MOQ-12: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
Distribuições Notáveis
Distribuições Discretas:
Distribuição Uniforme Discreta:
Uma va discreta X definida nos pontos x1, x2,...,xn tem distribuição uniforme discreta se
assume cada um dos n valores possíveis com igual probabilidade. Temos:
f ( xi )
1
,
n
0,
para i 1,..., n
caso contrário
Teorema:
Seja X uma va discreta que se distribui uniformemente nos pontos definidos pela seqüência
de números inteiros consecutivos 1,2, ...,n. Então:
E[ X ]
n 1
; Var[ X ]
2
n2 1
; m X (t )
12
n
tX
e ti
E[e ]
i 1
1
n
OBS:
- Se o espaço amostral é um conjunto enumerável e infinito ( +, por exemplo), então não é
possível definir um experimento uniformemente distribuído neste conjunto.
- Se o espaço amostral for um conjunto não-enumerável, finito, tal como o intervalo real
[0,1], utilizamos a distribuição uniforme contínua.
Exemplo 1:
Geração de números aleatórios
Dependendo do pacote computacional disponível, podemos gerar um número aleatório de
duas maneiras: (i) um inteiro aleatório num certo intervalo de números inteiros
consecutivos, ou (ii) um número real qualquer no intervalo [0,1].
No primeiro caso, os números reais são escolhidos de forma que a probabilidade de que o
número encontre-se dentro de um sub-intervalo contido em [0,1] seja igual ao comprimento
do sub-intervalo em questão.
No segundo caso, cada inteiro tem a mesma probabilidade de ser escolhido.
Seja X uma va com fdp dada por f(x), onde x pertence ao conjunto{ x1, x2, x3} e f(x1) = 1/2,
f(x2) = 1/3 e f(x3) = 1/6.
Caso 1: Geração de números inteiros aleatórios num conjunto inteiro definido.
Se o computador for capaz de gerar números aleatórios no conjunto {1, 2,...,6}, por
exemplo, fazemos:
x1: se resultar 1,2 ou 3
x2: se resultar 4 ou 5
x3: se resultar 6
Obtivemos, então a distribuição desejada a partir de um gerador de números inteiros
aleatórios.
Caso 2: Geração de números reais aleatórios no intervalo [0,1].
Se r é um número real aleatório no intervalo [0,1] gerado pelo computador, fazendo:
R = 6r +1,
Obtemos um número inteiro aleatório entre 1 e 6 (a notação
inteiro menor do que x), a partir de números reais aleatórios.
x significa o maior número
A distribuição desejada pode ser obtida como no primeiro caso ou, ainda, gera-se um
conjunto de números reais aleatórios, ri, no intervalo [0,1], de forma que temos:
x1: se ri 1/2;
x2: se 1/2 < ri 5/6;
x3: se ri > 5/6.
Distribuição de Bernoulli:
A distribuição de Bernoulli é conseqüência do chamado experimento de Bernoulli , que
pode ser descrito como:
1. Um experimento aleatório em que há apenas dois possíveis resultados: sucesso e
fracasso .
2. A probabilidade de ocorrer sucesso vale p, enquanto para fracasso , vale 1-p.
Podemos definir a va X que representa o resultado do experimento. Esta variável segue a
distribuição de Bernoulli com parâmetro p.
Definição:
Uma va discreta X tem distribuição de Bernoulli se sua fdp é dada por:
f ( x)
p x q 1-x ,
0,
para x
0,1
caso contrário
, onde 0
p
1 e q=(1-p)
Teorema:
Seja X uma va discreta que tem distribuição de Bernoulli. Então:
E[ X ]
p ; Var[ X ]
pq ; m X (t )
E[e tX ]
pe t
q
Exemplo 2:
- Um medicamento cuja probabilidade de curar uma determinada doença é de 0,9 é
administrado a um paciente. Os resultados possíveis são curado ou não-curado . Se X =
resultado após medicação, então X ~ Bernoulli (p=0,9).
Distribuição Binomial:
Suponha que o experimento de Bernoulli seja repetido n vezes, de forma que sejam válidas:
1. Hipótese de Independência: Cada repetição do experimento é independente do anterior.
2. Hipótese de Estacionariedade: A probabilidade p de sucesso permanece constante para
todos os experimentos. O mesmo vale para a probabilidade de fracasso , dada por q = 1-p.
Se X é uma va que representa o número de sucessos obtidos nos n experimentos, então X
segue a distribuição Binomial, com parâmetros (n, p).
Definição:
Uma va discreta X tem distribuição Binomial se sua fdp é dada por:
n
f ( x)
x
0,
p x q n-x ,
para x
0,1,..., n
, onde 0
p
1 e q=(1-p)
caso contrário
Teorema:
Seja X uma va discreta que tem distribuição binomial. Então:
E[ X ]
np ; Var[ X ]
npq ; m X (t )
E[e tX ]
pe t
q
n
Exemplo 3:
A seguir, apresentamos alguns exemplos em que os resultados de um experimento podem
ser modelados como uma va Binomial:
- Um medicamento cuja probabilidade de curar uma determinada doença é de 0,9 é
administrado a 100 pacientes. Os resultados possíveis para cada paciente são curado ou
não-curado . Se X = número de pacientes curados, então X ~ Binomial (100; 0,9).
- Pesquisas revelam que há 20% de chance de que uma pessoa adulta sofra de algum tipo de
desordem psiquiátrica. Um grupo de 25 pessoas é selecionado aleatoriamente. Definindo X
o número de pessoas que apresentam uma desordem psiquiátrica, temos que X ~ Binomial
(25; 0,20).
- Um fabricante de chips de computador acredita que, em média, 5% dos itens produzidos
são defeituosos. A fim de monitorar o processo de fabricação, toma uma amostra de 75
itens. Se a amostra contiver mais do que 5 chips defeituosos, o processo é interrompido. A
distribuição Binomial de parâmetros (75; 0,05) pode ser utilizada para modelar a va X
definida como sendo o número de chips defeituosos encontrados.
Simulação no MATLAB:
Pesquisas revelam que há 20% de chance de que uma pessoa adulta sofra de algum tipo de
desordem psiquiátrica. Um grupo de 25 pessoas é selecionado aleatoriamente. Definindo X
o número de pessoas que apresentam uma desordem psiquiátrica, temos que X ~ Binomial
(25; 0,20). Qual a probabilidade de que no máximo 3 pessoas do grupo selecionado tenham
a desordem.
Solução Manual:
Queremos P(X 3):
P( X
3)
mas, p ( x)
p ( 0)
p (1)
p ( 2)
p (3)
25
0
25
1
25
2
25
3
p(0)
n
x
p(1)
p(2)
p(3)
p x q n-x :
.0,2 0.0,8 25
3,78.10
.0,21.0,8 24
2,36.10
3
2
P( X
.0,2 2.0,8 23
7,08.10
.0,2 3.0,8 22
0,136
2
3)
0,234
Distribuição de Poisson:
A distribuição de Poisson ocorre em muitas situações práticas. Juntamente com as
distribuições Uniforme e Binomial é uma das três distribuições discretas mais importantes.
Existem certos fenômenos em que estamos interessados em contar alguma grandeza. No
caso da va Binomial, estávamos interessados no número de sucessos em um determinado
número de experimentos.
A distribuição de Poisson é um modelo realista quando aplicada a fenômenos aleatórios em
que a contagem de ocorrências num determinado intervalo é a variável em análise.
Dado um intervalo real qualquer, suponha que os eventos ocorram aleatoriamente no
intervalo. Se o intervalo puder ser particionado em pequenos sub-intervalos, de forma que:
1. A probabilidade de mais de uma ocorrência em um sub-intervalo é desprezível;
2. A probabilidade de uma ocorrência em qualquer sub-intervalo é proporcional ao
comprimento do sub-intervalo; e
3. O número de ocorrências em um determinado sub-intervalo independe das ocorrências
em outros sub-intervalos; então
O experimento descrito é chamado processo de Poisson. A va X que representa o número
de ocorrências no intervalo é uma va de Poisson de parâmetro . A média de tal va
representa o valor esperado de ocorrências no intervalo considerado.
Definição:
Uma va discreta X tem distribuição de Poisson se sua fdp é dada por:
x
e
f ( x)
x!
,
0,
para x
0,1,...
, onde >0.
caso contrário
Teorema:
Seja X uma va discreta que tem distribuição de Poisson. Então:
E[ X ]
; Var[ X ]
; m X (t )
E[e tX ]
e
et 1
Simulação no MATLAB:
Suponha que acidentes de trânsito ocorram em um determinado cruzamento de forma que
satisfaça as condições de um processo de Poisson, com taxa de 2 acidentes por semana.
Definindo X o número de acidentes em 2 semanas, temos que X ~ Poisson ( = 2.2 = 4).
Qual a probabilidade de que no máximo 3 acidentes ocorram nas próximas 2 semanas?
Solução Manual:
Queremos P(X 3):
P( X
3)
p(0)
mas, p ( x)
e-
p(1)
x!
:
1,83.10
2
p (1) e 4 41
7,33.10
2
p (3)
e 4 42
2
4 3
e 4
6
p(3)
x
p ( 0) e 4 4 0
p ( 2)
p(2)
0,147
0,195
P( X
3)
0,433
Distribuições Contínuas:
Distribuição Uniforme:
A distribuição contínua mais simples é análoga a sua equivalente discreta.
Uma va contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a,b] se sua fdp é dada por:
f ( x)
1
b a
, para a
x
b, onde - <a<b<
OBS:
1. Se X ~ Uniforme (a,b), então o valor de X representa o resultado do experimento
em que um número real é aleatoriamente escolhido dentro do intervalo [a,b].
2. Embora a distribuição uniforme tenha sido definida no intervalo [a,b], também
poderia ser igualmente definida nos intervalos (a,b], [a,b) ou (a,b), verificando-se a
não unicidade da fdp de uma va contínua.
Teorema:
Se X é uma va contínua que se distribui uniformemente no intervalo [a,b], então:
E[ X ]
b a
; Var[ X ]
2
(b a ) 2
; m X (t )
12
e bt e at
(b a )t
Distribuição Exponencial:
Vimos anteriormente que, num Processo de Poisson, podemos associar uma va ao número
de ocorrências de um determinado evento num certo intervalo (de tempo). Esta va apresenta
distribuição de Poisson.
Podemos, também desejar obter informações a respeito do tempo transcorrido entre duas
ocorrências ou do tempo de espera até a primeira ocorrência. Se os eventos ocorrem de
acordo com um Processo de Poisson, então ambas va s apresentam distribuição
exponencial.
Definição:
Uma va contínua X tem distribuição exponencial se sua fdp é dada por:
f ( x)
e
x
, para 0
x<
e >0.
Teorema:
Se X é uma va contínua que se distribui exponencialmente, então:
E[ X ]
1
; Var[ X ]
1
2
; m X (t )
t
, para t<
Exemplo:
Suponha que ao comprar um computador com um determinado tipo de disco rígido, o
vendedor afirmou que a durabilidade média de um disco destes é de 30 meses.
Podemos modelar a durabilidade (ou seja, o tempo de vida) do disco como uma va X ~
Exponencial ( =1/30).
Suponha que o computador já esteja funcionando por 15 meses e o disco rígido original
continua funcionando. Alguém poderia esperar que ele fosse durar, em média, mais 15
meses. O tempo de vida restante seria, então, representado por Y =X-15.
Podemos simular valores de Y no computador. Observamos que o valor médio simulado de
Y é de 29, 74 que é próximo do valor médio original para o tempo de vida do disco rígido,
ao invés dos 15 meses que se poderia imaginar.
Além disto, observa-se que a distribuição do Y simulado é bem semelhante à de X, o que
não é de se estranhar pois, na verdade também temos Y ~ Exponencial ( =1/30).
Esta é uma ilustração da chamada Propriedade de Ausência de Memória.
Teorema (Propriedade de Ausência de Memória):
Se X é uma va contínua que se distribui exponencialmente, então:
P( X
t
h| X
t)
P( X
h) , para t>0 e h>0
OBS:
- Se X mede o tempo de vida de um determinado componente, então a probabilidade de que
o componente resista (t+h) unidades de tempo, dado já ter durado t unidades é igual à
probabilidade de que resista h unidades de tempo.
- Isto significa que o tempo de vida de um componente velho tem a mesma distribuição
de probabilidade do tempo de um novo ; ou seja, o componente não sofre desgaste ou
fadiga.
- Essa propriedade não se verifica na prática. Por exemplo, se X mede o tempo de vida de
uma lâmpada, este depende do tempo que ela já durou. No entanto, a distribuição
exponencial é usada como uma boa aproximação para va s que medem tempo de vida de
vários produtos.
Teorema:
Se as va s X1 ,..., Xn formam uma amostra aleatória de uma distribuição exponencial de
parâmetro , então:
Y = min{X1 ,..., Xn} ~ Exponencial (n )
Exemplo (Testes de Vida):
Suponha que n lâmpadas sejam postas a funcionar num teste para determinar seu tempo de
vida. Suponha que as lâmpadas funcionam independentemente entre si.
Seja:
Xi = tempo de vida da i-ésima lâmpada, i=1,...,n
Xi ~ Exponencial ( ) .
Temos:
Y1 = intervalo de tempo até que a primeira lâmpada falhe ~ Exponencial (n )
Distribuição Gama:
Uma va exponencial representa o tempo de espera até a primeira ocorrência de um evento
em um processo de Poisson. Uma generalização da distribuição exponencial pode ser
formulada quando desejamos estudar o tempo de espera até a r-ésima ocorrência de um
evento no processo de Poisson.
Definição:
Uma va contínua X tem distribuição gama se sua fdp é dada por:
r
f ( x)
onde,
(r )
x r 1e
x
, para 0
x< , r >0 e >0.
x r 1e x dx , para r >0.
(r )
0
Para r
:
(r )
(r 1)!
Teorema:
Se X é uma va contínua que tem distribuição gama, com parâmetros r e , então:
r
E[ X ]
r
; Var[ X ]
r
2
; m X (t )
t
, para t<
OBS:
- A distribuição exponencial e gama estão relacionadas:
1. A distribuição exponencial é um caso especial da gama, para r =1.
2. A soma de v.a.i.i.d. exponenciais distribui-se como uma gama.
3. As distribuições Exponencial e Gama são os análogos contínuos das distribuições
Geométrica e Binomial Negativa, respectivamente.
- A distribuição Gama não é utilizada com freqüência para modelar sistemas físicos, ao
contrário de um caso especial (para r
) a distribuição de Erlang.
Distribuição Normal:
Uma va contínua X tem distribuição normal se sua fdp é dada por:
f ( x)
1
2
e
(x
)2 2
2
, onde - < < e >0.
Teorema:
Se X é uma va contínua que se distribui normalmente, então:
E[ X ]
2
; Var[ X ]
; m X (t )
e
t ( t )2 2
Teorema:
Se X ~ N( ,
2
) e Y = aX +b, então Y ~ N(a +b, a2 2).
Distribuição Normal Padronizada:
Se X ~ N( =0, 2=1) , então X é uma va normal padronizada. A fdp e FDA desta va são
representadas como:
1
e
2
( x)
1 2
x
2
x
e
( x)
(u )du
OBS: Os valores de probabilidade para a distribuição normal não podem ser obtidos
analiticamente, apenas através de aproximações numéricas ou valores tabelados para (x).
Teorema:
Se X ~ N( ,
2
), então:
P[a
OBS:
(-x) = 1-
(x)
X
b]
b
a
Teorema:
Se X ~ N( ,
2
), então P(|X -
|
k ) = g(k).
OBS:
k = 1:
P(|X -
|
) = 0,6826
k = 2:
P(|X -
|
2 ) = 0,9544
k = 3:
P(|X -
|
3 ) = 0,9974
Exemplo:
Um professor acredita que as notas dos alunos sejam normalmente distribuídas com média
e variância 2. Se o professor decidir passar uma curva tal que as correspondências na
tabela abaixo sejam válidas. Quais as proporções para cada conceito?
D
I
R
B
MB
X< -2
-2 <X< -
- <X<
<X< +
+ <X< +2
L
X> +2
Teorema do Limite Central:
Se para cada n
+
, X1 ,..., Xn são vaiid com média
X
e variância
(z ) , conforme n
FZn (z )
,
onde:
Zn
Xn
E[ X n ]
Xn
X
X
n
var[ X n ]
pois:
E[ X n ]
X
e var[ X n ]
2
X
n
2
X ,
então, para cada z:
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