ALUNO(A) _______________________________________________
AULA 002 MATEMÁTICA
DATA __18___/__10___/2013
PROFESSOR: Paulo Roberto Weissheimer
AULA 002 - DE MATEMÁTICA
Geometria Espacial
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V-A+F=2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
Observe os exemplos:
V=8 A=12 F=6
8 - 12 + 6 = 2
V = 12 A = 18 F = 8
12 - 18 + 8 = 2
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de
cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:
dc=diagonal do cubo
db = diagonal da base
Na base ABCD, temos:
No triângulo ACE, temos:
Área lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
2
AL=4a
Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
2
AT=6a
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:
3
V= a . a . a = a
CILINDRO
Áreas
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é
um retângulo de dimensões
:
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano
circular o conjunto de todos os segmentos
, e um ponto V ( vértice) fora de
, chamamos de cone
.
Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
altura: distância h do vértice V ao plano
geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
raio da base: raio R do círculo
eixo de rotação:reta
determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone
Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominadocone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno
de um de seus catetos.
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
g2 = h2 + R2
Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e
comprimento
:
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
b) área da base (AB):área do circulo do raio R
1) (ENEN)
A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a
figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é
A)
B)
C)
D)
E)
Comentário
Como a resistência S é inversamente proporcional ao quadrado de x, temos que x² deve estar no denominador da expressão.
A constante de proporcionalidade k e as variáveis b e d² são diretamente proporcionais a S, então: S = kbd²/x²
2)(ENEN)
Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas brancas e pretas, segundo
o padrão representado ao lado, que vai ser repetido em toda a extensão do pátio.
As pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e as de cor preta,R$ 10,00. O custo
por metro quadrado do revestimento será de
A) R$ 8,20.
B) R$ 8,40.
C) R$ 8,60.
D) R$ 8,80.
E) R$ 9,00.
Comentário
Número total de pastilhas: 20 x 10 = 200
Número de pastilhas pretas: 10 x 4 = 40
Número de pastilhas brancas: 200 – 40 = 160
Supondo que cada pastilha corresponda a 1 m 2, o custo total é dado por:
160 x R$ 8,00 + 40 x R$ 10,00 = R$ 1.680,00
Calculando o preço por metro quadrado:
R$ 1.680,00 : 200 = R$ 8,40.
3)(ENEN)
Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um reservatório
cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara
graduada em vinte intervalos, de modo que a distância entre duas graduações
consecutivas representa sempre o mesmo volume.
A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara é:
A)
B)
C)
D)
E)
Comentário
Esta questão você pode resolver simplesmente usando a lógica. Se você for encher o reservatório com
combustível, verá que o combustível subirá rapidamente no fundo dele. A velocidade de subida será
menor quando o nível do combustível se aproxima do meio e volta a subir rapidamente quando o níve
se aproxima do máximo. Por quê?
É simples. Isso ocorre porque a área da seção longitudinal do reservatório é máxima no meio do galã
e mínima no fundo e no topo do galão. O volume segue essa proporção, ou seja, quanto mais próxim
do centro, maior é o volume e, consequentemente, mais lentamente o combustível sobe. Aí você se
pergunta: mas o que isso tem a ver com as divisões de vara?
Tudo, se queremos que a vara tenha divisões de maneira que, para cada intervalo, tenhamos um
mesmo volume. Temos que levar em conta a maneira como o combustível sobe dentro do reservatório. Como o combustível sobe mais rapidamente no fundo e no topo, a vara tem que ter divisões mais
espaçadas nessas regiões. Já no centro, a velocidade de subida é mais lenta, por isso as divisões podem ser mais próximas. Com isso, determinamos que a graduação da vara tem que ser igual a da
alternativa I.
4) ENEN
Observe nas questões 1 e 2 o que foi feito para colocar bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro numa caixa cúbica com 10 cm de aresta.
Uma pessoa arrumou as bolinhas em camadas superpostas iguais, tendo assim emprega-
do:
A) 100 bolinhas.
B) 300 bolinhas.
C) 1000 bolinhas.
D) 2000 bolinhas.
E) 10000 bolinhas.
Avaliação
Distribuição de respostas no ENEM:
16 % responderam A
10 % responderam B
52 % responderam C
6 % responderam D
15 % responderam E
Comentário
Para resolver esse exercício, temos de lembrar que as bolinhas estão uma ao lado da outra e uma
sobre a outra. Então, para determinarmos quantas bolinhas teremos na largura, altura e profundidade, basta dividirmos o tamanho de cada uma dessas arestas pelo tamanho do diâmetro da caixa. Como cada uma dessas arestas tem dimensão de 10 cm e o diâmetro da bolinha é de 1 cm, temos:
L = 10/1 = 10 => (número de bolinhas que cabem na largura);
A = 10/1 = 10 => (número de bolinhas que cabem na altura);
P = 10/1 = 10 => (número de bolinhas que cabem na profundidade).
O número total de bolinhas é calculado pela multiplicação do número de bolinhas que cabem na largu
ra pelo número de bolinhas que cabem na profundidade pelo número de bolinhas que cabem na altura:
N = L x A x P = 10 x 10 x 10 = 1.000 bolinhas.
Então, a resposta correta é a alternativa C.
Para saber mais sobre o assunto, acesse a Pesquisa Escolar e digite como palavras-chave "esfera" e
"cubo".
5) (ENEN)
Observe nas questões 1 e 2 o que foi feito para colocar bolinhas de gude de 1 cm de diâmetro numa caixa cúbica com 10 cm de aresta.
Uma segunda pessoa procurou encontrar outra maneira de arrumar as bolas na caixa achando que
seria uma boa ideia organizá-las em camadas alternadas, onde cada bolinha de uma camada se
apoiaria em 4 bolinhas da camada inferior, como mostra a figura. Deste modo, ela conseguiu fazer
12 camadas. Portanto, ela conseguiu colocar na caixa:
A) 729 bolinhas.
B) 984 bolinhas.
C) 1000 bolinhas.
D) 1086 bolinhas.
E) 1200 bolinhas.
Avaliação
Distribuição de respostas no ENEM:
19 % responderam A
20 % responderam B
17 % responderam C
16 % responderam D
26 % responderam E
Comentário
Já nesse caso, temos as bolinhas colocadas nos vãos formados por quatro bolas da fileira. Como a
primeira fileira terá 10 bolas na largura e 10 na profundidade, então, caberão 100 bolas. Mas, na segunda fileira, as bolinhas serão colocadas nos vãos e não caberão 100 bolas. Para calcularmos o número de bolas que vão caber nessa fileira, temos de lembrar que, se a fileira tem 10 bolas na largura
e 10 na profundidade, teremos 9 vãos na largura e 9 na profundidade. Portanto, o número total de
vãos será calculado se multiplicarmos o número de vãos da largura pelo número de vãos da profundi
dade, que é igual a 81 vãos. Como em cada vão colocamos uma bolinha, teremos 81 bolas na segunda fileira. Já para a terceira fileira, voltamos a ter a configuração da primeira — 100 bolas. Para a
quarta fileira, temos a mesma configuração da segunda — 81 bolas. Esse processo se repete para as
outras 8 fileiras. Assim, teremos 6 fileiras com 100 bolinhas e 6 fileiras com 81 bolinhas. Com isso, o
número total de bolinhas será determinado por:
N = 100 x 6 + 81 x 6 = 1.086.
Portanto, a resposta correta é a alternativa D.
Para saber mais sobre o assunto, acesse a Pesquisa Escolar e digite como palavras-chave "esfera" e
"cubo".
6)(ENEN)
Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir um reservatório fechado, que acumule toda a água proveniente da chuva que cair no telhado de sua casa, ao longo de
um período anual chuvoso.
As ilustrações a seguir apresentam as dimensões da casa, a quantidade média mensal de chuva na
região, em milímetros, e a forma do reservatório a ser construído.
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de um metro quadrado, a profundidade (p) do reservatório deverá medir
A) 4m
B) 5m
C) 6m
D) 7m
E) 8m
Comentário do portal
Para resolver essa questão, temos de determinar o total de chuva, em mm, em um ano. Para isso
somamos as quantidades determinadas no gráfico, ou seja:
100 + 100 + 300 + 100 + 50 + 50 = 700 mm
Como o problema diz que cada 100 mm de chuva equivalem a 100 litros de água numa superfície
plana de um metro quadrado, teremos 700 litros de água para cada metro quadrado de superfície
Como a superfície da casa que recebe a chuva é o telhado, consideraremos a área deste como sendo
um retângulo de 8 m por 10 m, ou seja, 80 m². Como são 700 litros para cada metro quadrado, o
total de água que será acumulado é igual a:
700 X 80 = 56.000 litros
Transformando esse volume em metros cúbicos, teremos 56 m³. Esse é o volume mínimo do reser
vatório. Como esse reservatório é um prisma de dimensões 4 m, 2 m e p m, então, podemos dizer
que:
56 = 4 X 2 X p
Do qual tiramos que p = 7 m.