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Questão 8
Seja dado o sistema linear:
– x + 2 x = 2
2
 1
 2 x1 – x 2 = 2

 x1 + x 2 = 2
a) Mostre graficamente que esse sistema não tem solução. Justifique.
b) Para determinar uma solução aproximada de um sistema linear Ax = b impossível, utiliza-se o método dos
quadrados mínimos, que consiste em resolver o sistema ATAx = ATb. Usando esse método, encontre uma solução aproximada para o sistema dado acima. Lembre-se de que as linhas de MT (a transposta de uma
matriz M) são iguais às colunas de M.
Resolução
a) Na figura, temos:
• a reta r, dada pela equação – x1 + 2x2 = 2.
Essa reta passa pelos pontos (0, 1) e (– 2, 0).
• a reta s, dada pela equação 2x1 – x2 = 2.
Essa reta passa pelos pontos (0, – 2) e (1, 0).
• a reta t, dada pela equação x1 + x2 = 2.
Essa reta passa pelos pontos (0, 2) e (2, 0).
x2
s
2
r
1
–2 –1
0 1 2
–1
–2
x1
t
Podemos concluir, pela figura, que r ∩ s ∩ t = ∅, isto é, não existe ponto (x1, x2) que pertence às três retas.
Resposta: Como cada equação do sistema corresponde a uma reta e como não existe um ponto comum às
três retas, podemos afirmar que não existe um par (x1, x2) que seja solução comum às três equações.
b) O sistema dado pode ser representado pela equação matricial:
 –1 2 
2
x 


 
 2 – 1 ⋅  1  = 2


 x2 
 
 1 1
2
123
A
123 123
x
b
Multiplicando ambos os membros por AT, temos:
 –1 2 
2
 – 1 2 1 
  x1   – 1 2 1  

  2 – 1   = 
 2
 2 – 1 1 
  x2   2 – 1 1  
 1 1
2
 6 – 3  x   4

  1  =  
 – 3 6   x2   4
 6x – 3x   4
1
2   

= 
 – 3x1 + 6x2   4
 6x – 3x = 4
1
2

 – 3x1 + 6x2 = 4
Subtraindo membro a membro, temos
9x1 – 9x2 = 0, ou seja x1 = x2.
De 6x1 – 3x2 = 4 e x1 = x2, temos:
1
6x2 – 3x2 = 4
3x2 = 4 ∴ x2 =
4
3
4 4
Logo, ( x1, x2 ) =  ,  .
 3 3
 4 4 
Resposta:  , 
 3 3 
2