ERROS EM ALG. NUMÉRICOS
E SUAS CONSEQUÊNCIAS
Prof. Renata S.S. Guizzardi
Dpto. de Informática (CT/DI)
2010/01
AGENDA

Tipos de Erros
Erro de Modelagem
 Erro Grosseiro
 Erro de Truncamento
 Erro de Arredondamento

Possíveis Consequências
 Erro absoluto e Relativo
 Outros Conceitos Relevantes

TIPOS DE ERROS (1/6)

Erro na Modelagem


Devido à expressão matemática que não reflete
perfeitamente o fenômeno físico ou aos dados terem
sido obtidos com pouca exatidão.
Erro Grosseiro

Devido a erro na elaboração ou implementação do
algoritmo ou a erro de digitação.
TIPOS DE ERROS (2/6) - TRUNCAMENTO

Erro de Truncamento:

Devido à aproximação de uma fórmula.
expansão da função exponencial
em séries de potência
Exercício: Calcular o valor de e1 por meio de uma série
truncada de segunda ordem. Verificar o erro sabendo-se
que o valor com 4 algarismos significativos é 2,718.
TIPOS DE ERROS (3/6) ARREDONDAMENTO

Erro de Arredondamento:


Devido à forma de representação de números no
computador.
Conversão de base (decimal→binário)



Problema com o número de bits que são usados para
representar os números (números fracionários).
Nem sempre um número decimal exato tem representação
exata em binário. Ex. 0,110 → 0,0001001100110012 =
0,09999084410 (erro de 0,000009155 ≈ 9.10-6).
Exercícios
TIPOS DE ERROS (4/6) - ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Números em ponto flutuante (reais) são
representados no formato normalizado:
5 = 0.5 x 101
 0,007 = 0.7 x 10-2
 35,42 = 0,3542 x 102


Representação no computador
TIPOS DE ERROS (5/6) ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Suponha uma mantissa de tamanho 2:
Represente 35,42
 Some 4,32 e 0,064
 Subtraia 372 e 371
 Multiplique 1234 por 0,016

TIPOS DE ERROS (4/6) ARREDONDAMENTO
ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE

Formato IEEE de ponto flutuante
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS
SOLUÇÕES (1/3)
Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis
(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)
Limitação na representação numérica
(24 bits)
Erro de 0,34 s no cálculo do
tempo de lançamento
9
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS
SOLUÇÕES (2/3)
Exemplo 2: Explosão de foguetes
(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane 5)
Limitação na representação numérica
(64 bits/ 16 bits)
Erro de trajetória 36,7 s
após o lançamento
Prejuízo: U$ 7,5 bilhões
10
DESASTRES CAUSADOS POR ERROS NAS
SOLUÇÕES (3/3)
Exemplo 3: Afundamento de
Plataforma Marítima
(23/08/1991 – Mar do Norte/Noruega –
Plataforma Sleipner)
Parcialmente causada por erro de
análise no elemento finito
Rompimento de uma das
Células que compunham a
parede
Prejuízo: U$ 700 milhões
ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO

Duas formas de medir o erro.

Erro Absoluto = valor real – valor aproximado.

Erro Relativo = valor real – valor aproximado
valor real
Exercício: calcular erro absoluto e relativo para os exercícios
anteriores.
OUTROS CONCEITOS IMPORTANTES

Complexidade computacional
Medida do esforço computacional despendido para
resolver o problema.
 Medido pelo número necessário de operações
aritméticas e lógicas.


Convergência
Propriedade de gerar solução exata.
 Ordem de Convergência: rapidez com que a sequência
gerada por dado método converge para a solução
exata.

PÁGINA DO CURSO
http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/algNum/civil20101.htm
http://www.inf.ufes.br/~rguizzardi/algNum/mecanica20101
.htm