Geometria Espacial
Esfera
A esfera é um sólido de revolução gerado
pela rotação de um semicírculo em torno de
um eixo que contém o diâmetro.
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de
pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou
igual ao raio R.
Elementos da
esfera
Polos: interseções da superfície com o eixo
Equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao
eixo, pelo centro da superfície.
Paralelo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao
eixo. É “ paralela” ao equador.
Meridiano: é uma secção
passa pelo eixo.
circunferência) cujo plano
Toda secção plana de
uma esfera é um
círculo.
Se a secção passa pelo
centro da esfera, temos
como secção um círculo
máximo da esfera.
Superfície Esférica
Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r
ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a
distância OP seja igual ao raio.
A superfície de uma esfera é também a superfície
de revolução gerada pela rotação de uma
semicircunferência com extremidades no raio.
Área da superfície esférica
A superfície esférica tem uma massa igual à massa de
quatro círculos máximos.
admitindo que a espessura da superfície esférica é a
mesma dos círculos máximos.
Desta forma, então:
Ase  4.r
2
Volume da esfera
Vamos imaginar uma esfera como a reunião
de infinitas pirâmides
A altura de cada uma das pirâmides é o raio
r da esfera.
Desta forma, teremos que o volume da
esfera é igual ao volume destas n pirâmides.
O que nos permite concluir que o volume da
esfera pode ser obtido por:
4
3
V  ..r
3
Volume da esfera – Princípio de Cavalieri
Sólidos de mesma altura, cuja área de secção são iguais,
possuem volumes iguais:
Vesfera  Vsólido amarelo  Vesfera  Vcilindro  2 Vcone
Volume da esfera – Princípio de Cavalieri
Vesfera
4 3
 R
3
H = 2R
O sólido X é um cilindro equilátero (H = 2R) de onde foram
retirados dois cones isósceles (altura = raio da base).
O volume do sólido X é igual ao volume do cilindro “menos” os
volumes dos dois cones:
VX  Vcilindro  2 Vcone
1 2
2 3 4 3
3
 R  2 R  2  R  R  2R  R  R
3
3
3
2
Exemplos:
1. Determinar a área total e o volume de
uma esfera de raio 6cm.
2. É dada uma esfera de raio 10cm. Um
plano  secciona essa esfera a uma
distância de 6 cm do centro da mesma.
Calcule o raio da secção.
Secção da esfera
Toda secção plana de uma esfera é um círculo.
Qualquer secção da
esfera é um círculo. O
que não acontece com
os demais sólidos (as
secções variam de
acordo com a posição
dos planos de corte).
Secção da esfera
R d  r
2
2
2
OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera.
Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R
determina como seção plana um círculo de raio R.
Secção da esfera
Se o plano secante passa pelo
centro da esfera temos como secção
um círculo máximo da esfera.
Secção da esfera
Quando
contiver
caso, o
será
o plano que secciona a esfera
um diâmetro, teremos d = 0. Nesse
círculo determinado terá raio R e
denominado
círculo
máximo.
Exemplo
(FUVEST/SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por
um plano situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície
esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa
circunferência
em
cm
é
de:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
12
plano
=13
r
Após devida interpretação, observase que o triângulo destacado é um
triângulo retângulo com hipotenusa
13 e catetos 12 e r. Daí, utilizando o
Teorema de Pitágoras:
13²= 12² + r²
169 = 144 + r²
169 – 144 = r²= 25
r = √25
r = 5
Zona Esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
Zona esférica é a superfície de revolução cuja geratriz é
um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:
 passa pelo centro da circunferência que contém o arco;
não passa por nenhum extremo do arco, nem intercepta
o arco em outro ponto;
 é coplanar com o arco
Calota Esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
É a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de
circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:
passa pelo centro da circunferência que contém o arco;
 passa por um extremo do arco e não o intercepta em
outro ponto;
é coplanar com o arco
Área da Calota Esférica e da Zona
Esférica
Acalota  2. .R.hcalota
Azona  2. .R.hzona
Fuso Esférico
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica
que se obtém ao girar uma semi-circunferência
máxima de ângulo  em torno de seu eixo.
0 << 2 (em rad)
É
a
interseção
da
superfície de uma esfera
com um diedro (ou setor
diedral),
cuja
aresta
contém
um
diâmetro
dessa superfície esférica.
O que caracteriza o fuso é
o ângulo medido na
secção equatorial.
A área do fuso esférico pode ser obtida
por uma regra de três simples:
Ângulo
Área
0
2

360

4
.

.
r

  em graus  0

 A fuso


2 
  em radianos 


 4..r 2
 A fuso
Área do fuso esférico
rad  2.R 2 .
.R 2 .
graus 
900
Cunha Esférica
A cunha esférica é uma parte da esfera que se
obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de
ângulo  em torno de seu eixo.
0 << 2 (em rad)
É
a
interseção
da
superfície de uma esfera
com um diedro (ou setor
diedral),
cuja
aresta
contém
um
diâmetro
dessa superfície esférica.
O que caracteriza a
cunha é o raio da esfera e
a medida do diedro
O volume da cunha esférica também pode
ser obtida por uma regra de três simples:
Ângulo
Volume
4 3
 0
360   .r
 em graus 
3

 Vcunha
4 3

2   .r
 em radianos
3

 Vcunha
graus   R 3

270
V
rad  2 R 3 .
3

Exemplos:
1. Determinar a área de um fuso esférico de
300, contido numa superfície esférica de raio
4cm.
2. Determinar o volume da cunha esférica
obtida a partir da situação anterior.
Exemplo:
Calcular a área total e o volume de uma cunha esférica
contida numa esfera de raio igual a 4 cm, sabendo que o
ângulo central da cunha mede 60º.
60º
Resolução:
Volume:
Volcunha 
60º
Volcunha 
Vol cunha
  R3 
270
  43  60
270
128

cm 3
9
Resolução:
Área Total
Al  Área da semi - circunferência
Atotal  Afuso  2  Al
60º
Afuso 
A fuso 
Atotal
  42  60
90
32
3
Al 
  R2
2
Al  8
32
32  48

 2  8 
3
3
80
Atotal 
3
Inscrição e Circunscrição do Cubo na Esfera
a
2r  a  r 
2
a 3
2R  a 3  R 
2
Inscrição da Esfera no Cilindro
h
2r  h  r 
2
R r