INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DOS SISTEMAS LINEARES UTILIZANDO O
SOFTWARE WINPLOT
Susana Pereira da Cunha de Matos, Vanessa da Silva Pires1
RESUMO
Este trabalho apresenta uma interpretação gráfica dos sistemas lineares com o auxílio do
software matemático Winplot. O trabalho foi desenvolvido por acadêmicos do curso de
Licenciatura em Matemática do IFC- Câmpus Sombrio-SC, na disciplina de Educação
Matemática e Tecnologias. A resolução dos sistemas lineares geralmente é ensinada nas
escolas de forma mecânica, onde os alunos encontram os valores que são pedidos e
acabam não percebendo o que realmente significa um sistema de equações lineares. A
utilização dos softwares nas aulas de Matemática vem se tornando cada vez mais
comum no cotidiano escolar, e eles agregam um valor muito positivo na visualização
dos conceitos matemáticos que muitas vezes são abstratos e difíceis de compreender.
Palavras-chave: Software. Sistemas Lineares. Tecnologia.
INTRODUÇÃO
O presente artigo analisa os resultados de uma oficina desenvolvida na disciplina
de Educação Matemática e Tecnologia, do curso de Licenciatura em Matemática do
IFC-Campus Avançado Sombrio, no primeiro semestre de 2014. Onde foi abordado os
sistemas de equações lineares com a exploração do software Winplot.
Este software foi criado em 1985, pelo professor Richard Parris, da Philips
Exeter Academy, em New Hampshire. No inicio foi chamado de Plot, e mais tarde com
o lançamento do ambiente operacional Windows® 3.1 passou a ser chamado de
Winplot. Ele é totalmente gratuito, e tem como maior utilidade representar funções com
uma ou duas variáveis. Além de servir para o cálculo diferencial, visualização dos
sólidos de revolução e a representação de soluções de sistemas de equações, em duas e
três dimensões.
1
Acadêmicas do Curso de Licenciatura em Matemática do IFC- Câmpus Sombrio, 7ª fase.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Na Matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações
lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto
especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus
coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim
acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação — que consiste em anular
coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse procedimento
encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data
provavelmente do século 111 a.C.
Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de
determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz.
Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção
através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês
(para o caso de duas equações apenas).
O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de
Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição
de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do
determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este
determinante deve ser nulo).
Os sistemas de equações lineares podem ser utilizados em diversas áreas como
na engenharia, física, química, medicina, tecnologias, entre outras. Também podem
ocorrer situações no cotidiano onde é necessária a utilização e resolução de sistemas
lineares.
Além do processo algébrico de resolução podemos utilizar a representação
gráfica para visualizar a solução, no entanto, para isso precisamos identificar cada eixo
do sistema cartesiano com os valores.
O conjunto solução de um sistema linear pode ser interpretado geometricamente
como sendo o ponto comum onde às equações das retas se encontram no plano ou no
espaço.
Para melhor visualizar as soluções dos sistemas lineares podemos contar com o
auxílio de softwares matemáticos, as tecnologias surgem como uma tendência em
Educação Matemática, e podem ser de grande valia nas aulas.
É preciso que a escola e os professores se modernizem e se tornem atrativos,
para receber alunos que estão acostumados a lidar com as tecnologias no seu cotidiano.
O uso das tecnologias não dispensa o professor da sua função, pois apesar de os
softwares facilitarem a visualização dos processos matemáticos é indispensável que o
professor esteja preparado e junto dos alunos para fazer uma ponte entre o que está
sendo feito, é preciso que seja feita uma interpretação, não apenas ver, mas interpretar o
que está sendo analisado.
De acordo com os PCNs (1998, pg., 44),
A utilização das tecnologias permite que os alunos construam uma
visão mais completa da verdadeira natureza da atividade matemática e
desenvolvam atitudes positivas diante de seu estudo.
DESENVOLVIMENTO
Este trabalho foi desenvolvido, com base em uma atividade solicitada pela
professora da disciplina de Educação Matemática e Tecnologia, do curso de
Licenciatura em Matemática do IFC-Campus Avançado Sombrio, no primeiro semestre
de 2014.
Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações
lineares com n incógnitas.
Exemplos:
a) {
Sistema linear de duas equações e duas incógnitas, onde x e y são incógnitas e 7
e 1 são termos independentes.
b) {
Sistema linear de três equações e três incógnitas, onde x, y e z são as incógnitas
e -7, 3 e 12 são os termos independentes.
Solução de um sistema linear:
Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao
mesmo tempo todas as equações do sistema linear.
Exemplo:
Para o sistema {
, os valores que satisfazem as duas equações são x=2 e
y=1.
Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2,1).
Sistema linear homogêneo
Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos os
coeficientes independentes nulos.
Exemplo:
{
Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0,0,...,0), chamada de
solução trivial. Um sistema linear homogêneo pode ter outras soluções além da trivial.
Classificação de um sistema linear
Os sistemas lineares são classificados quanto ao numero de soluções da seguinte forma:
Possível: Quando
admite solução.
Sistema linear
Impossível:
quando não
admite solução.
Determinado:
admite uma
única solução.
Indeterminado:
admite infinitas
soluções.
Interpretação geométrica de um sistema linear:
I) {
As retas que representam as equações deste sistema são concorrentes, ou seja,
tem um único ponto comum, que é (3,2). Esse ponto é a única solução do sistema.
II) {
As retas que representam as equações deste sistema são coincidentes, ou seja,
tem infinitos pontos comuns: todos os pontos de uma das retas pertencem também à
outra reta. Esses infinitos pontos são as soluções do sistema.
III) {
As retas que representam as equações deste sistema são paralelas distintas, ou
seja, não tem ponto em comum e são coplanares. Logo o sistema não tem solução.
Outros exemplos:
a) {
, sistema possível e determinado S = (1,2,3)
Os planos que representam as equações do sistema linear são concorrentes, ou
seja, se encontram em um único ponto. Que é o ponto (1,2,3), o sistema tem uma única
solução, logo é um sistema possível e determinado.
b) {
, sistema impossível.
Os planos que representam as equações deste sistema linear são paralelos
distintos, ou seja, não possuem nenhum ponto em comum, logo podemos classificar o
sistema como sendo um sistema linear impossível, pois não admite solução comum.
CONCLUSÃO
A realização deste trabalho proporcionou aos acadêmicos um importante
momento de aprendizagem, pois como futuros professores de Matemática, é de extrema
importância que se tenham conhecimento não somente dos conteúdos matemáticos, mas
também das diferentes metodologias que se pode utilizar nas aulas. As Tecnologias
aparecem como umas das principais tendências em educação já que fazem parte do
cotidiano dos alunos. Porem é necessário que os docentes estejam preparados e
conheçam o software que irão utilizar, para que possam instruir corretamente os alunos.
REFERENCIAS
BRASIL, Ministério da Educação – Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.
DOMINGUES, Hygino H. Origem dos Sistemas Lineares e Determinantes.
Disponível em:<http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas> . Acessado em: 01
de junho de 2014.