Colégio Geração Valparaíso - GV
POTENCIAÇÃO
Professor de Matemática: Engº. Gustavo H. R. Salesse
OPERAÇÕES COM
POTÊNCIAS
POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL
Um produto de fatores iguais pode escreverse de forma abreviada.
2x2x2x2 = 24
4 fatores
A isto chamamos POTÊNCIA DE EXPOENTE NATURAL
24
POTÊNCIA
2 é a BASE (indica o fator
que
se repete)
4 é o EXPOENTE (indica o
número de vezes que o fator
se repete)
ATENÇÃO!!
24 é diferente de 2x4
2x4 = 8
24 =
2x2x2x2=16
MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS COM A MESMA BASE
DÁ-SE A MESMA BASE E ADICIONAM-SE OS EXPOENTES
Exemplo
73x72
= (7x7x7) x (7x7)
= 7x7x7x7x7
= 75
=73+2
ENTÃO, 73x72 = 73+2 = 75
POTÊNCIAS DE POTÊNCIAS
DÁ-SE A MESMA BASE E MULTIPLICAM-SE OS EXPOENTES
Exemplo
(5 2 ) 3
= 52 x 52 x 52
= 52+2+2
= 53x2
= 56
ENTÃO, (52)3 = 52x3
VAMOS PRATICAR
UM BOCADO...
108
105x103 = ___
A
105 x 103
B
1015
C
108
D
10x5 + 10x3
168
164x16x163 = ___
A
168
B
1612
C
164x163
D
nenhuma
56
54x25 = ___
A
20 x 25
B
58
C
54x53 = 57
D
56
Potenciação
Ari vai começar o programa de condicionamento físico
para as competições escolares municipais.
O programa consiste numa corrida em volta do campo.
O número de voltas deve dobrar a cada semana.
1ª
2ª
3ª
4ª
Período
semana
semana
semana
semana
Nº de voltas
2
2.2=4
2.2.2=8
2.2.2.2=
16
Para determinar o número de voltas na 2ª semana,
devemos fazer:
2x2
2 fatores iguais
Para determinar o número de voltas na 3ª semana,
devemos fazer:
2x2x2
3 fatores iguais
Para determinar o número de voltas na 4ª semana,
devemos fazer:
2x2x2 x2
4 fatores iguais
Representamos essas multiplicações abreviadamente por:
2 x 2 = 22
2 fatores
2 x 2 x 2 = 23
3 fatores
2 x 2 x 2 x 2 = 24
4 fatores
A essa operação
chamamos de
POTENCIAÇÃO
Potenciação - Indica uma multiplicação de fatores iguais.
Expoente = fala para
base quantas vezes ela vai
se multiplicar.
53 = 5 . 5 . 5 = 125
Potência
= resultado da
operação.
Base
= FATOR QUE SE REPETE
Leitura de Potências
Expoente 2: (lê-se: ao quadrado) - 72 - sete elevado ao
quadrado.
Expoente 3: (lê-se: ao cubo) - 53 – cinco elevado ao cubo.
Expoente 4: (lê-se: quarta potência) - 34 – três elevado a
quarta potência.
Expoente 5: (lê-se: quinta potência) - 25 – dois elevado a
quinta potência.
Expoente 8: (lê-se: a oitava potência) - 48 – quatro
elevado a oitava potência.
Propriedades Básicas da Potenciação
a0 = 1
Todo número elevado a expoente 0 é igual a 1.
30 = 1; 50050 = 1; (1/5)0 = 1; (0,25)0 = 1
a1
= a
Todo número elevado ao expoente 1 é igual a ele
mesmo.
41 = 4; 19881 = 1988; (1/8)1 = 1/8; (0,25)1 = 0,25
1n = 1
1 elevado a qualquer expoente é igual a 1.
14 = 1; 11875 = 1; 1(1/5) = 1; 1(0,25) = 1
OBS: Quando um número não tiver expoente escrito, por convenção,
o número esta elevado ao expoente 1.
Propriedades Operatórias da Potenciação
1. Produto de potência de mesma base.
am.am=am+n
Repetimos a base e somamos os expoentes.
85 . 87 = 85 + 7 = 812; 12 . 12 = 12
1+1
= 122; 52 . 53 = 52 + 3 = 55
2. Divisão de potência de mesma base.
am:m=am-n
47 : 4 5 = 4 7
-5
Repetimos a base e subtraimos os expoentes.
= 42; 113 : 11 = 113 - 1 = 112; 43 : 44 = 4 3 - 4 = 4- 1
Propriedades Operatórias da Potenciação
3. Potência de potência.
(am)n=am.
Repetimos a base e multiplicamos os
expoentes.
n
(35)7 = 35
.7
= 335; (102)3 = 10
2.3
= 106
4. Potência de um produto ou de um quociente.
(a.b)n=an.bn
(a/b)n=an/b
n
Elevamos cada fator ao expoente.
Elevamos numerador e denominador ao
expoente.
(2 . 3)7 = 27 . 37; (12 : 5)3 = 123 : 53
Exercícios
1. Em 72 = 49, responda:
a) Quem é a base?
a) base: 7
b) Quem é o expoente?
b) expoente: 2
c) Quem é a potência?
c) potência: 49
2. Em 25 = 32, responda:
a) Quem é a base?
b) Quem é o expoente?
c) Quem é a potência?
a) base: 2
b) expoente: 5
c) potência: 32
Exercícios
3. Escreva na forma de potência:
a) 4 . 4 =
42
b) 5 . 5 . 5 . 5 =
c) 1 . 1 . 1 . 1 . 1 =
54
15
d) 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 =
86
4. Calcule as potências:
a) 1300 =
b) 122 =
c) 2850 =
1
d) 25 =
12 . 12 = 144
1
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
e) 03 =
f) 1081 =
0
1
5. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade do produto de
potências de mesma base:
a) 25 . 23 =
b) 4- 2 . 46 =
25 + 3 = 2 8
4-2 + 6 = 44
c) 83 . 8-1 =
d) 33 . 36 . 3-1 =
83 + (- 1) = 82
33 + 6 - 1 = 3 8
Exercícios
6. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade do quociente
de potências de mesma base:
a) 49 : 46 =
49-6 = 43
c) 6 : 65 =
b) 55 : 53 =
55-3 = 52
d) 108 : 103 =
61-5 = 6- 4
108-3 = 105
7. Reduza a uma só potências, aplicando a propriedade da potência
de potência:
a) (32)3 =
32.3 = 26
c) (65)x =
65x
b) (22)5 =
22.5 = 210
d) (5-2)3 =
5(- 2).3 = 5- 6
8. Reduza a uma só potência, aplicando a propriedade potências de
um produto ou quociente:
a) (2 . 5)3 =
23 . 5 3
c) (4 : 7)2 =
42 : 72
b) (4 . 6)5 =
45 . 6 5
d) (3 . 9)4 =
34 . 94
NÚMEROS RACIONAIS
FRAÇÕES
A Joana e o André parecem terem voltado ao tempo da préprimária! Toda a tarde fazem figurinhas, pintam, contam … que
giro!
Afinal, já estão no 6º Ano! Estão trabalhando com números
racionais, frações … sei lá … nomes esquisitos ! ! !
Anda ! Vamos olhar!
eh..eh!!?
Escreve para cada caso a fração que representa a porção pintada.
2
3
1
4
3
2
4
4
5
4
8
8
3
6
4
3
3
3
Ah!...
Muito bem! Afinal tu também gostas destas brincadeiras…
Então, agora, responde-me :
De todas aquelas frações, quais as que representam números
menores que 1?
Números menores que a unidade?
2
3
1
4
3
6
Parabéns! Está correto.
Concluímos que: Quando o numerador é menor que o denominador, a fração
representa um número menor que 1. Chamam-se FRAÇÕES PRÓPRIAS.
E quais daquelas frações representam números maiores que 1?
Números maiores que a unidade?
3
2
4
3
5
4
Parabéns, outra vez!
Concluímos que: quando o numerador é maior que o denominador, a fração representa
um número maior que 1. Chamam-se FRAÇÕES IMPRÓPRIAS.
E quais representam o número 1?
Representam a unidade?
4
4
8
8
3
3
Parabéns, pela 3ª vez!
Concluímos que: Uma fração representa o número 1 (a unidade) quando o numerador
é igual ao denominador.
Agora eu vou brincar contigo!
Considera as frações:
Descubra as duas frações
que são “diferentes”
neste grupo.
Pois é… também acertou. As diferentes são:
25
10
1
2
5
100
3
4
8
1000
1
2
e
96
10
12
1000
3
4
As outras são: FRAÇÕES DECIMAIS, ou seja, frações cujo denominador é
10, 100, 1000… (potência de base 10).
312
100
Mais um desafio para você:
Escreva sob a forma de numeral decimal, o número representado por cada uma das frações
decimais.
96

10
25

10
5

100
12

1000
312

100
Frações com igual denominador….
Na festa de aniversário da Joana, todos os bolos estavam cortados em doze
fatias iguais. O gráfico refere-se ao número de fatias de cada bolo, que se
comeu durante a festa.
12
Chocolate
Nº de fatias comidas
10
Amêndoa
8
6
Noz
4
2
0
Escreve a fração correspondente ao número de fatias que se comeu de cada bolo.
Amêndoas
8
12
Chocolate
11
Noz
12
4
12
11 8
4


12 12 12
Conclusão: Frações com igual denominador, representa um número maior a que tiver maior
numerador.
Frações com igual numerador…
A mãe do André pôs-lhe um problema: tenho uma barra de chocolate para repartir por duas,
três ou quatro crianças. Em que caso, ficará cada criança com mais chocolate?
O André pensou, fez um esquema e depois respondeu.
1
2
1
3
1
4
Quando são só duas crianças.
1 1 1
 
2 3 4
Concorda com o André?
Conclusão: Frações com igual numerador, é maior a que tiver menor denominador.
E se as frações tiverem diferentes numeradores e diferentes denominadores? Como fazer?
2
4
é maior ou menor que
?
1
5
É fácil !!!
2
 2 : 4  0,5
4
1
 1 : 5  0,2
5
0,5  0,2
Logo
2 1

4 5
Podemos dividir o numerador pelo denominador e comparar os resultados.
FRACÕES EQUIVALENTES
A Educadora deu a cada um dos meninos: Zezinho, Pedrinho e Joãozinho, uma folha A4 para
pintarem como se fosse uma parede.
O Zezinho pintou
da 1
folha, o Pedrinho
e o Joãozinho
2
2
Zezinho
1
2
4
Pedrinho
2
4
. Qual deles pintou
4 mais?
8
Joãozinho
1 2 4
   0,5
2 4 8
Afinal, pintaram todos a mesma porção de folha. Frações equivalentes são
frações que representam o mesmo número.
4
8
x4
Repara:
:4
x2
:2
1 2 4
 
2 4 8
x2
ou
1 2 4
 
2 4 8
:2
x4
:4
Princípio de equivalência de frações: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos de uma
fração pelo mesmo número inteiro, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à dada.
Faz você:
Por exemplo:
x3
x2
4 12

5 15
1
2

18
9
x3
x2
:5
15
3

30
6
:5
Simplificar uma fração é, obter uma fração equivalente com termos menores.
Então, simplifica até ao máximo a fração:
:2
:2
24 12 6 2

 
36 18 9 3
:2
2
3
:2
: 12
:3
ou
:3
não se pode simplificar mais. Chama-se FRAÇÃO IRREDUTÍVEL.
2
24

3
36
: 12
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Apostila de Matemática
Página 22

Exercícios
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07-
a) A fração 4/18, a partir da fração
2/9:
R: 2/9 = 4/18 (x 2)
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07-
b) A fração 4/15, a partir da fração
12/15:
R: 12/15 = 4/5 (: 3)
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07. Agora, converse com o seu professor e
colegas e elaborem uma regra para encontrar
uma fração equivalente a outra:
R: Para encontrar uma fração equivalente a
outra, devemos multiplicar ou dividir o
numerador e o denominador de uma das frações
(ao mesmo tempo) por um mesmo número
diferente de zero.
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08a) 6/8 = 42/56
b) 44/121 = 4/11
c) 20/200 = 2/20
d) 12/100 = 3/25
e) 3/25 = 15/125
f) 20/25 = 4/5
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09-
a) 3/8
b) 8/8
c) 8/8 + 2/8 = 10/8
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09d)
. Número que representa uma ou mais partes da
unidade que foi dividida em partes iguais;
número fracionário.
. Em matemática, essa palavra também pode
significar uma porção maior que o todo, tomado
como referência.
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10-
A – 18/6
18/6 = 3
C – 7/6
7/6 = 1 1/6
D – 18/7
18/7 = 2 4/7
G – 14/9
14/9 = 1 5/9
49