Aceite para publicação em 15 de Março de 2010 introdução propriedades extras créditos polígonos regulares agradecimentos rotações fim pré-requisitos indispensáveis para a compreensão do tema em estudo circunferência ângulo ao centro ângulo inscrito estudo das relações entre a circunferência e os elementos geométricos que lhe estão associados propriedade 1 propriedade 4 propriedade 7 propriedade 2 propriedade 5 propriedade 8 propriedade 3 propriedade 6 propriedade 9 a circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância a O é igual a r um ângulo ao centro é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência e cujos lados contêm raios AOB arcoAB ângulo ao centro arco correspondente um ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados contêm cordas ACB ângulo inscrito arcoAB arco correspondente Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e do arco correspondente? Clica na figura e tenta descobrir! AOB ângulo ao centro arcoAB arco correspondente A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do arco correspondente. AOB 60º AB 60º Qual será a relação entre arcos e cordas de ângulos ao centro geometricamente iguais? Clica na figura e tenta descobrir! AOB Ao ângulo ao centro correspondem o arcoAB e a corda Ao ângulo ao centro COD correspondem o arcoCD e a corda AB CD A ângulos ao centro geometricamente iguais correspondem arcos e cordas geometricamente iguais. AOB COD AB CD AB CD Qual será a relação entre as amplitudes de um ângulo ao centro e de um ângulo inscrito no mesmo arco? Clica na figura e tenta descobrir! AOB e ao ângulo inscrito ACB corresponde o mesmo arcoAB Ao ângulo ao centro A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da amplitude do ângulo ao centro correspondente. ACB AOB : 2 ACB AB : 2 Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são geometricamente iguais. ACB AB : 2 ADB AB : 2 AEB AB : 2 ACB ADB AEB Qualquer triângulo inscrito numa semicircunferência é um triângulo rectângulo. ACB AOB : 2 90º O triângulo [ABC] é um triângulo rectângulo. O diâmetro AB coincide com a hipotenusa do triângulo rectângulo. Clica aqui para mais informações acerca de triângulos rectângulos Qual será a relação entre as amplitudes de ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência? Clica na figura e tenta descobrir! DAB é oposto a DCB ADC é oposto a ABC Clica aqui para mais informações acerca de polígonos inscritos em circunferências Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência são suplementares. DAB DCB 180º ADC ABC 180º Cordas paralelas definem dois ângulos ao centro, dois arcos e duas cordas. Qual será a relação entre eles? Clica na figura e tenta descobrir! As cordas paralelas AB e DC definem os ângulos ao centro os arcos BC as cordas e BC BOC AD e AD e AOD Cordas paralelas definem arcos, cordas e ângulos ao centro geometricamente iguais. DAB DCB 180º ADC ABC 180º Qual será a posição relativa do raio [OT] e da recta tangente à circunferência em T? Clica na figura e tenta descobrir! OT TP Raio da circunferência Recta tangente à circunferência em T Uma recta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. OT TP OTP 90º Qual será a posição relativa do centro de uma circunferência e da mediatriz de uma sua corda? Clica na figura e tenta descobrir! AB corda da circunferência OM Mediatriz de AB A mediatriz de qualquer corda passa no centro da circunferência. OT TP OTP 90º Clica aqui para mais informações sobre a mediatriz Um polígono regular é um polígono com todos os lados com o mesmo comprimento e todos os ângulos com a mesma amplitude. Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa circunferência. O pentágono ABCDE é um polígono regular Como determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de polígonos regulares? Clica na figura e tenta descobrir! ABC ângulo interno CBF ângulo externo Exemplo: Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externos de um pentágono regular: ângulo externo OBF AOB 360º: 5 72 ângulo interno ABO 180º OBF 108º Para determinar as amplitudes dos ângulos internos e dos ângulos externo de um polígono regular com n lados: Uma rotação de centro O e ângulo de amplitude é uma transformação geométrica que ao ponto O faz corresponder o próprio ponto O e que a cada ponto A da figura inicial faz corresponder o ponto A´ da figura final tal que: OA OA´ e R O, 70º , ABC A´ B´C´ centro da rotação figura inicial figura final sentido da rotação ângulo da rotação - + Clica aqui para experimentares outras rotações AOA´ nesta secção podem ser recordados outros pré-requisitos simbologia classificação de ângulos classificação de triângulos teorema de Pitágoras mediatriz polígonos inscritos em circunferências Propriedade: A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º Clica aqui para veres uma demonstração Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 2 2 AB AC BC AB AC BC 2 A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo recto. Os catetos são os dois lados perpendiculares. Voltar à propriedade 5 Clica aqui para mais informações sobre o Teorema de Pitágoras A mediatriz de um segmento de recta [AB] é o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância de A e de B. r mediatriz de AB M ponto médio de AB ABe r são perpendiculares As 3 mediatrizes dos lados de um triângulo intersectam-se num ponto que se chama circuncentro. O circuncentro é o centro da circunferência que contém os 3 vértices do triângulo. Voltar à propriedade 9 Clica aqui para mais informações sobre pontos notáveis de um triângulo Um polígono está inscrito numa circunferência se cada um dos seus vértices for um ponto da circunferência. O polígono está inscrito na circunferência O polígono não está inscrito na circunferência voltar à propriedade 6 Este trabalho foi integralmente elaborado por Erika Bizarro usando Microsoft PowerPoint e Geogebra e tendo sido convertido posteriormente em documento html. Este trabalho foi publicado sob licença Creative Commons da Casa das Ciências À minha colega Emília Valle que me iniciou no Geogebra À minha colega Ana Silva que me apresentou a Casa das Ciências Aos meus colegas da Casa das Ciências pelas dicas e sugestões À minha aluna Ana Beatriz Pinto do 7ºE, pela ideia para a figura da capa Ao meu irmão e à Ana pelo apoio informático Aos meus pais, os meus mais rigorosos revisores Aos meus Davids pela minha falta de tempo para eles Erika Bizarro 2010
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