Construções Lógico –
Matemáticas – Aula 09
IMES – Fafica
Curso de Pedagogia – 2º Ano
Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira
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Bolas Coloridas (I)
Ana quer colorir as bolinhas da Figura 1 a seguir de azul (A), preto (P) ou vermelho (V) de modo que
bolinhas ligadas por um segmento tenham cores diferentes.
Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a Figura 1.
Figura 1
a) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 1?
Bolas Coloridas (I) – Resposta
Primeiramente vamos numerar as bolinhas para facilitar o raciocínio (bolinha 1, 2 e 3).
1
3
2
A bolinha 1 pode ser pintada de 3 maneiras diferentes (pode ser vermelha, preta ou azul).
Vamos escolher, por exemplo, a cor vermelha.
Figura 1
Para pintar a bolinha 2 sobram duas cores para pintá-la (pode ser
azul ou preta).
Desta forma a cor da bolinha 3 fica automaticamente determinada.
2
3
2
3
Tudo isto ocorre se a bolinha 1 for pintada de vermelho. Porém
sabemos que ela pode ser pintada de azul ou também de preta.
Bolas Coloridas (I) – Resposta
Logo podemos elaborar uma árvore de possibilidades:
Bolinha 1
Bolinha 2
Bolinha 3
Então podemos pensar que para cada cor da
bolinha 1 temos duas possibilidades de
preenchimento, ou seja,
2 + 2 + 2 = 3 x 2 = 6 possibilidades
Outra forma de pensar é:
3
Bolinha 1
x
2
Bolinha 2
x
1
Bolinha 3
=6
Bolas Coloridas (I) – Resposta
Listando todas as possibilidades, temos:
Resposta: Ana pode colorir a Figura 1 de 6 maneiras diferentes.
Bolas Coloridas (II)
Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a Figura 2.
Figura 2
b) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 2?
Bolas Coloridas (II) - Resposta
1
2
Neste caso também é interessante numerar as bolinhas.
Para facilitar o trabalho é interessante dividí-lo em dois casos: quando as bolinhas 1 e 3
4
3
possuem a mesma cor e quando tais bolinhas possuem cores diferentes.
Existem 3 maneiras de colorir a bolinha 1 (pode ser vermelha, azul ou preta).
Figura 2
1º caso: Bolinhas 1 e 3
com cores iguais
Suponhamos que ela seja colorida de vermelho.
Como a bolinha 3 possui a mesma cor da bolinha 1 ela necessariamente será vermelha.
Agora há duas maneiras de colorir a bolinha 2 (azul
2
ou preta).
4
3
4
4
Bolas Coloridas (II)
1º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores iguais
Para a bolinha 4 também há duas possibilidades em
cada caso.
Lembre-se que tudo isto ocorreu pois colorimos a
bolinha 1 de vermelho, mas poderíamos ter
4
colorido de azul ou preto. Desta forma, temos:
3
x
Bolinha 1
4
2
Bolinha 2
x
1
Bolinha 3
x
2
= 12
Bolinha 4
Mas e se as bolinhas 1 e 3 tivessem cores
diferentes?
Bolas Coloridas (II)
2º caso: Bolinhas 1 e 3 Primeiramente temos que colorir a bolinha 1. Isto pode ocorrer de 3 maneiras
com cores diferentes
distintas. Suponhamos que a colorimos de vermelho.
1
2
Em seguida temos que colorir a bolinha 3. Isto pode ocorrer de 2 maneiras diferentes
(pois sabemos que ela não pode possuir a mesma cor que a bolinha 1).
4
3
Figura 2
Para colorir as bolinhas 2 e 4 resta, agora, apenas 1 possibilidade que trata-se da cor
não utilizada. Desta forma, temos:
2
4
3
2
2
4
4
Bolas Coloridas (II)
2º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores diferentes
Reunindo as informações deste caso, temos:
3
x
Bolinha 1
1
x
Bolinha 2
2
Bolinha 3
1
x
=6
Bolinha 4
Adicionando os resultados de ambos casos, temos:
12
1º Caso
Cores iguais em 1 e 3
+
6
2º Caso
Cores diferentes em 1 e 3
= 18 possibilidades
Bolas Coloridas (II) – Resposta
Neste item podemos elaborar duas árvores de possibilidades:
Bolinha 1
Bolinha 2
Bolinha 3
1º caso: As bolinhas 1 e 3 têm cores iguais
Bolinha 4
1
2
4
3
Figura 2
12 possibilidades
com as bolinhas
1 e 3 com cores iguais
Bolas Coloridas (II) – Resposta
2º caso: As bolinhas 1 e 3 têm cores diferentes
A outra árvore de possibilidades:
Bolinha 1
Bolinha 2
Bolinha 3
Bolinha 4
1
2
4
3
Figura 2
6 possibilidades
com as bolinhas
1 e 3 com cores diferentes
12 + 6 =
18 possibilidades
ao todo
Bolas Coloridas (I) – Resposta
Listando todas as possibilidades, temos:
Resposta: Ana pode colorir a Figura 2 de 18 maneiras diferentes.
Bolas Coloridas (III)
Figura 3
c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 3?
Bolas Coloridas (III) - Resposta
Neste caso também é interessante numerar as bolinhas.
1
2
Para colorir as bolinhas de 1 a 4 existem 18 maneiras (trata-se do item
anterior deste exercício).
5
4
3
Como a bolinha 4 já está pintada (de alguma cor), restam 2 maneiras para
pintar a bolinha 5 (as cores diferentes da bolinha 4). Logo, temos:
7
6
Figura 3
18
Maneiras de colorir as
bolinhas 1 a 4
x
2
Maneiras de colorir a
bolinha 5
= 36 maneiras de colorir
as bolinhas de 1 a 5
Agora devemos elaborar uma estratégia para colorir as bolinhas 6 e 7.
Bolas Coloridas (III) - Resposta
Vamos dividir o trabalho em dois casos: as bolinhas 3 e 6 pintadas de mesma cor,
X
X
e as bolinhas 3 e 6 pintadas de cores diferentes.
1º caso: Bolinhas 3 e 6 com cores iguais
X
X
3
Para colorir a bolinha 6 existe uma única opção de cor, pois ela precisa ser da
mesma cor da bolinha 3. Desta forma, restam duas cores possíveis para pintar a
bolinha 7. Veja alguns exemplos disso:
6
7
Figura 3
Então, temos:
1
x
2
Bolinha 6 Bolinha 7
=2
Bolas Coloridas (III) - Resposta
2º caso: Bolinhas 3 e 6
Neste caso existe apenas 1 opção para colorir a bolinha 6, pois ela não pode ter a
mesma cor da bolinha 3 (condição imposta) e não pode ser igual à bolinha 4.
com cores diferentes
X
X
Para pintar a bolinha 7, também haverá apenas uma cor disponível pois, como as
cores das bolinhas 3 e 6 são diferentes, restará apenas 1 possibilidade para colori-la.
X
X
3
6
7
Figura 3
Alguns exemplos deste caso:
Então, temos:
1
x
1
Bolinha 6 Bolinha 7
=1
Bolas Coloridas (III) - Resposta
1
2
Reunindo todas as informações obtidas até o momento, temos:
36
5
x
4
3
Maneiras de colorir as
bolinhas 1 a 5
6
7
36
Figura 3
= 72 maneiras de colorir
as bolinhas de 1 a 7
Maneiras de colorir as com as bolinhas 3 e 6 iguais
bolinhas 6 e 7
com as bolinhas 3 e 6 iguais
x
Maneiras de colorir as
bolinhas 1 a 5
2
1
= 36 maneiras de colorir
as bolinhas de 1 a 7
Maneiras de colorir as com as bolinhas 3 e 6 diferentes
bolinhas 6 e 7
com as bolinhas 3 e 6 diferentes
Adicionando os resultados de ambos casos, temos:
72
1º Caso
Bolinhas 3 e 6 iguais
+
36
2º Caso
Bolinhas 3 e 6 diferentes
= 108 possibilidades
Desafio
De quantas maneiras é possível colorir cada um dos círculos da figura com uma das cores amarelo, azul e
vermelho, de modo que dois círculos ligados por um segmento tenham sempre cores diferentes?