[GEOMETRIA PLANA β CHROMOS] MAT RESOLVE Na figura, em que a // b // c // d, temos que AD + AG + HK + KN = 180 cm. ππ ππ π¨π¬ π¨π© π π±π² π π¨π© = ; π π²π³ π π¨π© = ; = ; π¨π©, π©πͺ π πͺπ« são proporcionais a 2,3 e 4 respectivamente. O valor de CD é: a) 20 b) 20/7 c) 200/17 d) 80/7 Esse exercício se decompõe em três partes: 1ª: Deixar AE, JK, KL, BC e CD em função de AB; 2ª: Aplicar o Teorema de Tales para encontrar os valores dos segmentos: AD, AG, HK, e KN em função de AB; 3ª: Jogar na igualdade βAD + AG + HK + KN = 180 cmβ os valores encontrados, achando o valor de AB e, posteriormente, determinar o valor de CD. Primeira Parte: Vamos chamar o valor de AB de x, só para facilitar a escrita (AB = x). Do enunciado temos que: π΄πΈ 3 π΄πΈ 3 = β = π΄π΅ 2 π₯ 2 β 2 β π΄πΈ = 3 β π₯ β π΄πΈ = π½πΎ 9 π½πΎ 9 = β = π΄π΅ 5 π₯ 5 β 5 β π½πΎ = 9 β π₯ β π½πΎ = πΎπΏ 27 πΎπΏ 27 = β = π΄π΅ 10 π₯ 10 3π₯ 2 9π₯ 5 β 10 β πΎπΏ = 27 β π₯ β πΎπΏ = 27π₯ 10 Da proporção de AB, BC e CD temos que: π΄π΅ π΅πΆ πΆπ· = = 2 3 4 βΉ π΄π΅ π΅πΆ π΄π΅ πΆπ· = π = 2 3 2 4 π΄π΅ π΅πΆ π₯ π΅πΆ 3π₯ = β = β 3π₯ = 2π΅πΆ β π΅πΆ = 2 3 2 3 2 π΄π΅ πΆπ· π₯ πΆπ· 4π₯ = β = β 4π₯ = 2πΆπ· β πΆπ· = β 2 4 2 4 2 πΆπ· = 2π₯ www.matresolve.blogspot.com [GEOMETRIA PLANA β CHROMOS] MAT RESOLVE Segunda Parte: Aplicar o Teorema de Tales da primeira reta com as outras três retas para encontrar os valores de AD, AG, HK e KN: Para achar o valor de AD não é preciso do Teorema, vamos simplesmente somar AB + BC + CD = AD: π΄π· = π΄π΅ + π΅πΆ + πΆπ· = π₯ + 3π₯ 2π₯ + 3π₯ + 4π₯ + 2π₯ β π΄π· = β 2 2 π΄π· = 9π₯ 2 Aplicando o Teorema para as restas que contém AD e AG, encontraremos AG: π΄π΅ π΄πΈ = π΄π· π΄πΊ β 3π₯ π₯ 2 9π₯ = π΄πΊ 2 β π₯ β π΄πΊ = 9π₯ 3π₯ 27π₯ 2 27π₯ 2 27π₯ β β π₯ β π΄πΊ = β π΄πΊ = β π΄πΊ = 2 2 4 4π₯ 4 Aplicando o Teorema para as restas que contém AD e HK, encontraremos HK: 9π₯ π΄π΅ π½πΎ π₯ 9π₯ 9π₯ 81π₯ 2 81π₯ 2 81π₯ = β 9π₯ = 5 β π₯ β π»πΎ = β β π₯ β π»πΎ = β π»πΎ = β π»πΎ = π΄π· π»πΎ π»πΎ 2 5 10 10π₯ 10 2 Aplicando o Teorema para as restas que contém AD e KN, encontraremos KN: 27π₯ π΄π΅ πΎπΏ π₯ 9π₯ 27π₯ 243π₯ 2 243π₯ 2 243π₯ = β 9π₯ = 10 β π₯ β πΎπ = β β π₯ β πΎπ = β πΎπ = β πΎπ = π΄π· πΎπ πΎπ 2 10 20 20π₯ 20 2 Terceira Parte: Utilizar a igualdade βAD + AG + HK + KN = 180 cmβ para achar o valor de AB: 9π₯ 27π₯ 81π₯ 243π₯ 90π₯ + 135π₯ + 162π₯ + 243π₯ + + + = 180 β = 180 2 4 10 20 20 630π₯ 3600 40 40 β = 180 β 630π₯ = 20.180 β π₯ = β π₯= β π΄π΅ = ππ 20 630 7 7 π΄π· + π΄πΊ + π»πΎ + πΎπ = 180 β Finalmente, podemos encontrar o valor de CD: πΆπ· = 2π΄π΅ β πΆπ· = 2 β 40 β 7 πͺπ« = ππ ππ π Logo, a resposta é Letra D. www.matresolve.blogspot.com
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