Cálculo 1 Prof.: Thales Vieira Material online: h$p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2011_2.html Área do círculo Como calcular a área de um círculo unitário?
Equivalentemente: como calcular π ?
θ
2
θ
θ
θ
2
1
1
θ
θ
2π
θ=
5
θ
θ
cos( )
2
θ
sin( )
2
θ
θ
2 · sin( θ2 ) · cos( θ2 )
b·h
=
sin(
)
·
cos(
)
=
area =
2
2
2
2
θ
sin( )
2
TIC O Problema da Tangente Reta secante Reta que intersecta 2 pontos de uma curva
O Problema da Tangente Reta tangente •  Tangente: do latim tangens, que significa tocar ou encostar .
•  Reta tangente a uma curva
1.  Aquela que “toca” uma curva em um único ponto;
2.  Aquela que tem a mesma direção da curva no ponto de intersecção.
O Problema da Tangente Como calcular a equação da reta
tangente à parábola y = x2 em (1,1) ?
Precisamos da inclinação! Vamos começar com uma reta
secante PQ, onde:
P= (1, 1)
Q = (x, x2) A inclinação da reta PQ é dada por: Exemplo: Se Q = (2, 4): mP Q =
4−1
=3
2−1
Vamos aproximar Q de P! (TIC) O Problema da Tangente Como calcular a equação da reta
tangente à parábola y = x2 em (1,1) ?
Parece que mPQ se aproxima de 2 quando Q se aproxima de P! Diremos que a inclinação da reta tangente é o limite das inclinações das retas secantes:
ou seja: O Problema da Tangente Como calcular a equação da reta
tangente à parábola y = x2 em (1,1) ?
Assumindo m = 2, e (1, 1) um ponto da reta,
temos: y − y0 = m · (x − x0 )
O Problema da Velocidade Suponha que uma bola é jogada de uma torre, 450m acima do chão. Calcule a
velocidade da bola após 5 segundos.
A lei de Galileu nos diz que Só sabemos calcular velocidade média: Vm =
∆s
∆t
Queremos velocidade instantânea v(5)! Vamos aproximar v(t) usando a velocidade média em um pequeno intervalo de tempo: Entre t = 5 e t = 5.1: Vm =
O Problema da Velocidade Suponha que uma bola é jogada de uma torre, 450m acima do chão. Calcule a
velocidade da bola após 5 segundos.
Parece que Vm se aproxima de 49 m/s a medida em que diminuimos o intervalo! Tangente e Velocidade Parece que o problema da velocidade e da tangente são parecidos…
Considere o gráfico da função posição s(t): A inclinação da reta secante a s(t) em
P(a, 4.9a2) e Q(a+h, 4.9(a+h)2) é dada por: = Vm
onde Vm é medida no intervalo [a, a+h]. A velocidade instantânea equivale à
inclinação da reta tangente! EsAmando limites Seja f(x) = x2 – x + 2. O que acontece quando x se aproxima de 2?
TIC f se aproxima de 4 ! Diremos que: Definição de limite Escrevemos
lim f (x) = L
x→a
e dizemos ”o limite de f (x) quando x tende a a é igual a L”, se pudermos
tomar os valores de f (x) arbitrariamente próximos L (tão próximos de L quanto
quisermos), tomando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de
a), mas não igual a a.
Importante: note que nunca consideramos x = a, apenas valores próximos de a! Definição de limite Escrevemos
lim f (x) = L
x→a
e dizemos ”o limite de f (x) quando x tende a a é igual a L”, se pudermos
tomar os valores de f (x) arbitrariamente próximos L (tão próximos de L quanto
quisermos), tomando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de
a), mas não igual a a.
Importante: note que nunca consideramos x = a, apenas valores próximos de a! EsAmando limites Estime o valor de
TIC x−1
se aproxima de 0.5 ! 2
x −1
Diremos que: EsAmando limites Estime o valor de
TIC √
t2 + 9 − 3 se aproxima de 0.166666 ! t2
Diremos que: EsAmando limites Estime o valor de
TIC sin x
x
se aproxima de 1! Diremos que: EsAmando limites Estime o valor de
Mas quando
e n é um inteiro crescendo, x se aproxima de
zero e temos
e contradizendo nossa intuição de que Parece que
,
pois
para todo n inteiro! Portanto, não existe TIC