ESFERA
Esfera
Considere um ponto C do espaço e um número real e positivo r.
Chamamos de esfera o sólido formado por todos os pontos P do
espaço que estão a uma distância de C menor ou igual a r.
Superfície esférica
A superfície esférica é a “casca” da esfera, ou seja,
é o conjunto de
pontos P do espaço que estão a uma distância de C igual a r.
Esfera de revolução
A esfera é considerada um sólido de revolução, pois pode ser obtida pela
rotação de um semicírculo em torno de um eixo que passa por seu
diâmetro.
Secção plana de uma esfera
Toda secção plana de uma esfera, ou intersecção de uma esfera com um
plano, é um ponto ou um círculo. Se o plano de intersecção contiver o centro
da esfera, então a secção obtida será chamada círculo máximo.
Exercícios
1. Considerando que as esferas S1 e S2, de raios
medindo 3 cm e 4 cm, respectivamente, são
tangentes externamente, determinar a
distância entre seus centros.
Resolução
Como as esferas são tangentes externamente, ou seja, têm somente um
ponto em comum, o segmento que une seus centros tem medida r1 + r2.
Nesse caso: 3 + 4 = 7
Então, a distância entre seus centros é 7 cm.
Exercícios
2. Calcular a medida r1 do raio de uma secção plana de uma esfera sabendo
que o raio da esfera mede 13 cm e a distância dessa secção ao centro da
esfera é 5 cm.
Resolução
Observe a figura.
Vamos destacar o triângulo retângulo
COP:
Aplicando o teorema de Pitágoras no
∆COP, temos:
132 = 52 + r12 ⇒ r12 = 144 ⇒ r1 = 12
Portanto, r1 é igual a 12 cm.
Área da superfície esférica Volume da esfera
Asuperfície esférica = 4r2
Vesfera =
.r3
Exemplo
Vamos calcular a área da superfície esférica de raio 5 cm.
Sabemos que: Asuperfície esférica = 4r2
Considerando  ⋍ 3,14, temos:
A ⋍ 4 ∙ 3,14 ∙ 25 = 314
Portanto, a área da superfície esférica é de aproximadamente 314 cm2.
Exercícios
3. Uma secção plana de uma esfera, distante
cm do centro dessa esfera,
tem 36 cm2 de área. Calcular o volume da esfera e a área de sua
superfície.
Resolução
Como toda secção plana de uma esfera
é um círculo, então a área é dada por:
A1 = r12
Logo: 36 = r1 ⇒ r1 = 6 cm (raio da secção plana)
Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no ∆COP,
calculamos o raio da esfera:
r2 = 62 +
= 36 + 45 = 81 ⇒ r = 9
Agora, podemos calcular o volume V da
esfera e a área A de sua superfície:
V=
r3 ⇒ V =
∙  ∙ 93 ⇒ V = 972 ⇒ V ≃ 3.053
A = 4r2 ⇒ A = 4 ∙  ∙ 92 ⇒ A = 324 ⇒ A ≃ 1.017
Portanto, o volume da esfera é aproximadamente 3.053 cm3
e a área da sua superfície é aproximadamente 1.017 cm2.
Exercícios
4. Uma esfera foi inscrita em um cubo, conforme a
figura ao lado. Calcular o volume dessa esfera e
determinar a razão entre as áreas da superfície
cúbica e da superfície esférica.
Resolução
Da figura, temos a = 2r, e a aresta do cubo igual a 2 cm,
então r = 1 cm.
O volume da esfera é: Vesfera =
∙  ∙ 13 ⇒ Vesfera =

A área da superfície cúbica é: Acubo = 6 ∙ 2 ∙ 2 ⇒ Acubo = 24
A área da superfície esférica é: Aesfera = 4 ∙  ∙ 12
Considerando  = 3,14:
Aesfera = 4 ∙ 3,14 = 12,56
A razão entre as áreas:
≃ 1,91
Logo, a área do cubo é quase o dobro da área da superfície
esférica.
Volume de uma cunha esférica
É chamado de cunha esférica o sólido gerado pela rotação, por um ângulo
de medida , de um semicírculo de raio r em torno de um eixo que contém
seu diâmetro.
Vcunha esférica =
Área de um fuso esférico
Pela rotação, por um ângulo de medida , de uma semicircunferência de
raio r em torno de um eixo que contém seu diâmetro, obtemos um fuso
esférico.
Afuso esférico =
Exercícios
5. Calcular o volume da cunha esférica e a área do fuso esférico da figura ao
lado, em que r = 4 cm.
Resolução
Vcunha esférica =
Afuso esférico =
⇒ Vcunha esférica =
⇒ Afuso esférico =
≃ 14,9
≃ 11,2
Portanto, o volume da cunha esférica é aproximadamente
14,9 cm3 e a área do fuso esférico é aproximadamente
11,2 cm2.
6. Uma esfera de raio 9cm é seccionada por um plano que dista 6cm do seu
centro. Calcule:
a) O volume dessa esfera
b) A área da superfície esférica
c) A área da secção determinada pelo mencionado plano de corte
A figura ilustra a esfera indicada. Aplicando as fórmulas, temos:
a)
b)
A  4R 2  4 (9) 2  4 (81)  324cm2
c)
r 2  (9) 2  (6) 2  81 36  45  r  45  3 5cm
 
Asec ção   .r   . 3 5
2
4πR3 4π(9)3 4π(729)
V=
=
=
= 4π(243) = 972πcm3
3
3
3
2
 45 .cm2
7. Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a
área da superfície?
Solução: Considerando V e A como o volume e a área iniciais da esfera e aplicando as transformações, temos:
4 πR3
V=
3
raio = R ⇒
A = 4 πR 2
( )
(8)4R3 π
4 π(2R)3 4 π 8R3
V' =
=
=
= 8.V
3
3
3
raio = 2R ⇒
( ) (
)
A ' = 4 π(2R)2 = 4 π 4R 2 = 4 4 πR 2 = 4.A
Logo, o volume multiplica por 8 e a área da superfície quadruplica.