de uma aproximação.
"
erro absoluto
O erro absoluto do valor aproximado x , define-se como o valor absoluto
de "x, i.é,
# x ! | "x | = x - x
"
erro relativo
Se x $ 0, o erro relativo do valor aproximado x , define-se como
rx !
"x
x
!
x-x
x
O erro relativo, como expressa o erro como fracção de |x|, está relacionado
com o erro percentual. Ao produto rx%100 expresso em percentagem dá-se
o nome de percentagem de erro ou erro percentual.
2. Erros de Arredondamento
Quase todo o cálculo numérico é realizado num computador ou numa calculadora.
Como as máquinas têm capacidade finita para guardar informação conseguem apenas
representar exactamente um número finito de números reais, cada um com um número
fixo de dígitos (algarismos).
Sendo o suporte numérico da maioria dos problemas matemáticos o conjunto dos
números reais, que é infinito e contínuo, levantam-se algumas questões, sendo duas
delas:
Como são representados números reais numa máquina?
Quais as consequências dessa representação de IR nos resultados obtidos?
Acetato 4-Erros em cálculo numérico
Iremos responder, de modo sucinto, a estas duas questões.
Começaremos por explicar que a representação de números reais numa máquina é feita
por arredondamento, e verificaremos, em seguida, que a consequência é a ocorrência
dos chamados erros de arredondamento.
! Arredondamento
Para a maioria dos números reais a representação é feita por arredondamento (à
excepção de números demasiado grandes ou demasiado pequenos, em valor absoluto,
para poderem ser representados na máquina).
Definem-se vários tipos de arredondamento. Aqui faremos apenas referência ao mais
conhecido, e iremos apresentá-lo através de um exemplo.
Exemplo: Consideremos o número & = 3.1415926535... .Vamos definir um processo de
representação deste número com 3, 4 e 5 algarismos.
.
Comecemos por escrever & = 3.1415926535... com 3 algarismos eliminando os dígitos
a partir do quarto. Sendo o primeiro algarismo eliminado inferior a 5 consideramos
!1 = 3.14
como a representação, por arredondamento, de & com 3 dígitos.
.
Vamos agora escrever & = 3.1415926535... com 4 algarismos eliminando os dígitos a
partir do quinto. Sendo o primeiro algarismo eliminado igual a 5, consideramos
! 2 = 3.142
como a representação, por arredondamento, de & com 4 dígitos.
.
Finalmente escrevemos & = 3.1415926535... com 5 algarismos eliminando os dígitos a
partir do sexto. Sendo o primeiro algarismo eliminado superior a 5, consideramos
! 3 = 3.1416
como a representação, por arredondamento, de & com 5 dígitos.
O procedimento para representar um real com um nº finito de dígitos por
arredondamento é o seguinte:
#
ignoram-se os algarismos à direita do da última ordem decimal que se pretende
reter;
Acetato 5-Erros em cálculo numérico
#
Se o primeiro dígito desprezado é inferior a 5, o número obtido é a representação
desse real por arredondamento;
#
Se o primeiro dígito eliminado é superior ou igual a 5 adiciona-se uma unidade
na ordem decimal do último dígito conservado para obter a representação desse
real por arredondamento.
Observe-se, que se um número x
é obtido de x por este procedimento
(arredondamento), então todos os números de x são significativos.
! Algarismos significativos
Outra maneira de conhecer a precisão de um valor aproximado é ter
informação sobre o número de algarismos significativos dessa aproximação, i. é,
número de algarismos da esquerda para a direita e a partir do primeiro dígito
diferente de zero.
Exemplos:
.
O valor aproximado 3.14 para & = 3.1415926535... tem 3 algarismos
significativos;
.
.
A aproximação 0.333 para 1/3 =0.3333333333... tem 3 dígitos significativos;
O valor aproximado 0.0498 para e-3 =0.049787068 tem 3 algarismos
significativos.
!
Erros de arredondamento
A distância entre um número real e uma sua aproximação obtida por arredondamento
é chamada erro de arredondamento.
Erro absoluto de arredondamento
Se x é um valor obtido por arredondamento de x então chama-se erro absoluto
de arredondamento a | x ' x |.
Erro relativo de arredondamento
Acetato 6-Erros em cálculo numérico
Se x $ 0 e x é um valor obtido por arredondamento de x então chama-se erro
relativo de arredondamento a
| x-x|
.
x
Exemplo: Calculemos os erros (absolutos) de arredondamento das aproximações
obtidas para & = 3.14159265 no exemplo anterior. Tem-se
| "& | = | & - & | =
= 0.5%10-2
| & - 3.14 | = 0.0015926... < 0.005
| "& | = | & - & | = | & - 3.142| = 0.0004073... < 0.0005 = 0.5%10-3
| "& | = | & - & | = | & - 3.1416 | = 0.0000073... < 0.00005 = 0.5%10-4
Note-se que em cada um dos casos todos os algarismos do valor aproximado são
significativos.
Em geral, dizemos que x é o valor aproximado de x, arredondado para k casas decimais
correctas sse:
x ! x - x ( 0.5 %10
'k
.
Mas os erros de arredondamento não ocorrem apenas na representação de dados.
Ocorrem também na representação de resultados de operações aritméticas. Isto porque o
resultado de uma operação aritmética entre dois números representados com um número
fixo de algarismos pode não ser um número com o mesmo número de algarismos.
Exemplo:
O resultado da divisão de 3.1416 por 9, números que têm no máximo 5 dígitos, é
3.1416
! 0.3490666... uma dízima infinita. O resultado da divisão arredondado para 5
9
dígitos é 0.34907.
3. Erros de Truncatura
Acetato 7-Erros em cálculo numérico
Há problemas que não podem ser resolvidos exactamente realizando apenas um
número finito de operações aritméticas, mas que podem, ser aproximados por
problemas cuja solução é obtida executando uma sequência finita de operações
aritméticas. São assim gerados os erros de truncatura. Apresentamos dois exemplos.
1. Cálculo numérico da soma de uma série
*
Seja S a soma de uma série convergente de termo geral aj, S =
)a
j
.
j !0
Quando aproximamos S por Sn =
n
)a
j
, o erro Rn = S - Sn é um erro de truncatura.
j !0
É originado pela substituição do cálculo exacto da soma de uma série, pelo cálculo da
soma de n+1 termos dessa série.
2. Cálculo de valores de funções transcendentes
Funções racionais (polinómios e quocientes de polinómios) são as únicas cujos valores
podem ser calculados usando apenas um número finito de operações aritméticas.
Para calcular numericamente valores de uma função transcendente podemos
aproximá-la por uma função racional.
Aproximação de funções
A aproximação de funções é um tema central da análise numérica.
A razão disso é a ocorrência de um grande número de problemas matemáticos,
envolvendo funções, cuja solução não é possível (ou é muito difícil) determinar por
métodos analíticos. São exemplos de tais problemas o cálculo do valor de um integral
definido quando se desconhece uma primitiva da função integranda, a determinação de
zeros de uma função quando não existe uma fórmula explícita para o fazer, o desenho
do gráfico de uma função da qual se conhecem apenas alguns dos seus valores
determinados numérica ou experimentalmente, ...
A estratégia no desenvolvimento de métodos numéricos para resolver estes problemas é
baseada na substituição da função dada por uma função aproximante, considerada mais
"simples", cujo comportamento é muito semelhante ao da função dada.
Acetato 8-Erros em cálculo numérico