TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A RESOLUÇÃO - VERSÃO 1 ______________________________________________ GRUPO I 1. 0 Ð %Ñ 0 " Ð#Ñ œ $ $ œ ! Resposta B 2. 0 ÐBÑ 1ÐBÑ œ ! Í 0 ÐBÑ œ ! • 1ÐBÑ Á ! Portanto, os zeros da função 0 1 são os zeros da função 0 que não são zeros da função 1 Como a função 0 tem cinco zeros e um deles também é zero da função 1, a função 0 1 tem quatro zeros. Resposta C 3. Ð1 ‰ 0 Ñ Ð$Ñ œ 1Ò 0 Ð$ÑÓ œ 1Ð"Ñ œ # Resposta D 4. O perímetro do triângulo ÒEGHÓ é igual a EH EG GH Tem-se: EH EG GH œ B & È%# Ð$ BÑ# œ œ B & È"' * 'B B# œ œ B & ÈB# 'B #& Resposta D 5. s GE Þ GF œ ½ GE ½ ‚ ½ GF ½ ‚ cos ŠGE GF ‹ œ œ % ‚ % ‚ cos ")!° œ % ‚ % ‚ Ð "Ñ œ "' Resposta B Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 1 GRUPO II 1. O ponto E pertence ao eixo SB, pelo que a sua ordenada e a sua cota são iguais a zero. Como o ponto E pertence ao plano EFG , vem: 'B $ ‚ ! % ‚ ! œ "# Í B œ # Portanto, o ponto E tem coordenadas Ð#ß !ß !Ñ EFG tem equação 'B $C %D œ "#, o vector de coordenadas Ð'ß $ß %Ñ é perpendicular ao plano, pelo que é um vector director da recta < Como o plano Assim, uma equação vectorial da recta < é ÐBß Cß DÑ œ Ð#ß !ß !Ñ 5 Ð'ß $ß %Ñß 5 − ‘ 2. T , de coordenadas tg α ß sen α ß # cos α, pertence à superfície # esférica I , de equação B# C# D # œ %, tem-se Como o ponto tg# α sen# α # cos α ## œ % Vem, então: tg# α sen# α # cos α ## œ % Í tg# α sen# α cos# α œ % Í Í tg# α " œ % Í tg# α œ $ Como α pertence ao intervalo Ó! ß Portanto, α œ 1 $ 1 # Ò, vem tg α œ È$ Portanto, as coordenadas do ponto T são œ ŒÈ $ ß È$ " È # ß # # œ Œ $ß Štg 1 1 1 $ ß sen $ ß # cos $ ‹ œ È$ & # ß # 3.1. No início do ano 2009, o número de animais, em milhares, da espécie A era igual a +Ð!Ñ œ ', ou seja, no início do ano 2009, havia ' !!! indivíduos da espécie A. No início do ano 2010, o número de animais, em milhares, da espécie A era igual a +Ð"Ñ œ ),&, ou seja, no início do ano 2010, havia ) &!! indivíduos da espécie A. Por isso, desde o início do ano 2009 até ao início do ano 2010, o número de indivíduos da espécie A aumentou # &!! Como, no intervalo de tempo referido, morreram &!! animais da espécie A, podemos concluir que, no mesmo intervalo de tempo, nasceram Ð# &!! &!! œ $ !!!ÑÞ $ !!! animais dessa espécie Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 2 3.2. Tem-se: +Ð>Ñ œ "" > ' & > " œ "" > " "" > ' "" > "" & >* > * > $ ' ' ,Ð>Ñ œ > $ œ " > $ > " "" > $ " Portanto, as assimptotas horizontais dos gráficos das funções respectivamente, as rectas de equações C œ "" e + e , são, Cœ" Tem-se assim que, com o passar do tempo, o número de animais da espécie A tende para "" !!! e o número de animais da espécie B tende para " !!!, pelo que a diferença entre o número de animais da espécie A e o número de animais da espécie B tende para "! !!! 4.1. 0 ÐBÑ Ÿ & Í $ ' ' B Ÿ& Í $ B &Ÿ! Í ' Í # B Ÿ! Í B #B ' B ∞ Quociente # B ' Ÿ! B ! ! 8Þ.Þ $ ! ! ∞ Portanto, o conjunto dos números reais que são soluções da inequação 0 ÐBÑ Ÿ & é Ó ∞ß ! Ò ∪ Ò$ ß ∞ Ò 4.2. O declive da recta < é igual a 0 w Ð#Ñ, derivada da função 0 no ponto # Tem-se que ' w ' 0 w ÐBÑ œ Š$ B ‹ œ B# , pelo que ' $ 0 w Ð#Ñ œ % œ # A equação reduzida da recta < é, portanto, da forma C œ Como 0 Ð#Ñ œ $ tem ' # œ $ $ œ ', $ # B , a recta < passa no ponto Ð#ß 'Ñ , pelo que se $ ' œ # ‚ # , , donde vem que Portanto, a equação reduzida da recta < é C œ ,œ* $ # B * Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 3 w " 4.3. Tem-se que 1 w ÐBÑ œ Š B$ $B# )B $‹ œ B# 'B ) $ 1 w ÐBÑ œ ! Í B# 'B ) œ ! Í B œ # ” B œ % Portanto, Portanto, a abcissa de E é # e a abcissa de F é % Como " "" 1Ð#Ñ œ $ ‚ ) $ ‚ % ) ‚ # $ œ $ , A área do triângulo ÒSEGÓ é, portanto, % ‚ "" $ # o ponto E tem ordenada "" $ ## œ $ 4.4. As soluções da equação 0 ÐBÑ œ 1ÐBÑ são as abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos das funções 0 e 1 Na figura, estão representadas graficamente as funções 0 e 1, na janela de visualização Ò!ß "!Ó ‚ Ò!ß "!Ó, e está assinalado o ponto de intersecção dos gráficos que tem abcissa positiva. A solução positiva da equação, arredondada às centésimas, é &,"& Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 4