Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Operações com Vetores no Espaço R3:

Representação: v
vx
iˆ v y ˆj v z kˆ
Determinação dos ângulos
cos
vx

v
x
x
x,
y,
v
arccos x
v
z:
Lembre-se que para encontrar o ângulo
em graus o modo que se deve trabalhar na
calculadora é deg (de “degree”) e se quiser operar
em radianos, rad.
A relação entre um ângulo medido em
0
grau
e um ângulo medido em radiano é dada
0
por:
cos
10
vy

v
y
cos
y
vz

v
z
x
vy
arccos 
v
1800
3.14159...


v
arccos z
v

Importante:

v é um vetor, por tanto possui módulo
direção e sentido.


v é o módulo do vetor v , sendo
portanto um número.
Representação dos ângulos no espaço R3:
Produto Escalar entre dois vetores:
 
Representação: z

v

v
v x iˆ v y ˆj v z kˆ ou
(v x , v y , v z ) ou


v OA
A O


v y : Componente y do vetor v na direção Oy.

v z : Componente z do vetor v na direção Oz.
v x : Componente x do vetor v na direção Ox .

v
Representação: A B

B

Lê-se: Produto escalar entre os vetores A e
Definição: O Produto escalar entre dois
vetores é um número que representa a projeção de
um vetor na direção de outro vetor:

A

A cos
A
 
A B
z

B
Ax Bx
Ay By
Az Bz
Mostramos em aula que:
y
 
A B
x
0
vy
Ax Bx
Ay By
 
A B cos
Az Bz
y
Podemos encontrar o ângulo entre os
vetores por meio da equação:
x vx
cos
Ax Bx
Versores:
iˆ
1,0,0
ĵ
0,1,0
k̂
0,0,1
arccos
Módulo do vetor:

v
v x2

v y2
v z2
Modo angular na calculadora:
Ay By
 
A B
Ax Bx
Az Bz
Ay By
 
A B
Az Bz
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Aplicações:
 
A B
Trabalho de uma força:
O trabalho de uma força, ao deslocar um corpo


de uma posição r1 a outra r2 no espaço ao longo de
uma trajetória C é dado por:
 
F dr
C
 
F d
Potência de uma força:
 
P F v
11
Az By iˆ
Ay Bz
iˆ ˆj
ˆj iˆ
0
ˆj ˆj 1
iˆ kˆ
kˆ iˆ
0
kˆ
Ax
Bx
Ay
By
Az
Bz
Ax Bz ˆj
Az Bx
Ay Bx kˆ
Ax By
Podemos encontrar o módulo do vetor que
é originado pelo produto vetorial dos vetores


vetores A e B :
 
A B
Propriedades:
iˆ iˆ 1
ˆj
Mostramos em aula que:
 
A B
Quando a força é constante ao longo dessa
trajetória, sendo d o deslocamento sofrido pelo corpo:
iˆ

kˆ kˆ 1
ˆj kˆ kˆ ˆj 0
  
   
A B C A B A C


v
; onde v AB B A
nˆ


AB
v v
 
A B sen
Aplicações:
Torque ou Momento de uma força
aplicada num ponto A em relação a um ponto
O:
 
OA FA
MOA

FA
A
y
(Normalização de um vetor).
Mostre que:
cos x iˆ cos
nˆ
AB
y
ˆj cos z kˆ
z
O
x
11. Força magnética sobre uma
partícula de carga q que penetra numa região
de Campo Magnético Uniforme.
Produto Vetorial entre dois vetores:


B.

Representação: A

B
Força de Lorentz:

F

Lê-se: Produto vetorial entre os vetores A e

qE
 
qv B

E
q

v

B
Definição: O Produto vetorial entre dois
vetores é um vetor que possui direção perpendicular ao


plano formado pelos vetores A e B , cujo ângulo vale
e cujo módulo é igual a área formada pelo
paralelogramo de lados


A e B:
Propriedades:
iˆ iˆ 0
ˆj

A
ˆj
0
kˆ kˆ 0
 
A B
θ
h

A sen

B
iˆ
kˆ
ˆj
iˆ
ˆj
iˆ
ˆj kˆ
kˆ
  

A B C A
 
 
A B
B A

mA B m A
   
A B C A
  

A B C
A
  
A A 0

B
iˆ
kˆ
ˆj
kˆ
ˆj
iˆ
 
A C

B
 
B C
    
C B A BC
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Produto misto de três vetores:
  
O Produto misto entre os vetores A , B e C
é um número cujo valor é o volume do paralelepípedo
formado pelo comprimento dos respectivos vetores .
 Interpretação Geométrica:




Notação: A B C
Funções com valores Vetoriais:
Se D é um conjunto de números reais,

então, r x(t )iˆ y (t ) ˆj z (t )kˆ é uma função
com valores vetoriais para um dado t real.
Se t é o tempo, denominamos o vetor
deslocamento:

r
x(t )iˆ
y (t ) ˆj
z (t )kˆ
A trajetória de uma partícula para esse
vetor deslocamento é a união de todos os extremos
desses vetores para todo instante de tempo t.
12
  
A B C
  
A B C sen cos
  
A B C
Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
Cx
Cy
Cz
O vetor velocidade instantânea é um vetor
tangente à trajetória e é dado por:

v (t )

dr
dt

v (t )
dx ˆ
i
dt
dy ˆ
j
dt
dz ˆ
k
dt
Observe que:
vx iˆ v y ˆj vz kˆ
vx
dx
dt
vy
dy
dt
vz
dz
dt
O vetor aceleração instantânea é dado
por:

a (t )

d 2r
dt 2
d 2x ˆ
i
dt 2
d2y ˆ
j
dt 2
Observe que:

a(t )
ax iˆ a y ˆj az kˆ
ax
ay
az
dv x
dt
dv y
dt
dv z
dt
d 2z ˆ
k
dt 2
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(d) AC AD
Exercícios de Aplicação:
Desenvolvidos em aula
0
(e) Ângulo entre AC e AD : 59.8 .
Em cada ilustração, encontre o que se pede:
1.
(a)
(f) Ângulo entre OA e OB : 90
AB (d) AC AD
(e) Ângulo entre AC e AD .
(f) Ângulo entre OA e OB .
13
O
A(0, 20, 0);B(-4, 0, 5); C(12, 0, 3.6);D(-4, 0, -14.8)
AD
D A
4,0, 14.8
AB
B A
4,0,5
AC C A
(a)
AD AB
ˆj
4
4
20
20
AD AB
4
(b)
12, 20,3.6
ˆj
kˆ
4
4
20
20
14.8
5
iˆ
14.8 4
5
4
4
20
AD AB
4, 20,5
iˆ
20 5
14.8
4, 20, 14.8
0, 20,0
kˆ
iˆ
0, 20,0
0, 20,0
12,0,3.6
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(d) OC OD
(e) Ângulo entre AC e AB .
(f) Ângulo entre OA e OB .
3.
ˆj
20
20
20
5
4 ˆj
4
20 kˆ
14.8 iˆ ’
396iˆ 79.2 ˆj 0kˆ
AC AD 368iˆ 163.2 ˆj 320kˆ
(c) AD AB
342
0
2. O ponto A está a 20m do chão.
AD AB (b) AC AD
(c) AD
298.72
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(d) OC OD
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(e) Ângulo entre AC e AB .
(f) Ângulo entre OA e OB .
4.
14
(a) AC AB (b) AB AC
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(c) AC AB
(d) OC OD
(e) Ângulo entre AC e AB .
(e) Ângulo entre AC e AB .
(f) Ângulo entre OA e OD .
(f) Ângulo entre OA e OE .
(g) AB AC
(g) AE AC
(d) OC OD
7.
5.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(d) OC OD
(e) Ângulo entre AC e AB .
(f) Ângulo entre OA e OB .
(g) AD AC
6.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(d) OC OD
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(e) Ângulo entre AC e AB .
10.
(f) Ângulo entre OE e OF .
(g)
AD AE
8.
15
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(d) OC OD
11.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(d) OC OD
9. O raio do disco é 5cm.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(d) OC OD
(d) OC OD
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
12.
14.
16
(a) OA OB (b) OA OA
(c) OA OB
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(d) OC OA
(d) OA OA
15.
13.
(a) AC AB (b) AB AC
(a) AC AB (b)
(c) AC AB
AB AD
(d) OC OA
(c) AC AB
(d) OC OD
(e) Ângulo entre AC e AB .
(f) Ângulo entre OE e OF .
(g)
AD AE
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
16.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(d) OC OD
18.
17
(a) AC AB (b) AB AC
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(c) AC AB
(d) OC OD
(e) Ângulo entre AC e AB .
(d) OC OD
19.
(f) Ângulo entre OE e OB .
(g)
AD AE
17.
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
20.
(d) OC OB
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
PROBLEMAS
 Parte A – Exercícios de treinamento
Problema 1 – São dados os vetores:

u

v

r

s
3iˆ ˆj
2iˆ 5 ˆj
2iˆ 3 ˆj kˆ
4iˆ 2 ˆj 8kˆ
Determine:
 
(a) u 3v
 
(b) u v
 

(c) u (u 2v )
18

u

(e) r

(f) v

(g) v
(d)

v
(h)
 
2v 3r

v
 
s vr
 
s v
  
s v r

u

u
 
r u

u
iˆ
Problema 2 – São dados os vetores:

iˆ 4 ˆj 3k
2iˆ 3 ˆj kˆ

5iˆ 2 ˆj 3kˆ
eC

A

B
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(d) OC OB
21.
Verifique as propriedades:

 
B C
 

B
ii. A B
 
iii. mA B
  
iv. A B C
  
v. A B C
i. A
vi.
  
A A 0
   
A B A C

A
 
mA B
  
A B C
     
A C B A BC
Problema 3 – Encontre os ângulos entre
os vetores:
 
 
(b) A e C .
 
(c) B e C .
(a) A e B .

r (t )
(a) AC AB (b) AB AC
(c) AC AB
(d) OC OB
Problema 4 – Seja:
(9 4t )iˆ ( 4 6t ) ˆj (3 3t )kˆ :
(a) Encontre os vetores:



r (0) ; r (1) e r ( 2) .



(b) Esboce os vetores: r (0) ; r (1) e r ( 2) .
(c) Encontre os vetores
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori



v (0) ; v (1) e v ( 2) .
-2
-1
0
1
2
3
4
Problema 5 – Seja:

r (t )
a cos tiˆ asentˆj btkˆ , com a e b
constantes.

(a) Faça o traçado de r (t ) completando a
tabela abaixo:

r (t )
t
Indique os vetores da tabela na figura que
representa a trajetória C.
0
/4
/2
19

r (t )
t
c) Calcule o vetor velocidade instantânea
3 /4
5 /4
2
(b) Esquematizando a curva que representa a
trajetória, união de vários pontos extremos do vetor

r (t ) , dada para a = 1 e b = 1/3, teremos:
0.5
0
1
-1
-0.5
0
0.5

v (t ) vx iˆ v y ˆj para os instantes da tabela e
seus módulos.
d)
Determine

instantânea a(t )
o
vetor
aceleração
ax iˆ a y ˆj para os instantes
da tabela e seus módulos.
1
-0.5
-1
6
4
0
0.510
-0.5
-1
2
-10
-10
-5
0
0
Indique os vetores da tabela na figura que
representa a trajetória C.
Problema 6 – Uma partícula de carga q
penetra numa região onde há um campo elétrico

E 3iˆ 4 ˆj 6kˆ

B
N
C
,
e
um campo
magnético
0.2iˆ 0.4 ˆj T .

F
Encontre a relação
se a velocidade desta
q

12iˆ 22 ˆj ms .
partícula é de v

2tiˆ (8 t 2 ) ˆj .

(a) Faça o traçado de r (t ) completando a
Problema 7 – Seja r (t )
tabela a seguir:
5
10
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Parte B – Trabalho.
(b) a projeção sobre AB da força aplicada
pelo cabo A
Problema 1 - Dados os vetores P = 3i - j + 2k,
Q = 4i + 5j - 3k e S = -2i + 3j - k, calcule os produtos
escalares P • Q, P • S e Q•S.
Problema 8 - Sabendo que a força de
tração no cabo AD é de 810 N, determine: (a)
o ângulo entre AD e o mastro AB e
(b) a projeção sobre AB da força exercida
pelo cabo AD no ponto A.
Problema 2 - Calcule o produto escalar
P1 • P2 e utilize o resultado obtido para provar
a identidade:
cos(
1
2
) cos
1
cos
2
sen 1sen
2
P1
20
P2
2
1
x
Problema 3 - Três cabos são utilizados para
sustentar um recipiente, como ilustrado. Determine o
ângulo formado pelos cabos AB e AD.
Problema 4 - Três cabos são utilizados para
sustentar um recipiente, como ilustrado. Determine o
ângulo formado pelos cabos AC e AD.
Problema 5 - O tubo AB pode deslizar ao
longo do eixo horizontal. Os extremos A e B do tubo
estão ligados ao ponto fixo C por meios de elásticos. Na
posição correspondente a x = 280 mm, determine o
ângulo formado pêlos dois elásticos
(a) usando o produto escalar entre vetores
apropriados.
(b) aplicando a lei dos co-senos ao triângulo
ABC.
Problema 9 - Dados os vetores P = 3i - j +
2k, Q = 4i + 5j - 3k e S = -2i + 3j - k, calcule:
(a) (Q x S)
(b) (P x Q) • S
(c) (S x Q) • P.
Problema 10 - Dados os vetores P = 4i - 2j
+ 3k, Q = 2i + 4j - 5k e S = si - j + 2k, determinar
o valor de s para o qual os três vetores são
coplanares.
Problema 11 tração no cabo AB é
momento, em relação
coordenados, da força
placa.
Sabendo
de 570
a cada
aplicada
que a força de
N, determine o
um dos eixos
no ponto 6 da
Problema 12 - Sabendo que a força de
tração no cabo AC é de 1 065 N, determine o
momento da força aplicada no ponto C da placa,
em relação a cada eixo coordenado.
Problema 6 - Resolva o Problema 3.30
quando x = 100 mm.
Problema 7 - Sabendo que a força de tração
no cabo AC é de 1 260 N, determine:
(a) o ângulo entre o cabo AC e o mastro AB e
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Problema 13 - Um pequeno barco pende de
dois suportes, um dos quais é mostrado na figura. Sabese que o momento, em relação ao eixo z, da força
resultante R aplicada no ponto A do suporte não deve
exceder o valor de 217 N • m, em valor absoluto.
Determine o maior valor possível da força de tração no
cabo ABAD quando x = 1,46m.
21

r (t )
t
0
/4
/2
3 /4
5 /4
2
(b) Esquematizando
a curva que
representa a trajetória, união de vários pontos

extremos do vetor r (t ) , dada para a = 1 e b = 1/3,
teremos:
0.5
0
1
-1 -0.5
0
0.5
1
-0.5
-1
4
2
Problema 14 - Com referência ao Prob. 3.38,
determine o maior valor de x compatível com uma
força de tração de 214 N no cabo ABAD.
0
Problema 15 - Uma força única P atua no
ponto C em uma direção perpendicular ao cabo BC da
manivela da figura. Sabendo que Mx = 20 N • m, My =
8,75 N • m e Mz =30 N • m, determine o módulo de P e
os valores de e .
Problema 16 - Uma única força P atua no
ponto C em uma direção perpendicular ao cabo BC da
manivela da figura. Determine o momento M de P em
relação ao eixo x, quando = 700 , sabendo que My= 20 N • m e Mz = -37,5 N • m.
Indique os vetores da tabela na figura.
velocidade

r (t )
–
Problema 18
vetorial
Determine a
se
v (t ) ,
asentiˆ a cos ˆj btkˆ
representa
vetor posição de uma partícula em movimento.
o
Problema 19 – Uma partícula de
carga q penetra numa região onde há um campo
elétrico

E 3iˆ 4 ˆj 6kˆ

magnético B
velocidade

v
N
C
, e um campo
0.01iˆ 0.4 ˆj T .

F
Encontre a relação
q
desta
partícula
20iˆ 10ˆj 5kˆ
m
s
é
se a
de
.
Problema 20 – Seja o vetor posição de uma
partícula dado por:

r (t )
cos tiˆ sentˆj 1kˆ
A trajetória dessa partícula está indicada na
Problema 17 – Seja:

r (t )
asentiˆ a cos ˆj btkˆ , com a e b
constantes.

(a) Faça o traçado de r (t ) completando a tabela
abaixo:
figura.
(a) Calcule o vetor velocidade instantânea

v (t ) vx iˆ v y ˆj para os instantes t0 = 0s, t1 = 2s
e t3 = 4 s, e também seus módulos.
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial – Notas de Aula 2 – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

a(t )
(b) Determine o vetor aceleração instantânea
ax iˆ a y ˆj para os instantes dados e seus
módulos.
1
0.5
0
-0.5
-1
2
1.5
1
22
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
Referências:
“Mecânica Vetorial para Engenheiros –
Estática”, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr.,
Makron Books.
Swokowski, V II.