ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA
Ponto que divide um segmento AB na razão r:
Consideremos os pontos A=(x1,y1); A=(x2,y2) e C=(x,y)
AC
A razão que um ponto C divide um segmento AB é dada por r = 
CB
y2
AC
(x −x1)
Pelo teorema de tales teremos que:  =  = r
CB
(x2 −x)
ou seja: (x −x1)= r(x2 −x) ⇒ x −x1 = rx2 − rx ⇒
B
(y2 −y)
y
C
⇒
(y −y1)
A
y1
⇒ x + rx = x1 + rx2 ⇒ x(1+r) = x1 + rx2 ⇒
x1 + rx2
x = 
1+r
AC
(y −y1)
Da mesma forma teremos:  =  = r
x1
x
CB
(y2 −y)
ou seja: (y −y1)= r(y2 −y) ⇒ y −y1 = ry2 − ry ⇒
x2
⇒ y + ry = y1 + ry2 ⇒ y(1+r) = y1 + ry2 ⇒
(x − x1) (x2 −x)
⇒
y1 + ry2
y = 
1+r
Assim o Ponto C=(x,y) que divide AB na razão r terá coordenadas:
C=
x1 + rx2
y1 + ry2
 , 
1+r
1+r
Condição de Alinhamento de 3 pontos, A, B e C:
Considerando os pontos A, B e C e a figura da demonstração acima, ainda pelo teorema de Tales
teremos a relação abaixo que reflete uma condição analítica de alinhamento destes pontos:
(x −x1)
(x2 −x)
Consideremos agora a seguinte relação do determinante abaixo:
 = 
(y −y1)
(y2 −y)
x1
y1
1
x2
y2
1
x
y
1
x1
≈
x1
y1
1
x2
y2
1
x
y
1
= 0.
Encontraremos a matriz equivalente a esta fazendo;
Linha 1 = Linha 1; Linha 2 = Linha 2 – linha 3 e
Linha 3 = Linha 3 – Linha 1. Então teremos:
y1
1
x2 − x
y2 − y
0
Calculando o determinante desta matriz teremos:
x − x1
y − y1
0
(x2 − x)•( y − y1) – (x − x1) •(y2 − y) =0 que é equivalente a:
(x −x1)
(x2 −x)
(y −y1)
(y2 −y)
⇒  =  que é a relação que reflete a condição analítica de alinhamento dos pontos
x1
Assim sendo podemos assumir que:
y1
1
x2
y2
1
x
y
1
=0
é a condição de Alinhamento de 3 pontos, A, B e C.
Distância da Origem a uma reta:
y
a
r: ax + by + c = 0 . Coeficiente angular de r: mr =− 
b
t
r
Considerando a reta t
Coeficiente angular de t: mt = 
a
Da solução do sistema das equações das retas r e t, obteremos o ponto P
r: ax + by + c = 0
Multiplicando a equação da reta r por b
t: bx – ay + 0 = 0
e a equação da reta t por (-a) teremos o sistema:
P
y
•Q
O
x
b
⊥r.
2
abx + b y = − bc
x
Donde obtemos a solução:
2
− abx + a y = 0
x=
-ac

2
a +b
2
- bc
e y =  , isto é,
2
a +b
2
d=
√
2
(x-0) + (y-0)
a c
=
√
2
a +b
2 2
2
-ac

P=
2
2 2
A distância da Origem à reta r será :
2
a +b
2 2
2
e a distância entre P e a Origem será:
2
2
b c
2
2
2
c (a + b )
 + 
(a + b )
2
- bc
, 
2 2
=
(a + b )
√

2
2 2
c
=
(a + b )
√
 . Assim:
2
2
(a + b )
c
d = 
√ a2 + b 2
Distância de um ponto à uma reta:
Considerando P = (x0,y0) na Origem e um ponto Q fora da origem ( ver figura no item anterior), as coordenadas do
ponto Q serão: Q = (x0+x , y0+y), assim a equação da reta que contem este ponto será:
a(x0+x) + b(y0+y) + c , ou seja, ax0+ax+ by0+by + c ⇒ ax + by + (ax0 + by0 + c) e a distância de Q a r, será:
c
ax0 + by0 + c
d = 
√ a2 + b2
Que é a formula da distância de um ponto qualquer (x0,y0) à reta r: ax + by + c=0.
Área de um Triângulo ABC:
Consideremos os pontos A=(x1,y1); A=(x2,y2) e C=(x3,y3) no triângulo abaixo:
A
A área do Triângulo é dada por: A=½ (BC)•h (1)
y1
O comprimento da base BC é:
BC=√ (x3 − x2 )2 + (y3 − y2)2 (2)
A reta BC: ax + by + c =0
x
y
1
x2 y2 1 =0 ⇒ x y2 + y x3 + x2 y3 − x3 y2− x y3 − y x2 ⇒
⇒ (y2 − y3)•x + (x3 − x2) •y + x2 y3 − x3 y2
x3 y3 1
h
y3
y2
C
B
x2
x1
x3
a
b
c
h é a distância do ponto A à reta BC:
x
y
1
x2 y2 1
x3 y3 1
h = 
√ (y2 − y3 )
2
(3)
2
+ (x3 − x2)
Substituindo (2) e (3) em (1), teremos:
x
x2
x3
y
y2
y3
1
1
1
A=½ (BC)•h = ½√ (x3 − x2 )2 + (y3 − y2)2 • 
√ (y2 − y3 )
2
A=½ •
x
x2
x3
y
y2
y3
⇒
2
+ (x3 − x2)
1
1
1
Que é a formula da área do triângulo A,B, C.
Ângulo entre duas retas r1 e r2: Os coeficientes angulares das retas serão: m1= tg
Observamos que o ângulo
R2
r1
Assim tg
ϕ
ϕ2
m1 − m2
Portanto:
e m2 =tg
ϕ2
ϕ = ϕ1 − ϕ2, portanto tg ϕ = tg (ϕ1 − ϕ2)
tg ϕ1 − tg ϕ2
m1 − m2
ϕ =  = 
1 + (tg ϕ1 • tg ϕ2)
1 + m1 • m2
ϕ1
ϕ1
ϕ = arc tg 
1 + m1 • m2
Equação Segmentaria da reta: A Equação segmentaria da reta é obtida pelos pontos que interceptam os eixos
cartesianos. Assim considerando os pontos P=(p,0) e Q=(0, q) onde a reta r intercepta respectivamente os eixos
das Abscissas(x) e das Ordenadas(y).
Considerando que a equação da reta r é obtida através da condição
de alinhamento de três pontos e considerando um ponto A=(x,y)
genérico desta reta teremos que :
Y
q
p
x
r
x
y
1
p
0
1
0
q
1
=0 ⇒ p•q−x•q−y•p=0⇒x•q+y•p=p•q
Dividindo cada um dos membros da equação por (p • q)
Teremos:
x•q
y•p
p•q
 +  = 
p•q
p•q
p•q
ou seja:
x
y
 +  = 1
p
q