Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLAN A XI
1 – TEOREMA DE TALES
2 – APLICAÇÃO PARA TRIÂNGULOS
No Nivelamento, um dos assuntos abordados
foi Razão e Proporção. A proporção aparece em várias
situações no dia-a-dia: por exemplo, na leitura de
plantas, cartas marítimas, mapas, etc: em todas elas,
aparece a escala, que é a razão entre o valor de um
comprimento ilustrado no mapa e o seu valor
verdadeiro. Logo as figuras dos mapas normalmente
são proporcionais ao seu tamanho real.
Em muitos casos, os lados de dois polígonos
são respectivamente proporcionais entre si. Quando
isso acontece, diz-se que os dois polígonos são
semelhantes. E a semelhança que é mais cobrada
nos vestibulares é a semelhança de triângulos (afinal
como já vimos, qualquer polígono pode ser dividido em
triângulos).
Antes de estudar com maiores detalhes a
semelhança de triângulos, vale a pena ver o Teorema
de Tales, que está ilustrado na figura abaixo:
Seja
um triângulo. Passando uma reta
pela base
, uma reta paralela a pelo ponto e
uma terceira reta paralela a e a cortando o lado
em
e o lado
em
, tem-se a situação
ilustrada na figura abaixo:
Figura 2 – aplicação do Teorema de Tales em triângulos
Como
, das propriedades de paralelismo,
̂ e ̂
̂ . Além disso,
tem-se que ̂
pelo Teorema de Tales, pode-se concluir que:
3 – TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA
Figura 1 – Teorema de Tales
O enunciado do Teorema de Tales é o
seguinte: “Se duas retas são transversais de um feixe
de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos
quaisquer de uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes da outra”.
Na figura 1, , ,
formam um feixe de retas
paralelas. Além disso, e são segmentos da primeira
reta transversal, enquanto
e
são segmentos da
outra reta transversal. O Teorema de Tales afirma que:
O enunciado do Teorema da bissetriz interna é
o seguinte: “Uma bissetriz de um ângulo interno de um
triângulo determina no lado oposto dois segmentos
proporcionais aos lados adjacentes”.
Ele pode ser visualizado na figura abaixo:
Além disso, das propriedades de proporções:
Figura 3 – Teorema da bissetriz interna
Dentre essas, as proporções mais utilizadas
são:
CASD Vestibulares
Na figura 3,
é bissetriz do ângulo interno
, os lados adjacentes ao ângulo são
e
, e os dois segmentos determinados por
no
lado oposto são
e
. Então
e são
proporcionais a e :
Geometria
1
4 – TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA
Resolução:
Do Teorema de Tales, temos que:
O enunciado do Teorema da bissetriz externa é
o seguinte: “Uma bissetriz de um ângulo externo de um
triângulo determina no lado oposto (que deve ser
prolongado) dois segmentos proporcionais aos lados
adjacentes”.
Ele pode ser visualizado na figura abaixo:
Resposta: Os valores são
,
e
Exercício Resolvido 2:
Calcule
e
na figura abaixo.
Figura 4 – Teorema da bissetriz externa
Na figura 4,
é bissetriz do ângulo externo
, os lados adjacentes ao ângulo são
e
, e os dois segmentos determinados por
no
lado oposto prolongado são
e
. Então
e são proporcionais a e :
ERRATA
- No material de Geometria Plana IX, o gabarito do item
2a) está errado! O valor correto de é
, e não
- No material de Geometria Plana IX, o gabarito da
questão 24 está errado! A área do losango é
,
e não
Figura 6: figura do exercício resolvido 2
Resolução:
Note que o triângulo
é retângulo em
.
Então:
Exercício Resolvido 1:
Na figura abaixo, as retas , , ,
são
paralemas entre si. Elas dividem o segmento
em
três partes medindo ,
e . Além disso, elas dividem
o segmento
em três partes, medindo
,
e .
Sabendo que
e que
, calcule , e .
é bissetriz do ângulo interno
(
Figura 5: figura do exercício resolvido 1
2
)
Resposta: Os valores são
Geometria
e
CASD Vestibulares
Nível II
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7. (PUC - RJ - 12) Considere um triângulo
retângulo em
onde ̅̅̅̅
e ̅̅̅̅
. ̅̅̅̅ é a
bissetriz do ângulo ̂ . Quanto mede ̅̅̅̅?
Nível I
1. Atividade Proposta nº 8, Geometria Plana IX
2. (UFRRJ - 05) Pedro está construindo uma fogueira
representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma
de com é
e que as retas , e são paralelas.
a)
a)
a)
a)
a)
8. Atividade para Sala nº 3, Geometria Plana IX
9. Atividade Proposta nº 9, Geometria Plana IX
10. Atividade Proposta nº 7, Geometria Plana IX
11. Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana IX
A diferença
a)
é
b)
12. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana IX
c)
d)
13. (FGV - 05) Na figura,
,
e
e)
é um triângulo com
.
3. (UNESP - 03) Considere
retas coplanares
paralelas, ,
e , cortadas por
outras retas,
conforme a figura. Os valores dos segmentos
identificados por e são, respectivamente,
a)
e
b)
e
c)
Sendo
e
e
quociente
d)
e
e)
bissetrizes internas do triângulo
,o
é igual a
e
a)
b)
c)
d)
e)
4. Atividade Proposta nº 1, Geometria Plana IX
5. Atividade para Sala nº 4, Geometria Plana IX
6. (UFSM - 03) A crise energética tem levado as
médias e grandes empresas a buscarem alternativas
na geração de energia elétrica para a manutenção do
maquinário. Uma alternativa encontrada por uma
fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica,
aproveitando a correnteza de um rio que passa
próximo às suas instalações. Observando a figura e
admitindo que as linhas retas , e sejam paralelas,
pode-se afirmar que a barreira mede
a)
b)
CASD Vestibulares
c)
d)
14. (FUVEST - 04) Um triângulo
tem lados de
comprimentos
,
e
. Sejam
e
os pontos de
tais que
é a bissetriz relativa ao
ângulo ̂ e
é a altura relativa ao lado
.
Determinar o comprimento de
.
e)
Geometria
3
7. A figura do problema é a seguinte:
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1.
Pelo Teorema de Tales, tem-se:
2.
Pelo Teorema de Tales, tem-se:
(
)
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
:
3.
Pelo Teorema de Tales, tem-se:
Como
̂
é bissetriz de
(
4. Sejam
e
os comprimentos das frentes dos
quarteirões I e II para a rua B, respectivamente. Então:
Pelo Teorema de Tales, tem-se:
8. Seja
. Como
̂ :
é bissetriz de
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
(
)
(
5. O túnel 1 demorará
dias para ser construído,
então o seu comprimento é
.
Logo
Lembre-se que
9. Seja
Pelo Teorema de Tales, tem-se:
Logo, o comprimento do túnel
é
assim a sua construção demorará
,
, pois
. Como
)
(
)
:
)
é um comprimento
̂ :
é bissetriz de
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
:
dias
(
)
(
)
6. Seja o comprimento da barreira. Pelo Teorema de
Tales, tem-se:
(
)
Lembre-se que
4
Geometria
, pois
é um comprimento.
CASD Vestibulares
10. Como
̂ :
é bissetriz de
12.
. Como
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
(
)
(
)
(
é bissetriz interna do triângulo
:
( )
:
)
Como
é bissetriz externa do triângulo
:
( )
(
)
√(
)
(
)
De ( ) e ( ), tem-se:
√
Lembre-se que
, pois
(
é um comprimento
)
11. A figura do problema é a seguinte:
13.
Como
é bissetriz interna do triângulo
:
(
)
é bissetriz interna do triângulo
Pelo Teorema de Tales, tem-se:
é bissetriz do ângulo
̂
é bissetriz do ângulo
̂
é bissetriz interna do triângulo
Aplicando Pitágoras no triângulo
:
√
(
√ )
Assim, o terreno é um trapézio de altura
,
(
base maior
e base menor
√ )
. Logo a sua área é
(
CASD Vestibulares
)
(
√
)
Geometria
5
14. A figura do problema é a seguinte:
GABARITO
1. A
2. C
3. E
4. A
5. C
Como
é bissetriz de
6. B
̂ :
7. A
(
)
8. B
9. C
10. C
Sejam
e
11. C
. Então:
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
:
12. D
13. C
( )
14. O comprimento de
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo
(
)
é
:
( )
De ( ) e ( ), tem-se:
(
(
6
)
)
Geometria
CASD Vestibulares