O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Juros Compostos
A característica do regime dos juros compostos é
que os resultados obtidos em cada período são
incorporados ao capital nas próximas operações
de capitalização. Neste regime os juros formados
no período anterior são incorporados na definição
dos valores no próximo período.
Pinheiro, Carlos Alberto Orge. Matemática Financeira sem o uso de calculadoras financeiras. 2 ed. Rio de
Janeiro: Ciência Moderna, 2009.
O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Juros Compostos
Os juros apresentam incidência sobre o capital
inicial e sobre os valores dos juros do período
anterior. Assim tomemos um capital inicial (P) de
$1.800, prazo (n) de três meses e taxa (i) de 5% ao
mês.
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Juros Compostos
Para o primeiro mês
1.800 x (1,05) = 1.890,00
Para o segundo mês
1.890 x (1,05) = 1.984,50
Para o terceiro mês
1.984,50 x (1,05) = 2.083,73
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Chegamos à conclusão de que para a capitalização
composta o valor final da operação – montante – é
definido por:
S  P  (1  i)  (1  i)  (1  i)
Adequando melhor a expressão:
n
S  P  (1  i )
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Independente do regime adotado, o valor final da
operação é sempre definido como os juros
acrescidos (j) ao capital inicial (P).
S  PJ
Podemos concluir que:
P  (1  i)  P  j
n
j  P  (1  i)  P
n

j  P   (1  i )  1
n
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Conhecendo P, n e i, definir S
Um capital de $3.000,00 foi aplicado a juros de
20% ao mês durante 4 meses. Determina-se o
capital final da operação da seguinte forma:
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Conhecendo P, n e i, definir j
Um capital de $6.500,00 foi aplicado a juros de
20% ao mês durante 5 meses. Determina-se o
valor dos juros da operação da seguinte forma:
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Conhecendo S, n e i, definir P
Determina-se o capital que no período de 2 meses
à taxa de juros de 4% quinzenal reproduzem o
valor de $1.169,86 da seguinte forma:
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Conhecendo P, S, e i, definir n
Determina-se o prazo para que o capital de
$2.500,00 à taxa de juros de 4% ao mês reproduza
o valor de $2.757,55 da seguinte forma:
O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Conhecendo P, n e S, definir i
Determina-se a taxa de juros que consegue
transformar o capital de $15.000 em $39.900,30
durante o período de 7 meses, da seguinte forma:
O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Conhecendo j, n e i, definir P
Um comprador deseja adquirir um veiculo. Ele
sabe que o mercado opera com juros de 12% ao
ano e que o valor do automóvel é de $30.000.
Determina-se quanto deve dispor para comprar o
automóvel em 12 meses com os juros da
operação, da seguinte forma:
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
O Fluxo de Caixa em Juros Compostos
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Valor Nominal e Valor Atual
Na data definida para a aplicação diz-se que o
capital final obtido também pode ser definido por
valor nominal (N).De outro modo, quando o valor
final (S) ou Nominal (N) quando descapitalizado no
mesmo prazo (n) e a mesma taxa periódica (i)
representa
o
valor
principal
(P)
ou,
alternativamente, o valor atual (V). Ou seja, valor
principal (P) e valor atual (V) são sinônimos como
também o são valor final (S) e valor nominal (N).
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Conhecendo N, n e i, definir V
Um título cujo valor nominal (N) é de $250.000,00
pode ser descontado durante 60 dias à taxa de 5%
ao mês. Com base nessas informações determinase o valor Atual (V) da seguinte forma:
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Conhecendo V, n e i, definir N
Um título cujo valor atual (V) é de $150.000,00 foi
descontado no prazo de 60 dias à taxa de 15% ao
mês. Com base nessas informações determina-se
o valor Nominal (N) da seguinte forma:
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
O Fracionamento do Prazo nos Juros Compostos
Em juros a formação do montante da operação
está associada à definição da taxa (i) e do prazo da
operação (n). Em juros compostos há incidência
da taxa sobre o capital inicial (P) e os juros dos
períodos anteriores, de forma que podemos
fracionar o prazo uma vez que estaríamos
permitindo a incidência de juros sobre juros.
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
O Fracionamento do Prazo nos Juros Compostos
Para exemplificar melhor, tomemos a possibilidade
de um empréstimo, no valor de $300.000,00 a ser
pago após 7 meses, acrescido de juro compostos à
taxa de 200% ao ano.
7
12
S  200.000,00  1  2
S  569.432,16
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
O Fracionamento do Prazo nos Juros Compostos
Digamos, agora, que o titular deste título, negocie
para um terceiro à mesma taxa, no quinto mês.
Qual deve ser o valor pago por este terceiro?
P
569.432,16
1  2 
2
12
 474.156,57
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O Fracionamento do Prazo nos Juros Compostos
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
A equivalência de Compromissos
A substituição de compromissos refere-se à
equivalência de capitais. A questão gravita na
definição dos prazos de pagamento. As
propriedades da exponenciação garantem que a
equivalência financeira no regime de juros
compostos é permanente em qualquer data. Ou
seja, se um conjunto de capitais é equivalente em
uma dada data, será equivalente em qualquer
outra.
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Podemos dizer que se o conjunto de capitais S é
equivalente ao conjunto de capitais N em uma
determinada data qualquer (por exemplo, data 5),
apresentam, portanto, valores iguais em outras
datas. Assim, quando avaliados em outra data
qualquer, o novo valor a ser definido manterá
nova igualdade para o outro conjunto. Vale
lembrar que isto só ocorre no regime de juros
compostos.
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A equivalência de Compromissos
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Digamos que uma dívida de $5.000,00 possa ser
quitada em dois pagamentos, um de $3.900,00
para três meses e outro valor para 45 dias. Se essa
operação atende ao principio da equivalência de
capitais e foi realizada com taxa de 10% ao mês,
determine o valor do pagamento:
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Atividades
Uma câmara digital é comercializada por $429,00
à vista ou em 2 parcelas de $229,45 com
pagamentos para 30 e 60 dias. Com base nos juros
de 4,61% ao mês, verifique se a operação é regida
pelo princípio da equivalência de capitais.
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Atividades
O valor de um produto à vista é de $12.000,00.
Para pagamento a prazo paga-se uma entrada
mais três parcelas mensais consecutivas de
$2.000,00 cada. Com base no princípio da
equivalência de capitais, e sabendo que a taxa de
juros é de 5% ao mês, determine o valor da
entrada.
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Atividades
Um capital foi aplicado a juros de 20% ao ano. Ao
término deste prazo, um terço do valor total foi
aplicado a taxa de 35% ao ano, durante igual
período. Sabe-se que os juros desta última
operação foram de $210. Determine o capital
inicial da operação.
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O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Atividades
Uma dívida de $15.000,00 foi contraída para ser
paga em 6 meses. Se a taxa de juros é de 7% ao
bimestre, caso o devedor queira liquidar com 20
dias de antecedência, determine o valor a ser
pago.
O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Atividades
Uma pessoa necessita de $20.000,00 daqui a 7
meses. Sabe que as instituições financeiras
operam com taxas de 3% ao período quinzenal.
Determine quanto deve aplicar hoje para obter o
capital desejado.
O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Atividades
Pretende-se daqui a 8 meses comprar um veículo
no valor de $30.000,00. Determinar a aplicação
necessária a ser realizada num investimento que
remunera a 15% ao mês, de modo que a compra
possa ser realizada apenas com os juros obtidos
na aplicação.
O REGIME DE JUROS COMPOSTOS
Atividades
Determine a taxa de juros compostos anual que
consegue transformar o capital de $4.000,00 em
$4.096,46 durante o período de 6 meses.