Aceite para publicação em 15 de Março de 2010
introdução
propriedades
extras
créditos
polígonos regulares
agradecimentos
rotações
fim
pré-requisitos indispensáveis para a
compreensão do tema em estudo
circunferência
ângulo ao centro
ângulo inscrito
estudo das relações entre a circunferência e os
elementos geométricos que lhe estão associados
propriedade 1
propriedade 4
propriedade 7
propriedade 2
propriedade 5
propriedade 8
propriedade 3
propriedade 6
propriedade 9
a circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico
dos pontos do plano cuja distância a O é igual a r
um ângulo ao centro é um ângulo cujo vértice coincide
com o centro da circunferência e cujos lados contêm raios
AOB 
arcoAB 
ângulo ao centro
arco correspondente
um ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice é um ponto
da circunferência e cujos lados contêm cordas
ACB 
ângulo inscrito
arcoAB  arco correspondente
Qual será a relação entre as amplitudes de um
ângulo ao centro e do arco correspondente?
Clica na figura e tenta descobrir!
AOB 
ângulo ao centro
arcoAB  arco correspondente
A amplitude de um ângulo ao centro é igual
à amplitude do arco correspondente.
AOB  60º
AB  60º
Qual será a relação entre arcos e cordas de
ângulos ao centro geometricamente iguais?
Clica na figura e tenta descobrir!
AOB
Ao ângulo ao centro
correspondem
o
arcoAB
e a corda
Ao ângulo ao centro
COD
correspondem
o
arcoCD
e a corda
 AB
CD
A ângulos ao centro geometricamente iguais
correspondem arcos e cordas geometricamente iguais.
AOB  COD
AB  CD
AB  CD
Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo
ao centro e de um ângulo inscrito no mesmo arco?
Clica na figura e tenta descobrir!
AOB
e ao ângulo inscrito ACB
corresponde o mesmo arcoAB
Ao ângulo ao centro
A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade
da amplitude do ângulo ao centro correspondente.
ACB  AOB : 2
ACB  AB : 2
Ângulos inscritos que contêm o mesmo
arco são geometricamente iguais.
ACB  AB : 2
ADB  AB : 2
AEB  AB : 2
ACB  ADB  AEB
Qualquer triângulo inscrito numa semicircunferência é um triângulo rectângulo.
ACB  AOB : 2  90º
O triângulo [ABC] é um triângulo rectângulo.
 
O diâmetro AB coincide com a
hipotenusa do triângulo rectângulo.
Clica aqui para mais informações
acerca de triângulos rectângulos
Qual será a relação entre as amplitudes de ângulos opostos
de um quadrilátero inscrito numa circunferência?
Clica na figura e tenta descobrir!
DAB
é oposto a
DCB
ADC
é oposto a
ABC
Clica aqui para mais informações acerca de
polígonos inscritos em circunferências
Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito
numa circunferência são suplementares.
DAB  DCB  180º
ADC  ABC  180º
Cordas paralelas definem dois ângulos ao centro, dois arcos
e duas cordas. Qual será a relação entre eles?
Clica na figura e tenta descobrir!
As cordas paralelas
 AB e  DC  definem
os ângulos ao centro
os arcos
BC
as cordas
e
 BC 
BOC
AD
e
 AD
e
AOD
Cordas paralelas definem arcos, cordas e
ângulos ao centro geometricamente iguais.
DAB  DCB  180º
ADC  ABC  180º
Qual será a posição relativa do raio [OT]
e da recta tangente à circunferência em T?
Clica na figura e tenta descobrir!
OT  
TP 
Raio da circunferência
Recta tangente à
circunferência em
T
Uma recta tangente à circunferência é
perpendicular ao raio no ponto de tangência.
OT   TP
OTP  90º
Qual será a posição relativa do centro de uma
circunferência e da mediatriz de uma sua corda?
Clica na figura e tenta descobrir!
 AB  corda da circunferência
OM 
Mediatriz de
 AB
A mediatriz de qualquer corda passa
no centro da circunferência.
OT   TP
OTP  90º
Clica aqui para mais informações sobre a mediatriz
Um polígono regular é um polígono com todos os lados com o mesmo
comprimento e todos os ângulos com a mesma amplitude.
Qualquer polígono regular pode
ser inscrito numa circunferência.

O pentágono ABCDE
é um polígono regular

Como determinar as amplitudes dos ângulos internos
e dos ângulos externos de polígonos regulares?
Clica na figura e tenta descobrir!
ABC 
ângulo interno
CBF 
ângulo externo
Exemplo: Para determinar as amplitudes dos ângulos
internos e dos ângulos externos de um pentágono regular:
ângulo externo
OBF  AOB  360º: 5  72
ângulo interno
ABO  180º OBF  108º
Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e
dos ângulos externo de um polígono regular com n lados:
Uma rotação de centro O e ângulo de amplitude  é uma transformação
geométrica que ao ponto O faz corresponder o próprio ponto O e que a cada
ponto A da figura inicial faz corresponder o ponto A´ da figura final tal que:
OA  OA´
e
R  O, 70º ,  ABC    A´ B´C´ 
centro da
rotação
figura
inicial
figura
final
sentido da rotação
ângulo da
rotação
-
+
Clica aqui para experimentares outras rotações
AOA´ 
nesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos
simbologia
classificação de ângulos
classificação de triângulos
teorema de Pitágoras
mediatriz
polígonos inscritos em circunferências
Propriedade: A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º
Clica aqui para veres uma demonstração
Num triângulo rectângulo, o
quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos catetos.
2
2
AB  AC  BC
 AB 
 AC 
 BC 
2
A hipotenusa é o lado
oposto ao ângulo recto.
Os catetos são os dois
 lados
perpendiculares.
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Clica aqui para mais informações sobre o Teorema de Pitágoras
A mediatriz de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos
do plano que estão à mesma distância de A e de B.
r  mediatriz de  AB
M  ponto médio de  AB
 ABe r são perpendiculares
As 3 mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se
num ponto que se chama circuncentro.
O circuncentro é o centro
da circunferência que contém
os 3 vértices do triângulo.
Voltar à propriedade 9
Clica aqui para mais informações sobre pontos notáveis de um triângulo
Um polígono está inscrito numa circunferência se cada
um dos seus vértices for um ponto da circunferência.
O polígono está inscrito
na circunferência
O polígono não está inscrito
na circunferência
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Este trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro
usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido
convertido posteriormente em documento html.
Este trabalho foi publicado sob licença
Creative Commons da Casa das Ciências
À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra
À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das Ciências
Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões
À minha aluna Ana Beatriz Pinto do 7ºE, pela ideia para a figura da capa
Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático
Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores
Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles
Erika Bizarro 2010