OBM 3ª FASE
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
1. Em um tanque há 4000 bolinhas de pingue-pongue. Um menino começou a retirar
as bolinhas, uma por uma, com velocidade constante, quando eram 10h. Após 6 horas,
havia no tanque 3520 bolinhas. Se o menino continuasse no mesmo ritmo, quando o
tanque ficaria com 2000 bolinhas?
RESOLUÇÃO :
Em 6h de trabalho foram retiradas
velocidade de retirada é constante, saem
bolinhas saiam do tanque são necessárias
bolinhas e como a
bolinhas por hora. Para que 2000
horas. Portanto o tanque ficou
com 2000 bolinhas às 11h do dia seguinte.
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
2.Um time de futebol ganhou 8 jogos mais do que perdeu e empatou 3 jogos menos
do que ganhou, em 31 partidas jogadas. Quantas partidas o time venceu?
RESOLUÇÃO :
Seja n o número de partidas que o time venceu. Então perdeu n – 8 e empatou n – 3 jogos.
Portanto, n  n  8  n  3  31  3n  11  31  3n  42  n  14 , isto é, o time venceu 14
partidas.
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
3. Efetuando as operações indicadas na expressão
obtemos um número de quatro algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse
número?
RESOLUÇÃO :
22005  22  1
 22007  22005 
 2006  2004 2
 2006  2  2006  4012 . A soma dos algarismos do
 2006
2004 
2  2  1
2 2 
número 4012 é 7.
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
4. Uma empresa de telefonia celular oferece planos mensais de 60 minutos a um custo
mensal de R$ 52,00, ou seja, você pode falar durante 60 minutos no seu telefone
celular e paga por isso exatamente R$ 52,00. Para o excedente, é cobrada uma tarifa
de R$ 1,20 cada minuto. A mesma tarifa por minuto excedente é cobrada no plano de
100 minutos, oferecido a um custo mensal de R$ 87,00. Um usuário optou pelo plano
de 60 minutos e no primeiro mês ele falou durante 140 minutos. Se ele tivesse optado
pelo plano de 100 minutos, quantos reais ele teria economizado?
RESOLUÇÃO :
O usuário pagou 52  (140  60)  1,20  148 reais; no plano de 100 minutos teria pago
87  (140 100)  1,20  135, ou seja, teria economizado 148 – 135 = 13 reais.
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
5. Quantos triângulos isósceles têm como vértices os vértices do
Pentágono regular desenhado ao lado?
RESOLUÇÃO :
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
6. Ao redor de um grande lago existe uma ciclovia de 45 quilômetros de comprimento,
na qual sempre se retorna ao ponto de partida se for percorrida num único sentido.
Dois amigos partem de um mesmo ponto com velocidades constantes de 20 km por
hora e 25 km por hora, respectivamente, em sentidos opostos. Quando se encontram
pela primeira vez, o que estava correndo a 20 km por hora aumenta para 25 km por
hora e o que estava a 25 km por hora diminui para 20 km por hora. Quanto tempo o
amigo que chegar primeiro ao ponto de partida deverá esperar pelo outro?
RESOLUÇÃO :
O intervalo de tempo entre a partida e o primeiro encontro é igual ao intervalo de tempo entre o
primeiro encontro e o segundo encontro, no ponto de partida. Isso acontece porque ao se
inverterem as velocidades, a situação seria a mesma que se cada um deles retornasse ao ponto
de partida pelo caminho que veio, com a mesma velocidade. Portanto, eles chegarão no mesmo
instante, ou seja, o tempo que um irá esperar pelo outro será igual a 0.
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
7. São dadas duas tiras retangulares de papel com 20 cm de
comprimento, uma com 5 cm de largura e outra com 11 cm de largura.
Uma delas foi colada sobre a outra, perpendicularmente, de modo
a formar a figura ilustrada ao lado. Qual é o perímetro dessa figura,
em centímetros?
90
RESOLUÇÃO :
Traçando-se retas paralelas aos lados, verificamos que o perímetro da figura é
o mesmo que o de um quadrado de lado 20 cm , ou seja, 80 cm.
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
8. Usando pastilhas de cerâmica preta na forma de quadradinhos foi composta uma decoração
numa parede, mostrada parcialmente abaixo:
Quantas pastilhas foram empregadas em toda a decoração considerando-se que na última
peça montada foram utilizadas 40 pastilhas?
Seja n o número de quadradinhos para formar um lado de uma peça. Então, são necessários
4  (n  2)  4  4n  8  4  4n  4 quadradinhos para formar a peça inteira. Na última peça
da decoração temos 4n  4  40  n  11 . Note que para contar o número de quadradinhos
utilizados basta observar que cada peça da esquerda se encaixa na da direita. Se encaixarmos
todas, teremos um quadrado completo de lado igual a 11 quadradinhos. Portanto, o número de
pastilhas utilizadas foi 112  121 .
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
9. Sara foi escrevendo nas casas de um tabuleiro 95 por 95 os múltiplos positivos de 4, em ordem
crescente, conforme a figura a seguir.
4
760
764

8
756


12
752


16
748


20
744






376
388


380
384



U
RESOLUÇÃO :
O tabuleiro contém 95  95  9025 casas. Nas linhas ímpares, a seqüência é crescente e nas
linhas pares, é decrescente. Portanto, na 95a linha, a última casa da direita apresenta o maior
múltiplo de 4 no tabuleiro, ou seja, Sara escreveu na casa U o número 9025  4  36100 .
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY
10. O desenho à direita representa dois quadrados menores congruentes de lado 20 e um
quadrado maior. O vértice O é o único ponto comum aos dois quadrados menores e é o centro do
quadrado maior. Os vértices A, O e B estão alinhados e a área da região do quadrado maior não
pintada é igual a 36% da área de toda a região pintada. Qual é a área do quadrado maior?
RESOLUÇÃO :
Como os quadrados pequenos dividem o maior em quatro quadriláteros congruentes, a área
pintada é igual à soma das áreas dos dois quadrados menores, ou seja, 800. Como a área pintada do
quadrado maior é igual à sua área não pintada, concluímos que a área do quadrado maior é igual a 72%
da área total pintada, ou seja,
PROFESSORES GENAILSON /MICHELIANY