TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A
RESOLUÇÃO - VERSÃO 1
______________________________________________
Grupo I
1.
B# C # D ## œ % tem centro no ponto de
coordenadas Ð!ß !ß #Ñ e raio #, pelo que é tangente ao plano BSC . Assim, a
A superfície esférica de equação
intersecção da superfície esférica com este plano é um ponto.
Resposta B
2.
A recta
"
< tem declive # , pelo que o declive da recta = é #
Este facto exclui as alternativas B e C.
Entre as alternativas A e D, a que corresponde a uma recta que passa no ponto de
coordenadas
Ð"ß %Ñ é a alternativa A.
Resposta A
3.
Na figura está representado o círculo trigonométrico, bem como os lados extremidade dos
ângulos cujo co-seno é
!, $
’!ß # “ e em ’ # ß #1“, a equação cos B œ !,$ não tem solução.
1 $1
• em ’
# ß # “, a equação cos B œ !,$ tem duas soluções.
Como se pode observar:
• em
• em
1
$1
Ò !ß 1Ó , a equação cos B œ !,$ tem apenas uma solução.
Resposta B
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Resolução - Página 1
SE œ SG GE œ SG FG œ cos ) sen )
4.
Tem-se
5.
Das alternativas apresentadas, apenas a C e a D correspondem a pontos pertencentes à
Resposta C
fronteira da região admissível. Este facto permite excluir as alternativas A e B. Das hipóteses
C e D, aquela em que a função objectivo tem valor mais elevado é a D, pois
$‚'# $‚%$
Resposta D
Grupo II
1.1.
A área do triângulo ÒEGHÓ é igual à diferença entre a área do triângulo
área do triângulo ÒEFGÓ.
•
Área do triângulo
ÒEFGÓ œ
#‚"
œ"
#
•
Área do triângulo
ÒEFHÓ œ
EF ‚ FH
#
Como
tgB œ
FH
EF
Assim, a área do triângulo
Logo, a área do triângulo
1.2.
FH
#
œ
ÒEFHÓ e a
FH œ # tgB
vem
ÒEFHÓ é igual a
# ‚ # tg B
œ # tgB
#
ÒEGHÓ é dada por # tgB "
# tgB " œ " Í # tgB œ # Í tgB œ "
Como
B designa a amplitude, em radianos, de um ângulo agudo, tem-se B œ %
1
Outro processo:
A área do triângulo
ÒEFGÓ é igual a ".
Portanto, tem-se:
Área do triângulo
Í
EF ‚ FH
#
Tem-se, então,
ÒEGHÓ œ " Í Área do triângulo ÒEFHÓ œ #
Í
# ‚ FH
#
œ #
EF œ FH
pelo que
Bœ %
œ #
Í
Í FH œ #
1
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1.3.
Tem-se
Como
&
1
" tg# + œ cos# +
"
e como
Í
& #
Š "$ ‹
Í " tg# + œ
"'*
#&
Ó !ß 1# Ò,
vem
# tg+ " œ # ‚ & " œ &
"#
Assim, o plano
"'*
#&
&
"
#&
"'*
vem:
Í
" Í tg# + œ
tg+ œ
"#
&
"*
#.
# pode ser definido por uma equação do tipo B #C #D . œ !
Como este plano contém o vértice do cone, o qual tem coordenadas
" # ‚ # # ‚ ' . œ !, donde resulta . œ (
Portanto, uma equação do plano
2.2.
O vector de coordenadas
O vector de coordenadas
Os planos
"%%
#&
Ð"ß #ß #Ñ é perpendicular ao plano α, pelo que também é
O vector de coordenadas
perpendicular ao plano
cos+ œ "$
" tg# + œ
Í tg# + œ
Como + pertence ao intervalo
2.1.
&
"
" tg# + œ
Logo,
Í cos+ œ "$
senŠ # +‹ œ "$
Ð"ß #ß 'Ñ, vem:
# é B #C #D ( œ !
Ð"ß #ß #Ñ é perpendicular ao plano α.
Ð#ß "ß "Ñ é perpendicular ao plano " .
α e " são perpendiculares se, e só se, os vectores de coordenadas
Ð"ß #ß #Ñ e Ð#ß "ß "Ñ forem perpendiculares, ou seja, se, e só se, o produto escalar
Ð"ß #ß #Ñ . Ð#ß "ß "Ñ for igual a zero.
Ora,
Ð"ß #ß #Ñ . Ð#ß "ß "Ñ œ " ‚ # # ‚ Ð "Ñ Ð #Ñ ‚ " œ #
Portanto, os planos
α e " não são perpendiculares.
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2.3.
Tem-se que o ponto
A recta
[ tem coordenadas Ð"ß #ß 'Ñ
Z [ pode ser definida pela condição B œ " • C œ #
Assim, uma condição que define o segmento de recta
Bœ" • C œ# • 'ŸD Ÿ'
2.4.
O volume de um cone é igual a
ÒZ [ Ó é
"
$ ‚ Área da base ‚ Altura
Relativamente ao cone em causa, tem-se:
• A área da base é igual a
• A altura é igual a
Para determinarmos
½Z G ½
1 ‚ $# œ * 1
½Z G ½, precisamos de saber as coordenadas do ponto G .
O ponto G é o ponto de intersecção do plano
e que passa por Z .
α com a recta perpendicular a este plano
Tem-se:
• uma condição que define o plano α é B #C #D œ ""
• uma condição que define a recta perpendicular a este plano e que passa por
ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß 'Ñ - Ð"ß #ß #Ñ ß - − ‘
G satisfazem a condição
ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß 'Ñ - Ð"ß #ß #Ñ • B #C #D œ "" ,
ÐBß Cß DÑ œ Ð" -ß # #-ß ' #-Ñ • B #C #D œ ""
Z é
Assim, as coordenadas de
que é equivalente a
" - ## #- #' #- œ "" Í
Í " - % %- "# %- œ "" Í *- œ ") Í - œ #
Tem-se:
Portanto, o ponto
Vem, então:
G tem coordenadas Ð" #ß # # ‚ #ß ' # ‚ #Ñ œ Ð$ß 'ß #Ñ
½Z G ½ œ lG Z l œ lÐ#ß %ß %Ñl œ È## %# Ð %Ñ# œ '
Portanto, o volume do cone é igual a
"
$ ‚ * 1 ‚ ' œ ") 1
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3.
Como
SE œ SG , o triângulo ÒSEGÓ é isósceles.
ÒSEGÓ é isósceles, a altura ÒSHÓ intersecta ÒEGÓ no ponto médio
deste segmento, donde EH œ HG , pelo que EG œ # EH
Como o triângulo
Como o ângulo GSF é um ângulo ao centro, a amplitude do arco
amplitude do ângulo GSF.
GF é igual à
GF é igual a α.
Portanto, a amplitude do arco
O ângulo GEF é um ângulo inscrito, pelo que a sua amplitude é igual a metade da
amplitude do arco GF.
Logo, a amplitude do ângulo
Como
Tem-se
Como
e como
vem
cos ˆ #
α
‰œ
GEF é igual a #
EH
ES
α
vem
EH œ ES cos ˆ #
α
α
EF . EG œ ½EF ½ ‚ ½EG ½ ‚ cos ˆ #
½EF ½ œ EF œ # <
α
½EG ½ œ EG œ # EH œ # < cos ˆ #
α
EF . EG œ # < ‚ # < cos ˆ #
‰
‰
œ < cos ˆ #
α
‰
‰
‰ ‚ cos ˆ α# ‰
œ % <# cos# ˆ #
α
‰
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