TAREFAS

Apostila
o Produto Escalar: Pag 121 – 126
o Produto Vetorial: Pág 131 – 135

15 exercícios da disciplina on-line

15 exercícios de um livro de GA

Exercícios das anotações de aula.
Ou
Ou
Ou
PRODUTO VETORIAL – MÓDULO E ÂNGULO
O módulo do vetor resultante do produto vetorial também pode ser dado por:
|𝑢
⃗ ∧ 𝑣 | = |𝑢
⃗ |. |𝑣|. sen 𝜃
Exemplo: Sendo |𝑢
⃗ | = 5, |𝑣| = 2 e 𝜃 = 50º, determine |𝑢
⃗ ∧ 𝑣|
|𝑢
⃗ ∧ 𝑣 | = |𝑢
⃗ |. |𝑣|. 𝑠𝑒𝑛 𝜃
|𝑢
⃗ ∧ 𝑣| = 5.2. 𝑠𝑒𝑛 50º
|𝑢
⃗ ∧ 𝑣 | = 10.0,77
|𝑢
⃗ ∧ 𝑣| = 7,7
INTERPRETAÇÃO GEOMÉT RICA DO MÓDULO DO PRODU TO VETORIAL
Dados dois vetores ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 e ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 , o módulo do produto vetorial é igual à área do paralelogramo subentendido
pelos dois vetores. Ou seja:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ |
𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = |𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = (3, 0, 0) e 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 2, 0), determinar a área do paralelogramo definido
Exemplo 1: Dados os vetores 𝐴𝐵
pelos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 e ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 .
Para achar o módulo de um produto vetorial temos duas formas: uma calculando o produto vetorial e
aplicando a fórmula do módulo (√𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) ou aplicar a fórmula dada no começo desta aula. Como não
⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
temos o ângulo, precisamos calcular o produto vetorial entre 𝐴𝐵
𝑖 𝑗
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = (3 0
𝐴𝐵
0 2
𝑘⃗
0) = 0𝑖 + 0𝑗 + 6𝑘⃗ = (0,0,6)
0
Então, encontramos o módulo:
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √02 + 02 + 62 = 6
|𝐴𝐵
Como a área do paralelogramo é igual ao módulo do vetor resultante, temos:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋀ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = |𝐴𝐵
𝐴𝐶 |
𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = 6
⃗⃗⃗⃗⃗ = (7, −2, 0) e 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = (−5, 2, 1).
Exemplo 2: Considere o triângulo ABC definido pelos vetores 𝐴𝐵
Determine:
a) A área do triângulo ABC.
b) A altura hB relativa ao vértice B do triângulo ABC.
a) Para encontrar a área do triângulo ABC, seguimos exatamente os mesmos passos para se calcular a
área do paralelogramo. Começamos calculando o produto vetorial:
𝑖
𝑗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = ( 7 −2
−5 2
𝑘⃗
0) = −2𝑖 − 7𝑗 + 4𝑘⃗ = (−2, −7,4)
1
Achamos o módulo do vetor:
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−2)2 + (−7)2 + 42 = √69
|𝐴𝐵
No entanto, a área do triângulo é metade da área do paralelogramo, assim:
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗
|𝐴𝐵
𝐴𝐶 | √69
=
2
2
b) Lembrando que a área do triângulo é (base x altura)/2 e que “h B relativa ao vértice B” significa que é a
reta que tem uma extremidade no vértice B e a outra extremidade no meio da reta AC, temos que a
altura do triângulo será o próprio hB enquanto a base será o o segmento AC.
Calculando primeiro o tamanho da base:
⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(−5)2 + 22 + 12 = √30
|𝐴𝐶
E aplicando na fórmula da área do triângulo:
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 =
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
ℎ𝐵 =
𝑏𝑎𝑠𝑒. 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
⃗⃗⃗⃗⃗ |. ℎ𝐵
|𝐴𝐶
=
2
2𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
69
23
=√ =√
⃗⃗⃗⃗⃗ |
30
10
|𝐴𝐶
EXERCÍCIOS
1. Calcule o módulo do produto vetorial |𝑢
⃗ ∧ 𝑣|, sabendo que:
a)
b)
c)
d)
|𝑢
⃗ | = 20, |𝑣| = 5 e 𝜃 = 30º
𝑢
⃗ ∧ 𝑣 = 3𝑖 − 3𝑗 + 1𝑘⃗
𝑢
⃗ = (1,1,2) e 𝑣 = (5,0, −2)
𝑢
⃗ = (4,0, −3) e |𝑣| = 10 e 𝜃 = 45º
2. Determine a área do paralelogramo definido pelos vetores:
a) ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (4, 1, −1) e ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (5, −2, 0)
b) 𝑟 = (2, 1, −1) e 𝑡 = (5, −1, 3)
3. Considere o triângulo ABC definido pelos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (2, −2, 0) e ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = (−6, −3, 2). Determine:
a) A área do triângulo ABC.
b) A altura hB relativa ao vértice B do triângulo ABC.
c) A altura hC relativa ao vértice C do triângulo ABC.
4. A segunda Lei de Kepler estabelece que o vetor posição 𝑟 de um planeta, cuja origem do vetor se
encontra na estrela central, varre áreas iguais em tempos iguais. Em uma primeira aproximação, para
ângulos inferiores a 90º, podemos dizer que a área varrida entre dois tempos distintos é igual à área
do triângulo subentendido pelo vetor 𝑟1 dado no tempo 𝑡1 e pelo vetor 𝑟2 dado no tempo 𝑡2 . Sabendo
que em um intervalo de tempo ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 um determinado planeta percorre uma área igual a 35 ua2,
determine:
a) O valor da incógnita c sabendo que 𝑟1 = (12, 5, 0) 𝑢𝑎 e 𝑟2 = (10, 𝑐, 0) 𝑢𝑎.
b) O ângulo entre os dois vetores.