Noção Geral de Média
Módulo 24 – Frente 2 – Apostila 3
Teoria – pág. 12 e 13
Exercícios – pág. 16 e 17
TC – Nº: 1, 2, 3, 5 e 7
A média procura substituir um conjunto de
valores por um valor só. Há diversos tipos de
média: aritmética, ponderada, harmônica,
geométrica, etc. Entretanto, a média aritmética e
a média ponderada são as que aparecem com
maior frequência no nosso dia a dia.
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Média aritmética simples
Sendo conhecida apenas por média, ela é considerada a
medida de posição mais utilizada no dia a dia.
A média de um conjunto de valores numéricos é calculada
somando-se todos esses valores e dividindo-se o resultado
pelo número de elementos somados.
http://www.somatematica.com.br/fundam/medias.php
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Média aritmética simples
n números
a
+
b
+
c
+
...
+
i
M=
n
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Exemplos
 Calcule a média entre 6 e 8.
6+8 = 7
2
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
 O valor do dólar numa determinada semana está exposto na
tabela abaixo.
Segunda
Terça
Quarta
Quinta
Sexta
R$ 2,50
R$ 2,00
R$ 2,10
R$ 1,90
R$ 2,20
Qual o valor médio do preço do dólar nessa semana?
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MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Resposta
M = 2,5 + 2,0 + 2,1 + 1,9 +2,2
5
M = 2,14
Resposta: O valor médio é de R$2,14.
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
 João estuda no 9º ano e está com as seguintes
médias em Matemática: 4,0; 7,0 e 8,0. Quanto
ele precisa tirar no próximo (último) bimestre
para que a média final seja 7,0 e, dessa forma, ele
não vá para a recuperação?
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
7,0 = 4,0 + 7,0 + 8,0 + x
4
28 = 19 + x
x=9
Resposta: João precisa tirar 9,0 de média no
próximo bimestre.
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Aplicação no dia a dia
 O cálculo da média aritmética é muito utilizado em
campeonatos de futebol, no intuito de determinar a
média de gols da rodada, nas escolas, para calcular a
média final dos alunos, além de ser usado nas
pesquisas estatísticas.
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Média Aritmética Ponderada
 Ponderar é sinônimo de pesar. No cálculo da média
aritmética ponderada, multiplica-se cada valor numérico por
seu “peso”, os resultados serão somados e divididos, em
seguida, pela soma dos pesos.
p = x1p1 + x2p2 + ... +xnpn
p1 + p2 + ... + pn
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Aplicações no dia a dia
 A média
aritmética ponderada é muito usada nos
vestibulares, quando as matérias possuem “pesos” diferentes.
Esse peso varia de acordo com a área de atuação do curso.
Exemplo: cálculo da nota do Enem.
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Exemplos
 Para calcular a nota da 2ª fase do vestibular de Engenharia, uma
certa universidade atribui pesos diferentes às disciplinas
específicas:
Peso
Matemática
Português
Física
3
3
2
I. Júlia tirou 5 em Matemática, 6 em Português e 7,5 em Física.
II. João teve média final igual a 7,5. Sabe-se que tirou 7 em
Português e 7 em Matemática.
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
a. Quanto João tirou em Física?
b. Se as médias de João e Júlia fossem as mesmas,
quanto João teria tirado em Física?
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Respostas
a.
7,5 =
7,5 . 8 = 2F + 21 + 21
60 = 42 + 2F
2F = 18
F=9
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
b.
5.3 + 6.3 +7,5.2
8
7.3 + 7.3 +F.2
8
15 + 18 + 15 = 21 + 21 + 2F
48 = 42 + 2F
2F = 6
F=3
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
 Uma escola decidiu inovar na forma de calcular a média final de seu
alunos e passou a atribuir peso a cada bimestre:
1º bimestre teve peso 3.
2º bimestre teve peso 3.
3º bimestre teve peso 2.
4º bimestre teve peso 2.
Qual a média anual de Rodrigo, que obteve as seguintes notas em
História:
1º bim. = 4
2º bim. = 3
3º bim. = 2,5
4º bim. = 6?
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Resolução
M=
4.3 + 3.3 + 2,5.2 + 6.2
3 + 3 +2 +2
M = 12 + 9 + 5 + 12
10
M = 3,8
Já que as duas são médias
aritméticas, então qual a
diferença entre elas?
A diferença está no fato de que, nos cálculos
envolvendo média aritmética simples, todos os
valores numéricos possuem exatamente a mesma
importância ou o mesmo peso. No entanto,
existem casos nos quais as ocorrências têm que
levar em consideração o peso ou importância de
cada elemento. Esse tipo de média chama-se
média aritmética ponderada.
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Observe a diferença nesses dois exemplos:
Exemplo 1: Em uma família com 4 integrantes, o primeiro
consome 200g de carne vermelha por dia; o segundo, 300g; o
terceiro, 100g; e o quarto integrante consome 600g de carne
vermelha por dia. Qual consumo médio total diário dessa
família?
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
 Resolução
M = 200 + 300 + 100 + 600
4
M = 300g
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
Exemplo 2: Uma equipe de operários formada por 32 pessoas que
trabalham recebendo diárias em uma empresa é dividida da seguinte
forma:
10 ganham R$ 25,00
6 ganham R$ 40,00
2 ganham R$ 30,00
10 ganham R$ 35,00
4 ganham R$ 50,00
Quanto é, aproximadamente, a média das diárias recebidas pelos
funcionários em um dia de trabalho?
MATEMÁTICA, 9º Ano do Ensino Fundamental
Medidas Estatísticas: Médias Aritméticas e Ponderadas
M = 10.25 + 6.40 + 2.30 +10.35 + 4.50
10 + 6 + 2 +10 +4
M=
M
1100
32
~
= 34 reais
Média Geométrica
Média Geométrica - É a raiz enésima do produto dos n valores da amostra.
x  n x1.x 2 ......xn
Exemplo: Determine a média geométrica dos números 6, 4 e 9.
x  3 6.4.9  6
A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é a média geométrica
das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.Veja:
h  3.12  6
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois
meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria?
Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos
multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais.
Supondo um salário inicial de R$100,00.
Salário Inicial
% de aumento
R$100,00
R$120,00
R$134,4
20%
R$120,00
12%
R$134,4
R$143,08
Salário Inicial
% de aumento
R$100,00
R$112,8741
12,8741%
R$112,8741
12,8741%
12,8741%
R$127,4056245
R$127,4056245
7%
Salário Final
Salário Final
R$143,08
x  3 (1,2).(1,12).(1,07)  1,128741
Percentual médio de aumento:
12,8741%
Média Harmônica
Média Harmônica - É o inverso da média aritmética dos inversos.
Exemplo: Determine a média harmônica dos números 6, 4 e 9.
Média aritmética dos inversos:
1 1 1 19
 
6 4 9  36  19
3
3
108
Inverso da Média aritmética dos inversos:
108
 5,68
19
A média harmônica é um tipo de média que privilegia o desempenho harmônico do candidato. Terá
melhor desempenho o candidato que tiver um desempenho médio em todas as provas, do que aquele
que for muito bem numa e muito mal noutra. Exemplo:
Média Harmônica
 Exercícios – pág. 16
1.
Dados os números 4, 54 e 125, determine as médias
a)
aritmética, A;
b)
geométrica, G.
3. (UFJF) – A média das alturas dos cinco jogadores titulares de um time de basquete é igual a
1,98 m. O treinador deseja substituir um jogador de modo que a média de altura aumente para,
no mínimo, 2 m. Nessa substituição, a diferença, em centímetros, entre as alturas do jogador que
entrar e do jogador que sair deve ser, no mínimo, igual a:
a) 2
b) 5
c) 8
d) 10
e) 12