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Álgebra Linear- 1 Semestre 2014/15
Cursos: MEBiol; MEAmbi
Lista 2 (Capítulo 2)
Determinantes
1. Determine o sinal dos seguintes produtos elementares da matriz A = [aij ]i,j=1,··· ,5
(a) a13 a25 a31 a42 a54
(b) a12 a24 a31 a45 a53
2. Use as propriedades do determinante relativas
linhas de uma matriz, para verificar as igualdades:
0 0 0
0 0 0 d 0 0 0
0 0 c e (a) = abcd
(b) 0 0 c
0 b f g 0 b f
a h i j a h i
(c) a14 a23 a32 a45 a51 .
a operações elementares sobre as
0 k d l e m = abcdk
g p j u 

a b c
3. Seja A =  d e f  tal que det(A) = −7. Calcule
g h i

a) det(3A).
b) det(2A−1 ).
c) det((2A)−1 ).

a g d
d) det  b h e  .
c i f
4. Para cada uma das matrizes A seguintes determine todos
os quais a matriz (A − λI) não é invertível.

2
2 3
0 1
(a) A =
(b) A =
(c) A = 0
−1 2
−1 0
0
os valores λ ∈ C para

3 5
3 1.
0 4
5. Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que para x = 0 e x = 2 é
satisfeita a igualdade
x x2 2 1 2 1 = 0.
0 0 −3 Álgebra Linear
2
6. Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que
b+c c+a b+a a
= 0.
b
c
1
1
1 7. Usando a propriedade de linearidade do determinante, escreva
a1 + b 1 c 1 + d 1 a2 + b 2 c 2 + d 2 como uma soma de quatro determinantes, em cujas entradas não figurem adições.
8. Diga, justificando, se é ou não verdadeira a igualdade:
det(A + B) = det(A) + det(B).
9. Sem calcular
a1 b 1
a) a2 b2
a3 b 3
a1 + b 1
b) a2 + b2
a3 + b 3
os determinantes, mostre as igualdades seguintes:
a1 b 1 c 1 a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2 = a2 b2 c2 a3 b 3 c 3 a3 + b 3 + c 3 a1 b 1 c 1 a1 − b1 c1 a2 − b2 c2 = −2 a2 b2 c2 a3 b 3 c 3 a3 − b 3 c 3 10. Para que valor(es) de k a matriz A deixa de ser invertível?


1 2 4
k − 3 −2


a) A = 3 1 6
b) A =
−2 k − 2
k 3 2
11. Considere a matriz

0
−1
M =
0
0
1
0
1
0
0
1
0
2

0
0

1
0
(a) Calcule o determinante de M .
(b) Calcule det(2M ), det(2M −1 ) e det((2M )−1 ).
(c) Diga qual é a entrada (3, 4) da matriz M −1 .
12. Verifique que são invertíveis as

1 0

A = 1 −1
3 0
matrizes



2
2 1 0
1
B = 3 0 1 .
1
4 1 0
Calcule:
Editado em 7 de Outubro de 2014 por Esmeralda Sousa Dias.
Álgebra Linear
(a)
(b)
(c)
(d)
3
det(A3 (2B)−1 ).
det(AT BA).
det(A + 2B).
det ((tr B)A).
13. Para a ∈ R, verifique a igualdade seguinte
1
1
1
1
a a + 1
2
2 2
a a + 1 a + 2
=a .
3
a a + 1 a + 2 a + 3 14. Use o desenvolvimento de Laplace para calcular os determinantes das matrizes
seguintes






2
5 1 0
5 1 0 2
5
0
2
 0
 3 2 1 −1 
3 2 1 
,


A=
B
=
C = 3 1 −1 .
 1 −1 2 0 
 0 2 0 0 ,
0 2 1
−1 0 3 2
0 3 2 1
Além disso, calcule a inversa de A e de C usando a fórmula da inversa em termos da
matriz dos cofactores.
15. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando a regra de Cramer.
(a)
x1 − 2x2 = 4
2x1 − x2 = −2
16. Resolva as equações:
1 x 1 (a) 0 −1 1 = 0
1 0 2 
1 2
0 3
17. Seja cof (A) = 
0 0
0 0
2
1
3
0

 x1 − 3x2 + x3 = 4
2x1 − x2
= −2
(b)

4x1
− 3x3 = −2
x x x x x 1 x x = 0.
(b) x
x
1
x
x x x 1 
1
2
 a matriz dos cofactores de A.
1
2
(a) Use a fórmula A (cof (A))T = det(A)I para calcular det(A).
(b) Calcule a entrada (3,2) da inversa de A.
1 2
18. Seja cof (A) =
a matriz dos cofactores de A.
−1 3
Editado em 7 de Outubro de 2014 por Esmeralda Sousa Dias.
Álgebra Linear
4
(a) Use a fórmula A (cof (A))T = det(A)I para calcular det(A).
(b) Determine a matriz inversa de A
19. O valor do determinante da matriz

3
 0
A=
 0
1

0 0 0
α 1 0 

α −1 0 
0 0 2
é:
A) −12α
B) 0
C) 12α
D) 2α.
20. Considere A e B duas matrizes quadradas de ordem 3 e a seguinte lista de
afirmações.
I) det(AB) = det(BA).
II) Se det A = 0 e det B = 0 então det(A + B) = 0.
III) det(2AB) = 8 det (AB).
A lista completa de afirmações correctas é:
A) I e II.
B) I e III.
21. Considere a matriz

1
0
A=
0
2
C) II e III.
1
0
0
1
3
b
d
2
D) I, II e III.

4
a
.
c
1
a b = −3. Indique a resposta correcta
e suponha que c d
A) det(A) = −3
B) det(A) = −6
C) det(A) = −9
Editado em 7 de Outubro de 2014 por Esmeralda Sousa Dias.
D) det(A) = 12.