Amostras
Tratamento e análise
dos dados
População
Amostra
Estatística
Inferência sobre a população
Amostra: quantidade de valores observados pertencentes ou representativos de uma
população.
População: lote de produtos/serviços ou período de tempo que se quer analisar.
Nomenclatura
Parâmetros: são as medidas descritivas da população, geralmente desconhecidas.
Estatísticas: são as medidas descritivas calculadas em função dos elementos da
amostra.
Parâmetros
(população)
Estatísticas
(amostra)
Média

x
Desvio padrão

s
Proporção
p
p̂
Curva normal e desvio padrão
68,27%
95,45%
99,73%
99,9937%
99,999943%
99,9999998%
Tipos de cartas de controle – Variáveis
As cartas de controle por variáveis são usadas para monitorar o processo quando a
característica de interesse é mensurada em uma escala de intervalo ou de razão.
Estes gráficos são geralmente utilizados em pares. Os gráficos R e S monitoram a
variação de um processo, enquanto os gráficos X monitoram a média do processo. O
gráfico que monitora a variabilidade deve ser examinado sempre em primeiro lugar,
pois se ele indicar uma condição fora do controle a interpretação do gráfico para a
média será enganosa.
Carta -X / R
Médias e amplitudes
Carta ~
X/R
Medianas e amplitudes
- /S
Carta X
Médias e desvio padrão
Carta I / MR
Valores (indivíduos ) e amplitude
móvel
Variáveis
Convenções
n = tamanho da amostra
k = número (quantidade) de amostras
=
x = média das médias das amostras (média global)
_
s = desvio-padrão amostral médio
_
R = amplitude amostral média
A2, A3, D3, D4, etc. = fatores de correção
Gráfico de controle X/R
Médias e amplitudes – Construção
Este gráfico é usado para acompanhar, controlar e analisar um processo com valores
contínuos de qualidade do produto, como o comprimento, o peso ou a concentração.
Tais valores fornecem grande quantidade de informações sobre o processo.
O uso dos gráficos de controle X e R deve ocorrer sempre que uma característica da
qualidade observada é expressa em unidades reais como peso em quilogramas,
comprimento em centímetros, temperatura em graus celsius.
Este gráfico é composto por dois gráficos que devem ser analisados em conjunto:
X, que monitora as médias dos subgrupos
R, que monitora a amplitude entre os subgrupos
O tamanho de cada subgrupo (n) deve ser constante, sendo que sempre devemos ter
2 ou mais subgrupos.
Gráfico de controle X/S
Médias e desvio padrão – Características
Estes gráficos são similares aos gráficos X-barra e R, embora o cálculo do desvio
padrão da amostra (S) seja mais difícil do que o da amplitude (R).
O uso dos gráficos de controle X e S deve ocorrer sempre que uma característica da
qualidade observada é expressa em unidades reais como peso em quilogramas,
comprimento em centímetros, temperatura em graus celsius.
Este gráfico é composto por dois gráficos que devem ser analisados em conjunto:
X, que monitora as médias dos subgrupos
S, que monitora a variabilidade entre os subgrupos
O tamanho de cada subgrupo (n) deve ser constante, sendo que sempre devemos
ter 2 ou mais subgrupos.
Quando são adotadas amostras maiores (n > 10), a amplitude já não é eficiente para
avaliar a variabilidade do processo, e devemos usar S.
Gráfico de controle I/Rm
Valores (indivíduos ) e amplitude móvel
Os gráficos de controle I/Rm monitoram dados contínuos quando somente uma
unidade pode (ou faz sentido) ser obtida. Temos k subgrupos com tamanho de
amostra igual a um (n = 1). No gráfico são plotadas as observações individuais x1,
x2, ... ,xk.
Analisamos dois gráficos:
– I, que monitora valores individuais
– Rm (amplitude móvel), que monitora a variabilidade
LSCx = x + E2. Rm
LMx = x
LICx = x – E2. Rm
LSCRm = D4. Rm
LMRm = Rm
LICRm = D4. Rm
Tabelas de fatores do CEP
__
__
Tamanho
Amostra
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
__
Carta X
A2
Cartas ( X e R )
Carta R
d2
D3
__
D4
1,880
1,128
3,267
1,023
1,693
2,574
0,729
2,059
2,282
0,577
2,326
2,114
0,483
2,534
2,004
0,419
2,704
0,076
1,924
0,373
2,847
0,136
1,864
0,337
2,970
0,184
1,816
0,308
3,078
0,223
1,777
~
de Medianas
( X e R 1,744
)
0,285Cartas3,173
0,256
Tamanho
Amostra
~
Carta X
~
A
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1,880
1,187
0,796
0,691
0,548
0,508
0,433
0,412
0,362
d2
Carta R
D3
1,128
1,693
2,059
2,326
2,534
2,704
2,847
2,970
3,078
0,076
0,136
0,184
0,223
Carta X
A3
Cartas ( X e S )
Carta S
B3
C4
B4
2,659
0,7979
3,267
1,954
0,8862
2,568
1,628
0,9213
2,266
1,427
0,9400
2,089
1,287
0,9515
0,030
1,970
1,182
0,9594
0,118
1,882
1,099
0,9650
0,185
1,815
1,032
0,9693
0,239
1,761
0,976
0,9727
0,284
1,716
Carta de0,9754
Individuais 0,321
( Xind e Rmov
)
0,927
1,679
D4
Carta X
E2
3,267
2,574
2,282
2,114
2,004
1,924
1,864
1,816
1,777
2,660
1,772
1,457
1,290
1,184
1,109
1,054
1,010
0,975
d2
Carta R
D3
D4
1,128
1,693
2,059
2,326
2,534
2,704
2,847
2,970
3,078
0,076
0,136
0,184
0,223
3,267
2,574
2,282
2,114
2,004
1,924
1,864
1,816
1,777
Fórmulas para cartas de variáveis
1. Cartas da média e da amplitude
LSC X  X  A 2  R
LICX  X  A 2  R
LSCR  D4  R
LICR  D3  R
σ̂ 
R
d2
σ̂ 
S
C4
σ̂ 
R
d2
σ̂ 
R
d2
2. Cartas da média e do desvio padrão
LSC X  X  A3  S
LICX  X  A3  S
LSCS  B4  S
LICS  B3  S
3. Cartas da mediana e da amplitude
~ ~
LSC X~  X  A 2  R
~ ~
LIC X~  X  A 2  R
LSCR  D4  R
LICR  D3  R
4. Carta de individuais e amplitude móvel
LSC X  X  E 2  R
LICX  X  E 2  R
LSCR  D4  R
LICR  D3  R
Tipos de cartas de controle – Atributos
Existem duas situações em que se utilizam atributos:
1) Quando as medidas não são possíveis, como características inspecionadas
visualmente (cor, brilho, arranhões e danos).
2) Quando as medidas são possíveis mas não são tomadas por questões
econômicas, de tempo, ou de necessidades. Em outras palavras: quando o diâmetro
de um furo pode ser medido com um micrômetro interno mas utiliza-se um calibre
passa/não-passa para determinar a sua conformidade com as especificações.
Carta p
Proporção de não-conforme
Carta np
Número de não-conforme
Atributos
Carta c
Número de não- conformidades
Carta u
Média de não- conformidades
Dados discretos
Tipos de cartas de controle – Atributos
Classificação X Contagem
Pergunta: a amostra tem alguma defeito?
SIM
NÃO
SIM
SIM
NÃO
Atributos do tipo SIM/NÃO são analisados através de gráficos do tipo p ou np.
Pergunta: quantos defeitos tem a amostra?
1
0
2
3
0
Atributos que consistem na contagem de defeitos são analisados através de
gráficos do tipo c ou u.
Convenções
n = tamanho da amostra
k = número (quantidade) de amostras
d = número de defeituosos
p = fração defeituosa
_
p = fração defeituosa média
c = número de defeitos
_
c = número médio de defeitos
u = número de defeitos por unidade
_
u = número médio de defeitos por unidade
Carta p – Proporção de não-conforme
•
•
•
•
A carta p é utilizada quando se deseja monitorar a proporção de peças nãoconformes.
As amostras coletadas deverão ser classificadas em conforme e não-conforme.
Assim, antes de iniciar o processo de coleta inicial certifique-se que as pessoas
envolvidas estão capacitadas no critério estabelecido e que o critério está claro.
O tamanho das amostras pode ser variável. Quanto maior o tamanho da amostra,
melhor – pois a probabilidade de peças não-conformes aparecer será maior.
A fração defeituosa da amostra é a razão entre o número de defeituosos encontrado
na amostra (d) e o tamanho da amostra (n) [p=d/n].
A distribuição da fração defeituosa é binomial, porém quando os tamanhos das
amostras forem grandes o suficiente a distribuição pode ser aproximada para a
curva normal.
= > Jarra conforme
Critérios:
= > Jarra não-conforme, tem 2 não-conformidades
Carta np – Número de itens não-conformes: Este gráfico é similar a carta p, com a
diferença de que se deseja marcar o número de defeituosos na amostra.
Carta c – Número de nãoconformidades/Defeitos na amostra
Características:
• Utiliza-se a carta c para monitorar a quantidade média de defeitos por amostra
coletada.
• As amostras devem ter tamanho constante e geralmente abaixo de dez.
• Aplicamos geralmente onde, em função do histórico do processo, há a
possibilidade de ocorrer vários tipos de defeitos de várias origens em um
processo contínuo, ou então quando em uma única amostra podem haver várias
ocorrências.
Exemplo – carta c
Amostras = 10
Nº de defeituosos na amostra = 4
2
1
4
3
Carta u – Número de nãoconformidades/Defeitos na unidade de
inspeção
Características:
• Utiliza-se a carta u para monitorar a quantidade de defeitos por unidade de
inspeção.
• As amostras podem ter tamanho variado e geralmente ficam em no mínimo dez.
Carta u
Nº total de defeitos encontrados = 4
Unidade de inspeção = 10
Nº de defeitos/Unidade de inspeção = 4 / 10 = 0,4
2
1
4
3
Fórmulas para cartas de atributos
1. Carta p - Proporção de peças não- conformes
p  (1 p)
LSC p  p  3 
n
LICp  p  3 
p  (1 p)
n
2. Carta np - Número de itens não-conformes
d
d
LSC np  d  3  d . (1 )
LICnp  d  3  d . (1 )
n
n
3. Carta c - Número de não-conformidades na amostra
LSCc  c  3  c
LICc  c  3 c
4. Carta u – Nº de não-conformidades na unidade de inspeção
u
LSC u  u  3 
n
u
LICu  u  3 
n
Capacidade do processo
Os limites μ ± 3σ são conhecidos como limites naturais de tolerância:
LNST = μ + 3σ (limite natural superior de tolerância)
LNIT = μ - 3σ (limite natural inferior de tolerância)
O limite de 6σ sobre a distribuição de uma característica de qualidade do produto vem
a ser a capacidade do produto, onde σ é o desvio padrão do processo otimizado
e estável (sob controle):
Capacidade do produto = 6σ
Como o valor de σ é, em geral, desconhecido, para obter a capacidade do
processo usa-se um estimador:
σ = R / d2
(onde R é a média das amplitudes das amostras e d2 é um valor que
depende do tamanho da amostra (n ≤ 10))
Se n > 10 e foi feito o gráfico de controle x − s , o estimador de σ é:
σ = √ Σ (x - x)² / n – 1 (onde n é o tamanho da amostra e x é a média das amostras)
d2 - fator para cálculo de capacidade de
processo
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D3
0,076
0,136
0,184
0,223
D4
3,267
2,574
2,282
2,114
2,004
1,924
1,864
1,816
1,777
D
0,709
0,524
0,446
0,403
0,375
0,353
0,338
0,325
0,314
c4
0,798
0,886
0,921
0,940
0,952
0,959
0,965
0,969
0,973
d2
1,128
1,693
2,059
2,326
2,534
2,704
2,847
2,970
3,078
FONTE: MONTGOMERY, D.C. Introduction to statistical quality control. 2 ed. New York, John Wiley, 1991.
Índice de Capacidade Potencial do
Processo (Cp)
Não existe uma relação matemática ou estatística entre limite de controle e limite de
especificação. Os limites de controle são definidos em função da variabilidade do
processo e medido pelo desvio padrão. Os limites de especificação são
estabelecidos no projeto pelos engenheiros, pela administração ou pelo cliente.
A melhor forma de se verificar a adequação de um processo às necessidade da
engenharia de produto é através do estudo de capacidade do processo ou da relação
entre a capacidade do processo e a diferença entre os limites de especificação. Esta
relação é conhecida como índice de capacidade potencial do processo - Cp.
Cp: índice de capacidade potencial do processo, leva em consideração a dispersão
do processo (curto prazo) em relação aos limites de especificação.
Cp 
LSE  LIE
ˆ R/ d
6
2
Sendo:
LSE = limite superior de
especificação;
LIS = limite inferior de
especificação;
6σ = capacidade do processo.
Índice de Capacidade Nominal do Processo
(Cpk)
Na prática, nem sempre o processo esta centrado na média, ou seja, pode-se chegar
a conclusões erradas quanto a capacidade do processo. Se o processo não se
encontrar centrado na média, Kane (1986) propôs a utilização do Índice de
Performance (Cpk):
Cpk: índice de capacidade nominal do processo, leva em consideração a dispersão
do processo (curto prazo) e centragem do processo em relação aos limites de
especificação.
Cps 
LSE  X
3ˆ R / d
2
X  LIE
Cpi 
3ˆ R / d
 LSE  X X  LIE 
Cpk  min
,

ˆ
ˆ
3 R / d 
 3 R / d 2
2 
2