Universidade Estadual de Montes Claros
Departamento de Ciências Exatas
Curso de Licenciatura em Matemática
Notas de Aulas de
Cálculo
Rosivaldo Antonio Gonçalves
Notas de aulas que foram elaboradas para orientar
o estudo de conteúdos básicos de Matemática para
o curso de Licenciatura em Matemática.
Montes Claros,
-
24 de março de 2012
Capı́tulo 1
Introdução
1.1
1.1.1
Coordenadas Cartesianas
Plano
Os pontos de um plano são identificados com pares ordenados de números
naturais reais;
P = (x, y),
sendo x a abscissa de P e y a ordenada de P .
1.1.2
Espaço
Os pontos do espaço são identificados com ternos ordenados de números reais;
P = (x, y, z),
sendo x a abscissa de P, y a ordenada de P e z a cota de P .
1
1.2
1.2.1
Vetores
Plano
−→
O par ordenado (x, y) é identificado com o vetor OP , sendo O a origem do
sistema ortogonal de coordenadas cartesianas e P o ponto de coordenadas (x, y).
1.2.2
Espaço
Os vetores no espaço são introduzidos como ternos ordenados de números
reais.
1.2.3
Operações
i) (x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 )
ii) λ(x, y, z) = (λx, λy, λz);
−
−
−
iii) o oposto do vetor →
v = (x, y, z), é o vetor −→
v = (−1)→
v = (−x, −y, −z);
iv) (x, y, z) − (x0 , y 0 , z 0 ) = (x, y, z) + (−1)(x0 , y 0 , z 0 ) = (x − x0 , y − y 0 , z − z 0 ).
→
−
Nota 1.2.1 0 = (0, 0, 0) é chamado vetor nulo.
1.2.4
Propriedades
−
−
−
Quaisquer que sejam os vetores →
u ,→
v e→
w e os escalares λ e β temos,
−
−
−
−
i) →
u +→
v =→
v +→
u;
−
−
−
−
−
−
ii) (→
u +→
v)+→
w =→
u + (→
v +→
w );
→
−
−
−
iii) →
u + 0 =→
u;
→
−
−
−
iv) →
u + (−→
u)= 0;
−
−
−
v) (λ + β)→
u = λ→
u + β→
u;
−
−
−
−
vi) λ(→
u +→
v ) = λ→
u + λ→
v;
−
−
vii) (λβ)→
u = λ(β →
u );
2
−
−
viii) 1→
u =→
u.
Demonstração
−
−
i) Sejam →
u = (x, y, z) e →
v = (x0 , y 0 , z 0 ). Então
→
−
→
−
u + v = (x, y, z) + (x0 , y 0 , z 0 ) = (x + x0 , y + y 0 , z + z 0 ) = (x0 + x, y 0 +
−
−
y, z 0 + z) = (x0 , y 0 , z 0 ) + (x, y, z) = →
v +→
u.
As demonstrações dos outros itens ficam como exercı́cios.
1.2.5
Norma
−→
−
Geometricamente, a norma de um vetor →
v = OP é o comprimento do segmento geométrico OP que representa o vetor.
√
i na reta: k x k= x2 =| x |
p
−
−
ii no plano: →
v = (x, y), k →
v k= x2 + y 2
p
−
−
iii espaço: →
v = (x, y, z), k →
v k= x2 + y 2 + z 2
1.3
Produto Escalar
Definimos a adição e subtração de vetores e multiplicação de um vetor por
um escalar. Agora iremos definir uma operação de multiplicação de dois vetores,
chamada produto escalar.
−
−
Definição 1.3.1 Se →
v1 = (x1 , y1 , z1 ) e →
v2 = (x2 , y2 , z2 ), então o produto escalar
−
−
de →
v e→
v é dado por
1
2
→
−
−
v1 · →
v2 = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
Exemplo
(2, 3, −1) · (5, 1, 2) = 10 + 3 − 2 = 11
Propriedades
−
−
−
Quaisquer que sejam os vetores →
u ,→
v e→
w e o escalar λ temos,
−
−
−
−
u ·→
v =→
v ·→
u
i) →
3
−
−
−
−
−
−
−
ii) →
u · (→
v +→
w) = →
u ·→
v +→
u ·→
w
−
−
−
−
−
−
iii) (λ→
u)·→
v = λ(→
u ·→
v)=→
u (λ→
v );
−
−
−
iv) →
u ·→
u =k →
u k2
As demonstrações ficam como exercı́cios.
Nota 1.3.2 Sobre as posições relativas de duas retas, relembremos que:
1. Consideremos as retas r1 e r2 , cujas equações paramétricas são
dadas,respectivamente, por (x, y) = t(a1 , b1 ) e (x, y) = t(a2 , b2 ),
2. Sabemos que r1 e r2 são perpendiculares se, e somente se,
b1 b2
a1 a2
= 1, ou
a1 a2 + b1 b2 = 0, ou (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = 0
Assim, temos a seguinte definição.
−
−
Definição 1.3.3 Dizemos que os vetores →
u e→
v são ortogonais (ou perpendiculares) se, e somente se,
→
−
−
u ·→
v = 0.
Interpretação geometrica do produto escalar
−
−
−
−
i) →
u ·→
v =k →
u kk →
v k cos α;
−
−
−
ii) seja →
w o vetor projeção do vetor →
v sobre o vetor →
u , então
→
−
→
−
k w k=k v k cos α.
como,
→
−
−
−
−
u ·→
v =k →
u kk →
v k cos α
−
−
=k →
u k (k →
v k cos α)
−
−
=k →
u kk →
w k,
−
−
−
temos que o produto escalar de →
u e→
v é o comprimento de →
u multiplicado
−
−
pelo comprimento da projeção de →
v sobre →
u.
4
1.4
Retas no espaço
−
−
Definição 1.4.1 Dois vetores →
u e→
v são colineares ou paralelos se existe um
−
−
número r tal que →
u = r→
v.
i) Conhecidos um ponto e um vetor: P − P0 = t(P1 − P0 )
P = (1 − t)P0 + tP1 .
Exemplos
Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P0 = (8, 12, 6), paralela
−
ao vetor →
v = (11, 8, 10).
−
P − P0 = t→
v
(x, y, z) − (8, 12, 6) = t(11, 8, 10)
(x, y, z) = (8, 12, 6) + t(11, 8, 10).
1.5
Planos no espaço
Equação de um plano por um ponto P0 = (x0 , y0 , z0 ), perpendicular a um
−
vetor →
v = (a, b, c).
−
P − P0 ⊥ →
v,
isto é,
→
−
v · (P − P0 ) = 0,
ou
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0,
ou
ax + by + cz + d = 0.
Observações
i) Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais forem
paralelos;
ii) Dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais
forem perpendiculares;
−
iii) -plano:ax + by + cz + d = 0; →
η (a, b, c)
→
−
-plano:xy(z = 0); η = (0, 0, 1)
(a, b, c) · (0, 0, 1) = 0 → os dois planos são perpendiculares
Um plano tendo uma equação sem termo em z é perpendicular ao plano
xy e, portanto, paralelo ao eixo Oz.
5
iv) -plano:by + cz + d = 0
Perpendicular ao plano yz e portanto paralelo ao eixo Ox.
v) -plano: ax + cz + d = 0
Perpendicular ao plano xz e portanto paralelo ao eixo Oy.
Exemplo
Determinar a reta interseção dos planos de equações
x − 2y + z − 1 = 0 e 3x + y − 2z − 3 = 0.
Resolvendo o sistema de equações obtemos x = 1 + 37 zey = 57 z.
Assim, temos as equações parametricas,
x = 1 + 73 t; y = 57 t; z = t.
Trata-se da reta que passa pelo ponto P0 = (1, 0, 0) na direção do vetor
~v = ( 37 , 57 , 1).
Faça o mesmo para os planos de equações: z = −3x + 4 e z = −2y + 1.
1.6
Bola aberta
Definição 1.6.1 Sejam a um ponto no Rn e r > 0 um número real. O conjunto
B(a; r) = {x ∈ Rn ; k x − a k< r}
denomina-se bola aberta de centro a e raio r.
-reta
B = {x ∈ R; k x − x0 k< r}
-plano
B = {(x, y) ∈ R2 ; k (x, y) − (x0 , y0 ) k< r}
-espaço
B = {(x, y, z) ∈ R3 ; k (x, y, z) − (x0 , y0 , z0 ) k< r}
6
1.7
Conjunto aberto
Definição 1.7.1 Dizemos que (x0 , y0 ) ∈ A é um ponto interior de A se existir
uma bola aberta de centro (x0 , y0 ) contida em A.
Exemplo
A = {(x, y) ∈ R2 ; x ≥ 0ey ≥ 0}
i) Todo (x, y) com x > 0 e y > 0 é ponto interior de A;
ii) Todo (x, y) com x = 0 ou y = 0 não é ponto interior de A.
Definição 1.7.2 Dizemos que A é um conjunto aberto se todo ponto de A for
ponto interior.
Exemplo
O conjunto A acima não é aberto.
1.8
Ponto de acumulação
Definição 1.8.1 Seja um subconjunto do R2 e seja (a, b) ∈ R2 ((a, b) pode pertencer ou não a A). Dizemos que (a, b) é ponto de acumulação de A se toda bola
de centro (a, b) contiver pelo menos um ponto (x, y) ∈ A com (x, y) 6= (a, b)
Observação
(a, b) é o ponto de acumulação de A se existirem pontos de A, distintosde
(a, b), tão próximos de (a, b) quanto se queira.
Exemplos
(1) A = {(x, y) ∈ R2 ; x > 0 e y > 0}
(i) Toda (x, y) com x ≥ 0 e y ≥ 0 é o ponto de acumulação de A;
(ii) (− 21 , 1) não é ponto de acumulação de A.
(2) A = {(1, 2), (−1, 0), (1, 3)} não admite ponto de acumulação.
7
Exercı́cios
1. Marcar, num sistema de coordenadas, os pontos:
(a) A = (2, 3, 4), B = (3, 2, −4), C = (−2, 1, 3);
(b) D = (−3, 2, −1), E = (−1, −2, 3), F = (−2, −1, −3).
2. Nos itens abaixo, os pontos dados são vertices opostos de um paralelepipedo
retângulo de arestas paralelas aos eixos de coordenadas. Determinadas os
outros seis vértices e fazer gráficos em cada caso:
(a) A = (0, 1, 1) e B = (1, 0, −3);
(b) A = (1, 2, 1) e B = (0, −3, −1).
3. Calcular a norma do vetor dado:
−
(a) →
u = ( 21 );
−
(b) →
u = (0, 1, 2).
4. Calcular a distância entre os dois pontos dados:
A = ( 12 , −1, −1
) e (−1, 21 , −3
)
3
2
5. Dados A = (−4, −2, 4), B = (2, 7, −1)eC = (5, 4, −3) calcular:
(a) A · (B + C);
(b) (2A + 3B) · (4C − D);
(c) (A · B)(C · D).
6. Determinar o ponto P tal que AP = 3AB, sendo A = (10, 3, 7) e B =
(2, −1, 5).
7. Determinar o ângulo entre os vetores dados:
−
−
v = (1, 1, 4);
(a) →
u = (1, 1, 21 ) e →
→
−
−
(b) u = (−2, 1, 0) e →
v = (0, −3, 2)
8. Determinar as equações paramétricas da reta pelos pontos dados:
(a) A = (1, −2, −1) e B = (4, −1, 5);
(b) A = (1, 7, 3) e B = (−1, 7, 5).
10. Determinar as equações paramétricas da reta pela origem, perpendicular
ao plano de equação 2x − y + 3z − 6 = 0.
8
11. Determinar o ponto de interseção do plano de equação 2x − y − 3z − 4 = 0
com a reta pelo ponto (0, 1, −1), na direção do vetor (1, −2, 1).
12. NOs itens abaixo determinar equações paramétricas das retas interseções
dos planos dados:
(a) 2x − y − z − 1 = 0 e x + y − 2z + 7 = 0;
(b) 2x − y + 5z = 0 e x + y − 5z = 10;
(c) x = −4 e y = 5;
(d) x + y = 0 e y + z = 0.
13. Determinar a equação do plano que passa pelo ponto dado e que seja per−
pendicular à direção do vetor →
η dado:
−
(a) (1, 1, 1) e →
η = (2, 1, 3);
−
(b) ((2, 1, −1) e →
η = (−2, 1, 2).
14. Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja
perpendicular ao plano dado:
(a) (0, 1, −1) e x + 2y − z = 3;
(b) (2, 1, −1) e 2x + y + 3z = 1.
−
−
15. Determine um vetor não nulo que seja ortogonal aos vetores →
u e→
v dados:
−
−
(a) →
u = (1, 2, −1) e →
v = (2, 1, 2);
−
−
(b) →
u = (3, 2, −1) e →
v = (−1, 2, 1).
16. Trace um esboço do plano com equação:
(a) 2x + 4y + 3z = 8
(b) 3x + 2y − 6z = 0
17. Encontre a equação do plano que contém o ponto (4, 0, −2) e é perpendicular aos planos x − y + z = 0 e 2x + y − 4z − 5 = 0
18. Verificar quais dos conjuntos abaixo são abertos em R2 :
(a) {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < 1};
(b) {(x, y) ∈ R2 ; x + y ≥ 1}
(c) {(x, y) ∈ R2 ; x + y > 3 e x2 + y 2 < 16}.
9
19. Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado:
(a) {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < 1}
(b) {(x, y) ∈ R2 ; x e y inteiros }.
10
Capı́tulo 2
Funções de várias variáveis reais
a valores reais
2.1
Funções de duas variáveis reais a valores
reais
Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função
f : A ⊂ R2 → R. O conjunto A é o domı́nio de f e será indicado por Df ; o
conjunto
Im(f ) = {f (x, y) ∈ R; (x, y) ∈ Df }
é a imagem de f.
Exemplos 2.1.1
(1) f (x, y) =
√
y−x+
Df = {(x, y) ∈ R2 ; y ≥ x e y ≤ 1}
Imf = [0, +∞[
(2) f (x, y) = 5x2 y − 3x
Df = R2
Imf = R
11
√
1−y
(3) Seja a função w = f (u, v) dada por u2 + v 2 + w2 = 1, w ≥ 0
(i) u2 + v 2 + w2 = 1 ⇒ w =
√
(ii) f (u, v) = 1 − u2 − v 2
√
1 − u2 − v 2
(iii) Df = {(u, v) ∈ R2 ; 1 − u2 − v 2 ≥ 0}
Imf = [0, 1]
(4) f (x, y) =
p
y − x2
Df = {(x, y) ∈ R2 ; y − x2 ≥ 0}
Imf = [0, +∞]
2.2
Gráfico
Definição 2.2.1 Seja f : A ⊂ R2 → R. O conjunto Gf = {(x, y, z) ∈ R3 ; z =
f (x, y), (x, y) ∈ A} denomina-se gráfico de f .
Nota 2.2.2 O gráfico de f pode ser pensado como o lugar geométrico descrito
pelo ponto (x, y, f (x, y)) quando (x, y) percorre o domı́nio de f .
Exemplo 2.2.3 f (x, y) = 2
2.3
Curvas de nı́vel
Definição 2.3.1 Sejam z = f (x, y) uma função e c ∈ Imf. O conjunto de todos
os pontos (x, y) ∈ Df tais que f (x, y) = c denomina-se curva de nı́vel de f
correspondente ao nı́vel z = c.
Nota 2.3.2
(i) f é constante sobre cada curva de nivel;
12
(ii) O gráfico de f é um subconjunto do R3 ; uma curva de nı́vel é um subconjunto do domı́nio de f , portanto do R2 .
Exemplos 2.3.3
(1) f (x, y) = x2 + y 2
(i) curvas de nı́vel: x2 + y 2 = c → circunferência de centro na origem e
√
raio c
(ii) z = 0 → origem
x = 0 → z = y2
y = 0 → z = x2
(iii) Df = R2
Imf = [0, +∞[
(2) f (x, y) =
p
25 − x2 − y 2
p
25 − x2 − y 2 = c ⇒ x2 + y 2 = 25 − c2 , circun√
ferências de centro na origem e raio 25 − c2
(i) curvas de nı́vel:
(ii) Df = {(x, y) ∈ R2 ; 25 − x2 − y 2 ≥ 0}
Imf = [0, 5]
(3) f (x, y) = 8 − x2 − 2y
curvas de nı́vel:
8 − x2 − 2y = c ⇒ x2 + 2y = 8 − c ⇒ y =
- f (x, y) = x2 + y 2
- f (x, y) =
p
25 − x2 − y 2
13
−1 2
x
2
+
8−c
2
- 8 − x2 − 2y
Exercı́cio 2.3.4
1. Seja (x, y) =
x+y
.
x−y
(a) Determine o domı́nio de f .
(b) Calcule f (2, 3) e f (a + b, a − b).
2. Represente graficamente o domı́nio da função z = f (x, y) dada por:
(a) f (x, y) =
x2 −3xy+1
;
x2 y 2 +1
(b) x + y − 1 + z 2 = 0, z ≥ 0;
p
√
(c) z = y − x2 + 2x − y;
p
(d) z = | x | − | y |;
√
x2 +y 2 −25
(e) z =
;
y
(f ) f (x, y) = √
x−y
1−x2 −y 2
;
(g) z 2 + 4 = x2 + y 2 , z ≥ 0.
3. Toda função f : R2 → R dada por f (x, y) = ax + by, sendo a e b reais,
demonina-se função linear. Seja f : R2 → R uma função linear. Sabendo
que f (1, 0) = 2 e f (0, 1) = 3, calcule f (x, y).
4. Uma função f : A ⊂ R2 → R denomina-se função homogênea de grau n se
f (tx, ty) = tn f (x, y)
para todo t > 0 e para todo (x, y) ∈ A tais que tx, ty ∈ A.
(a) Mostre que f (x, y) = x2 + 3xy é homogênea de grau 2.
14
(b) Suponha que f : R2 → R seja homogênea de grau 2 e f (a, b) = a para
√
todo (a, b) com a2 + b2 = 1. Calcule f (4 3, 4) e f (0, 3).
5. Desenhe as curvas de nı́vel e esboce o gráfico:
(a) f (x, y) = 1 − x2 − y 2 ;
(b) f (x, y) = 1 + x2 + y 2 ;
(c) f (x, y) = x2 , −1 ≤ x ≤ 0, y ≥ 0;
(d) f (x, y) = 1 − x2 , x ≥ 0, y ≥ 0 e y ≤ 1;
(e) f (x, y) = x, x ≥ 0;
(f ) f (x, y) = x + 3y;
p
(g) g(x, y) = 1 − x2 − y 2 ;
p
(h) z = x2 + y 2 ;
(i) f (x, y) = √
1
1−x2 −y 2
6. Determine a imagem:
(a) f (x, y) = x − 2y;
(b) z =
y
;
x−2
(c) z = 4x2 + y 2 .
15
16
Capı́tulo 3
Limite e continuidade
3.1
Limite
Sejam f : A ⊂ R2 → R uma função, (x0 , y0 ) um ponto de acumulação de A e
L um número real. Definimos
lim
f (x, y) = L
(x,y)→(xo ,y0 )
se, somente se,
para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo (x, y) ∈ A
0 <k (x, y) − (x0 , y0 ) k< δ ⇒| f (x, y) − L |< ε
Observações
(i)
lim
f (x, y) = L significa: dado ε > 0, existe δ > 0 tal que f (x, y)
(x,y)→(x0 ,y0 )
permanece em (L − ε, L + ε) quando (x, y), (x, y) 6= (x0 , y0 ), varia na bola
aberta de centro (x0 , y0 ) e raio δ.
(ii) Sempre que falarmos que f tem limite em (x0 , y0 ) fica implı́cito que (x0 , y0 )
é ponto de acumulação de Df .
Exemplos
(1)
lim
2x + 3y = 0
(x,y)→(0,0)
Devemos mostrar que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
0 <k (x, y) − (0, 0) k< δ ⇒| 2x + 3y − 0 |< ε
(i) | 2x + 3y |≤| 2x | + | 3y |= 2 | x | +3 | y |
17
(ii) | x |≤
p
x2 + y 2 e | y |≤
p
x2 + y 2
p
p
(iii) De (i) e (ii) temos que | 2x + 3y |≤ 2 x2 + y 2 + 3 x2 + y 2
Assim, dado ε > 0 e tomando δ = 5ε ,
p
0 <k (x, y) − (0, 0) k< δ ⇒ x2 + y 2 < 5ε ,
ou seja,
0 <k (x, y) − (0, 0) k< δ ⇒| 2x + 3y |< 5 5ε = ε
Logo,
lim
(2x + 3y) = 0
(x,y)→(xo ,y0 )
(2) f (x, y) =
x2 −y 2
x2 +y 2
tem limite (0, 0)?
(i) sobre o eixo x : f (x, 0) = 1
(ii) sobre o eixo y : f (0, y) = −1
Não existe número L tal que f (x, y) permaneça próximo de L para (x, y)
próximo de (0, 0); este fato indica-nos que f não deve ter limite em (0, 0).
De fato, dado ε = 21 temos
– se L ≤ 0, | f (x, 0) − L |≥
– se L > 0, | f (0, y) − L |≥
1
2
1
2
para todo x 6= 0
para todo y 6= 0
Teorema 3.1.1 Se a função f tem limites diferentes quando (x, y) tende a
(x0 , y0 ) através de dois conjuntos distintos de pontos que tem (x0 , y0 ) como um
ponto de acumulação, então
lim
f (x, y) não existe.
(x,y)→(x0 ,y0 )
Exemplos
(1) f (x, y) =
x2 −y 2
x2 +y 2
(i) S1 conjunto de todos os pontos no eixo x
x2
lim f (x, y) = lim 2 = 1
x→0 x
(x,y)→(0,0)
(ii) S2 conjuntos de todos os pontos no eixo y
−y 2
lim f (x, y) = lim 2 = −1
y→0 y
(x,y)→(0,0)
2
2
x −y
não existe.
Logo lim
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
18
(2)
x2 y
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
lim
0
=0
(x,y)→(0,0) x4
(ii) S2 conjunto de todos os pontos na reta y = x
x3
x
=0
lim
= lim
4
2
2
(x,y)→(0,0) x + x
(x,y)→(0,0) x + 1
(iii) S3 conjunto de todos os pontos na parábola y = x2
x4
1
lim
=
4
4
(x,y)→(0,0) x + x
2
x2 y
Assim lim
não existe.
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
(i) S1 conjunto de todos os pontos no eixo x
lim
Observação
As propriedades ja conhecidads de limites continuam válidas para fuções de
várias variáveis.
3.2
Continuidade
Sejam f : A ⊂ R2 → R e (x0 , y0 ) ∈ A um ponto de acumulação de A.
Dizemos que f é contı́nua no ponto (x0 , y0 ) se, somente se, as três condições
seguintes forem satisfeitas,
(i) f (x0 , y0 ) existe;
(ii)
lim
f (x, y) existe;
(x,y)→(x0 ,y0 )
(iii)
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) = f (x0 , y0 )
Observação
As propriedades já conhecidas de continuidade continuam válidas para
funções de várias variáveis.
Exemplos
(1) f (x, y) = 2
lim
f (x, y) =
(x,y)→(x0 ,y0 )
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
2 = 2 = f (x0 , y0 )
(2) Discuta a continuidade de


 x2 + y 2 , se x2 + y 2 ≥ 1;
f (x, y) =


0, se x2 + y 2 < 1.
19
(i) f está definida em todos os pontos de R2 , assim a condição (i) é
verificada em todo ponto (x0 , y0 )
(ii) Consideremos os pontos (x0 , y0 ) tais que x2 0 + y 2 0 6= 1
∗ x0 2 + y0 2 > 1,
lim
f (x, y) =
∗
(x,y)→(x0 ,y0 )
x0 2 + y 0 2 <
1,
f (x, y) =
lim
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
(x,y)→(x0 ,y0 )
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
x2 + y 2 = x0 2 + y0 2 = f (x0 , y0 )
0 = f (x0 , y0 )
Então f é contı́nua em todos os pontos (x0 , y0 ) tais que x0 2 +y0 2 6=
1
(iii) Consideremos os pontos (x0 , y0 ) tais que x0 2 + y0 2 = 1(devemos
mostrar que
lim
f (x, y) existe e é igual a 1).
(x,y)→(x0 ,y0 )
∗ Seja S1 o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 + y 2 ≥ 1
lim
f (x, y) =
lim
x2 + y 2 = x20 + y02 = 1
(x,y)→(x0 ,y0 )
(x,y)→(x0 ,y0 )
∗ Seja S2 o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x20 + y02 < 1
lim
f (x, y) =
lim
0=0
(x,y)→(x0 ,y0 )
Assim
(x,y)→(x0 ,y0 )
lim
f (x, y) não existe.
(x,y)→(x0 ,y0 )
Portanto, f é descontı́nua em todos os pontos (x0 , y0 ) para os
quais x0 2 + y0 2 = 1
(3) Discuta a continuidade de f (x, y) = √
y
x2 +y 2 −25
(i) g(x, y) = y é contı́nua
p
(ii) h(x, y) = x2 + y 2 − 25 é contı́nua em todos os pontos de R2 para os
quais x2 + y 2 > 25.
Então, f é contı́nua em todos os pontos de R2 para os quais x2 +y 2 > 25
20
Exercı́cios
1. Calcule, caso exista:
1
;
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
x+y
;
(b)
lim
(x,y)→(0,0) x − y
(a)
(c)
(d)
lim
x sin
xy 2
;
(x,y)→(0,0) x2 − y 2
lim
lim
x3 + 2x2 y − y 2 + 2;
(x,y)→(0,0)
x
p
;
(x,y)→(0,0)
x2 + y 2
xy
.
(f)
lim
2
(x,y)→(0,0) x + y 2
(e)
lim
2. Prove, usando a definição, que:
(a)
lim
k = k;
(x,y)→(x0 ,y0 )
(b)
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
x = x0 .
3. Determine o conjunto dos pontos de continuidade de f (x, y).Justifique a
resposta.
(a) f (x, y) = 3x2 y 2 − 5xy + 6;


 x−3y , se(x, y) 6= (0, 0);
x2 +y 2
(b) f (x, y) =

 0, se(x, y) = (0, 0).
(c) f (x, y) =
xy
;
sqrt16−x2 −y 2
(d) f (x, y) = xln(x, y; )


 sin(x+y) , se(x, y) 6= (0, 0);
x+y
(e) f (x, y) =


1, se(x, y) = (0, 0).
(f) f (x, y) = ln x2x−y
+y 2 ;
(g) f (x, y) = √
x−y
1−x2 −y 2
.
21
4. f (x, y) =





xy 2
, se(x, y)
x2 +y 2
6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
22
é contı́nua em (0, 0)? Justifique.
Capı́tulo 4
Derivadas parciais
4.1
Derivadas parciais
Tratamos uma função de n variáveis como uma função de uma variável, variando uma delas e mantendo as outras fixas; isto leva ao conceito de uma derivada
parcial.
Seja z = f (x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja (x0 , y0 ) ∈ Df .
Fixado (y0 ) podemos considerar a função g de uma variável dada por
g(x) = f (x, y0 )
.
A derivada da função g no ponto x0 , caso exista, denomina-se derivada
parcial de f , em relação a x, no ponto (x0 , y0 ) e indica-se por ∂f
(x0 , y0 ).
∂x
∂f
0
Assim, ∂x (x0 , y0 ) = g (x0 ) e temos,
∂f
g(x) − g(x0 )
(x0 , y0 ) = g 0 (x0 ) = lim
x→x0
∂x
x − x0
,
ou seja,
∂f
f (x, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
,
x→x0
∂x
x − x0
ou ainda,
∂f
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
.
∆x→0
∂x
∆x
23
De modo análogo define-se derivada parcial de f em relação a y, no ponto
(x0 , y0 ),
∂f
f (x0 , y) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
y→y0
∂y
y − y0
,
ou
∂f
f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
∆y→0
∂y
∆y
,
Observações
(i)
∂f
(x, y)
∂x
é a derivada, em relação a x, de f (x, y) mantendo-se y constante;
(ii)
∂f
(x, y)
∂y
é a derivada, em relação a y, de f (x, y) mantendo-se x constante.
Exemplos
(1) f (x, y) = 2xy − 4y
∂f
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
(x, y) = lim
∆x→0
∂x
∆x
2(x + ∆x)y − 4y − 2xy + 4y
∆x→0
∆x
= lim
2y∆x
= 2y
∆x→0 ∆x
= lim
∂f
f (x, y + ∆y) − (f (x, y))
(x, y) = lim
∆y→0
∂y
∆y
2x(y + ∆y) − 4(y + ∆) − 2xy + 4y
∆y→0
∆y
= lim
2xy + 2x∆y − 4y − 4∆y − 2xy + 4y
∆y→0
∆y
= lim
2x∆y − 4∆y
= 2x − 4
∆y→0
∆y
= lim
24
- para obter ∂f
(x, y) devemos olhar y como constante e derivar em
∂x
∂f
relação a x : ∂x (x, y) = 2y
- para obter ∂f
(x, y) devemos olhar x como constante e derivar em
∂y
∂f
relação a y : ∂y (x, y) = 2x − 4
(2) f (x, y) =



x3 −y 2
, se(x, y)
x2 +y 2


6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
- se (x, y) 6= (0, 0) podemos aplicar a regra do quociente
3x2 (x2 + y 2 ) − (x3 − y 2 )2x
∂f
(x, y) =
∂x
(x2 + y 2 )2
=
3x4 + 3x2 y 2 − 2x4 + 2xy 2
(x2 + y 2 )2
=
x4 + 3x2 y 2 + 2xy 2
(x2 + y 2 )2
∂f
−2y(x2 + y 2 ) − (x3 − y 2 )2y
(x, y) =
∂y
(x2 + y 2 )2
=
−2x2 y − 2x3 − 2x3 y + 2y 3
(x2 + y 2 )2
=
−2x2 y − 2x3 y
(x2 + y 2 )2
- Em (0, 0)
∂f
f (x, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = lim
x→0
∂x
x−0
= lim
x→0
x
=1
x
∂f
f (0, y) − f (0, 0)
(0, 0) = lim
y→0
∂y
y−0
−1
y→0 y
= lim
,
que não existe.
25
- Interpretação geométrica
Suponhamos que z = f (x, y) admite derivadas parciais em (x0 , y0 ) ∈ Df .
O gráfico da função g(x) = f (x, y0 ), no plano x0 y00 z, é a interseção do plano
y = y0 com gráfico de f .
Então, ∂f
(0, 0) é o coeficiente angular da reta tangente T a esta interseção
∂x
no ponto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
Observação
A existência de derivada parcial num ponto não implica a continuidade da
função neste ponto; por exemplo,


 xy , se(x, y) 6= (0, 0);
x2 +y 2
f (x, y) =

 0, se(x, y) = (0, 0).
(i) f admite derivadas parciais em (0, 0):
f (x, 0) − f (0, 0)
∂f
(0, 0) = lim
x→0
∂x
x
0
=0
x→0 x
lim
∂f
(0, 0)
∂y
f (0, y) − f (0, 0)
y→0
x
= lim
0
=0
y→0 y
lim
(ii) f não é contı́nua em (0, 0):
– (a)S1 conjunto de todos os pontos no eixo x
lim
f (x, y) = lim 0 = 0
(x,y)→(0,0)
x→0
– (b)S2 conjunto de todos os pontos na reta y = x
x2
1
lim f (x, y) = lim 2 =
x→0
(x,y)→(0,0)
2x
2
Como a existência de derivadas parciais não implica em continuidade temos
que ela não é uma boa generalização do conceito de diferenciabilidade dado para
funções de uma variável.
Veremos agora qual é a boa generalização do conceito de diferenciabilidade
para funções de várias variáveis reais.
Exercı́cios
26
1. Determine as derivadas parciais:
(a) f (x, y) = 5x4 y 2 + xy 3 + 4;
(b) z = cos(xy);
(c) f (x, y) = e−x
(d) z =
x3 +y 2
x2 +y 2
(e) f (x, y) =
;





2 −y 2
;
x+y 4
, se(x, y)
x2 +y 2
6= (0, 0);
0, se(x, y) = (0, 0).
(f) f (x, y) = (4xy − 3y 3 )3 + 5x2 y;
(g) z = xyexy ;
(h) g(x, y) = xy .



2. Dada f (x, y) =


(a)
(b)
x3 +y 3
, se(x, y)
x2 +y 2
6= (0, 0);
encontre:
0, se(x, y) = (0, 0).
∂f
(0, 0)
∂x
∂f
(0, 0)
∂y
3. Encontre a declividade da reta tangente à curva de interseção da superficie
z = x2 + y 2 com o plano y = 1 no ponto (2, 1, 5).
4. Dizemos que (x0 , y0 ) é um ponto critico de f (x, y) se ∂f
(x0 , y0 ) =
∂y
0.Determine, caso existam, os pontos crı́ticos da função dada:
(a) f (x, y) = x2 + y 2 ;
(b) f (x, y) = x2 − 2xy + 3y 2 + x − y;
(c) f (x, y) = 2x + y 3 ;
(d) f (x, y) = x3 + y 3 − 3x − 3y
(5.) Seja z = f (x, y) dada implicitamente por x2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0. Temos,
∂ 2
∂1
(x + y 2 + z 2 ) =
∂x
∂x
2x + 2z
27
∂z
=0
∂x
∂z
−2x
−x
−x
=
=
=p
, x2 + y 2 < 1
2
2
∂x
2z
y
1−x −y
(a) Calcule
∂z
∂y
(b) Seja z = f (x, y) dada implicitamente pela equação exyz = x2 + y 2 + z 2 .
∂z
∂z
Calcule ∂x
e ∂y
.
28
Capı́tulo 5
Funções diferenciáveis
Diferencial f : R → R
5.1
Definição 5.1.1 Definimos a diferencial de f : R → R no ponto x0 como sendo
a função linear L : R → R dada por
L(h) = f 0 (x0 )h.
Observação
Em notação clássica:dy = f 0 (x0 )dx
Interpretação geométrica
• equação da reta tangente:
Y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 )
Y = f (x0 ) + f 0 (x0 )h = f (x0 ) + L(h)
L(h) = Y − f (x0 )
,
isto é, a diferencial é a variáção que sofre a reta tangente quando se passa
do ponto x0 ao ponto x0 + h.
Assim, a diferencial fornece uma boa aproximação para o acréscimo f (x0 +
h) − f (x0 ) quando h é pequeno.
29
• O acréscimo dy pode ser olhado como um valor aproximado para ∆y =
f (x0 + ∆x) − f (x0 ); o erro ∆y − dy que se comete na aproximação de ∆y
por dy será tanto menor quanto menor for ∆x.
Exemplo
√
Calcule um valor aproximado para 1, 01
√
(i) y = x, dy = 2√1 x dx
(ii) x = 1, dx = 0, 01
Para x = 1 e dx = 0, 01
dy =
1
· 0, 01 = 0, 05
2
1 + dy = 1, 005 ∼
=
√
1, 01
Definição 5.1.2 Uma função f : R → R é diferenciável em x0 se, e somente se,
existir um real a tal que
f (x0 + h) − f (x0 ) − ah
=0
h→0
|h|
lim
Observação
(i) f é diferenciável ⇔ f é derivável
f (x0 + h) − f (x0 ) − ah
=0
h→0
|h|
lim
f (x0 + h) − f (x0 ) − ah
=0
h→0
h
⇔ lim
f (x0 + h) − f (x0 )
= a = f 0 (x0 )
h→0
h
⇔ lim
h=x−x
f (x0 + h) − f (x0 ) − ah
z}|{ 0
(ii) f é diferenciável ⇔ lim
= 0 ⇔ existe uma reta
h→0
|h|
passando por x0 de equação f (x0 ) + a(x − x0 ) tal que a distância f (x) −
f (x0 ) − a(x − 0), entre a curva e a reta, tende a zero mais depressa que
h = (x − x0 ), ou seja, esta reta é tangente à curva no ponto (x0 , f (x0 )).
30
5.2
Função diferenciável
Uma função f : A ⊂ R2 → R é diferenciável em (x0 , y0 ) se, e somente se,
existirem reais a e b tais que
f (x0 + h, y0 + k) − f (x, y) − ah − bk
(h,k)→(0,0)
||(h, k)||
lim
- Interpretação geométrica
p
Façamos,h = x − x0 , k = y − y0 e δ = (x − x0 )2 + (y − y0 )2
f é diferenciável ⇔
f (x0 + h, y − y0 + k) − f (x0 , y0 ) − ah − bk
=0
(h,k)→(0,0)
||(h, k)||
lim
⇔ existe um plano passando por (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) de equação Z = f (x0 , y0 )+
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) tal que a distância f (x, y) − Z, entre a superficie e o plano,
ao longo das perpendiculares ao plano Oxy, tende a zero mais depressa que δ,
ou seja, este plano é tangente à superficie no ponto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
Observações
(i) Se f for diferenciável em (x0 , y0 ), f admitirá derivadas parciais neste ponto.
– Fazendo k = 0,
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) − ah
=0
h→0
|h|
⇔ lim
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) − ah
=0
h→0
h
f (x0 + h, y0 )
∂f
=a=
(x0 , y0 )
⇔ lim
h→0
h
∂x
⇔ lim
– Fazendo h = 0, b =
∂f
(x0 , y0 )
∂y
(ii) A recı́proca é falsa.
Exemplos
(1) f (x, y) = x2 y
∂f
(x, y)
∂x
= 2xy; ∂f
(x, y) = x2
∂y
f (x + h, y + k) = (x + h)2 (y + k)
= (x2 + 2xh + h2 )(y + k)
31
x2 y + x2 k + 2xyh + 2xhk + yh2 + h2 k
f (x + h, y + k) − f (x, y) − ah − bk
(h,k)→(0,0)
||(h, k)||
lim
x2 y + x2 k + 2xyh + yh2 + h2 k − x2 y − 2xyh − x2 k
√
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
lim
2xhk + yh2 + h2 k
√
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
k
h
h
lim [2xh √
+ yh √
+ hk √
]=0
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
h2 + k 2
h2 + k 2
lim
Então f é diferenciável em todo (x, y) ∈ R2 .


 x3 , se(x, y) 6= (0, 0);
x2 +y 2
; é diferenciável em (0, 0)
(2) f (x, y) =

 0, se(x, y) = (0, 0).
∂f
f (x, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = lim
x→0
∂x
x−0
x
lim = 1
x→0 x
∂f
f (0, y) − f (0, 0)
(0, 0) = lim
y→0
∂y
y−0
0
= lim = 0
y→0 y
(0, 0)h −
f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) − ∂f
∂x
√
lim
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
h3
−h
h2 +k2
lim √
2
(h,k)→(0,0)
h + k2
h3 − h(h2 + k 2 )
√
(h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) h2 + k 2
lim
−hk 2
√
(h,k)→(0,0) (h2 + k 2 ) h2 + k 2
lim
– S1 conjuntos de todos os pontos no eixo h:
−h3
1
√
=− √
h→0 2h2 2h2
2 2
lim
32
∂f
(0, 0)k
∂y
– s2 conjunto de todos os pontos na reta k = h:
−h3
−h
√
= lim √
,
h→0 2h2 2h2
h→0 2 2|h|
lim
que não existe.
Então f não é diferenciável em (0, 0).
Teorema 5.2.1 Se f for diferenciável em (x0 , y0 ) então será continua em
(x0 , y0 )
Observação
A recı́proca é falsa, como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo

 x3 , se(x, y) 6= (0, 0);
x2 +y 2
f (x, y) =

 0, se(x, y) = (0, 0).
Mostramos no exemplo (2) acima que esta função admite derivadas parciais
em (0, 0) e não é diferenciável, mas ela é continua, pois
lim
(x,y)→(0,0)
5.3
f (x, y) =
lim
(x,y)→(0,0)
x
x2
= 0 = f (0, 0)
x2 + y 2
Condição suficiente para diferenciabilidade
Teorema 5.3.1 Se as derivadas parciais de f : A ⊂ R2 → R existem e são
contı́nuas num aberto, então f é diferenciável nesse aberto.
Exemplo
Seja f (x, y) = x2 y; temos que ∂f
(x, y) = 2xy e ∂f
(x, y) = x2 , que são contı́∂x
∂y
nuas em R2 ; e mostramos na página 33 que esta função é diferenciável.
5.4
Plano tangente
Definição 5.4.1 Seja f diferenciável no ponto (x0 , y0 ). O plano
33
z = f (x0 , y0 ) +
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ),
∂x
∂y
denomina-se plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )).
5.5
Reta Normal
O plano tangente é perpendicular à direção do vetor
∂f
∂f
→
−
η = ( (x0 , y0 ),
(x0 , y0 ), 1)
∂x
∂y
Reta que passa pelo ponto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) e é paralelo ao vetor (∗)
denomina-se reta normal ao gráfico de f no ponto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). A equação
de tal reta é,
(x, y, z) = (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) + λ(
∂f
∂f
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 ), 1), λ ∈ R
∂x
∂y
Exemplo
Dada f (x, y) = 3x2 y − x, determine as equações do plano tangente e da reta
normal no ponto (1, 2, f (1, 2)).
(i)
∂f
(x, y)
∂x
= 6xy − 1, ∂f
(1, 2) = 11
∂x
(ii)
∂f
(x, y)
∂y
= 3x2 , ∂f
(1, 2) = 3
∂y
(iii) f (1, 2) = 5
(iv) equação do plano tangente:
T (x, y) = f (x0 , y0 ) +
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 )
∂x
∂y
z = 5 + 11(x − 1) + 3(y − 2)
z = 5 + 11x − 11 + 3y − 6
= −12 + 11x + 3y
11x + 3y − z − 12 = 0
(v) vetor normal: (11, 3, −1)
(vi) equação da reta normal:
(x, y, z) = (1, 2, 5) + λ(11, 3, −1), λ ∈ R
34
5.6
Diferencial
Definimos a diferencial de f : R2 → R no ponto (x0 , y0 ) como sendo a transformação linear L : R2 → R dada por,
L(h, k) =
∂f
∂f
(x0 , y0 )h +
(x0 , y0 )k
∂x
∂y
Observação
(x, y)dx +
Em notação clássica: dz = ∂f
∂x
Interpretação geométrica
-equação do plano tangente:
∂f
(x, y)dy
∂y
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 )
∂x
∂y
fazendo x = x0 + h e y = y0 + k temos
T (x, y) = f (x0 , y0 ) +
∂f
∂f
(x0 , y0 )h +
(x0 , y0 )k
∂x
∂y
T (x, y) = f (x0 , y0 ) + L(h, k)
T (x, y) = f (x0 , y0 ) +
L(h, k) = T (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ),
isto é, a diferencial é a variação que sofre o plano tangente quando se passa
do ponto (x0 , y0 ) ao ponto (x0 + h, y0 + k)
Exemplo
Dada f (x, y) = x2 y, calcule um valor aproximado para a variação ∆z quando
se passa se x = 1 e y = 2 para x = 1, 02 e y = 2, 01.
(i)
∂f
(x, y)
∂x
= 2xy, ∂f
(x, y) = x2
∂x
(ii) dx = 0, 02, dy = 0, 01
dz = 2xydx + x2 dy
dz = 4 · 0, 02 + 1 · 0, 01
dz = 0, 09 ∼
= ∆z
(iii) erro cometido: 0, 001204, pois
∆z = f (x + dx, y + dy) − f (x, y)
= (x + dx)2 (y + dy) − x2 y
= (1, 02)2 · 2, 01 − 2 = 0, 091204
35
Exercı́cios
1. Prove que as funções dadas são diferenciáveis:
(a) f (x, y) = xy
(b) f (x, y) = x + y
(c) f (x, y) = x2 + y 2
(d) f (x, y) = x2 y 2
2. f é diferenciável em (0, 0)? Justifique.


 x2 −y2 , se(x, y) 6= (0, 0);
x2 +y 2
(a) f (x, y) =

 0, se(x, y) = (0, 0).


 x2 y , se(x, y) 6= (0, 0);
x2 +y 2
(b) f (x, y) =

 0, se(x, y) = (0, 0).


 x4 , se(x, y) 6= (0, 0);
x2 +y 2
(c) f (x, y) =

 0, se(x, y) = (0, 0).
3. Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável:


 xy , se(x, y) 6= (0, 0);
x2 +y 2
(a) f (x, y) =

 0, se(x, y) = (0, 0).


 x3 , se(x, y) 6= (0, 0);
x2 +y 2
(b) f (x, y) =

 0, se(x, y) = (0, 0).


 xy3 , se(x, y) 6= (0, 0);
x2 +y 2
(c) f (x, y) =

 0, se(x, y) = (0, 0).
4. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da
função dada, no ponto:
(a) f (x, y) = 2x2 y em (1, 1, f (1, 1));
(b) f (x, y) = x2 + y 2 em (0, 1, f (0, 1));
36
(c) f (x, y) = 3x3 y − xy em (1, −1, f (1, −1));
(d) f (x, y) = xy em ( 12 , 12 , f ( 21 , 12 ))
5. z = 2x + y é a equação do plano tangente ao gráfico de f (x, y) no ponto
(1, 1, 3). Calcule ∂f
(1, 1) e ∂f
(1, 1)
∂x
∂y
6. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + y e tangente ao
gráfico de f (x, y) = x2 + y 2 , no ponto (1, 1, 2)
7. Determine o plano que seja paralelo ao plano z = 2x + 3y e tangente ao
gráfico de f (x, y) = x2 + xy, no ponto (−1, 1, 0)
8. Calcule a diferencial:
(a) z = x3 y 2
(b) z = sin(xy)
9. Seja z = xex
2 −y 2
(a) Calcule a diferencial de z
(b) Calcule um valor aproximado para a variação ∆z em z, quando se
passa de x = 1 e y = 1 para x = 1, 01 e y = 1, 002
(c) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e
y = 1, 002.
√
√
10. Seja z = x + 3 y
(a) Calcule a diferencial de z no ponto (1, 8);
(b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e
y = 7, 9
37
38
Capı́tulo 6
Gradiente
6.1
Vetor gradiente
Definição 6.1.1 Seja z = f (x, y) uma função que admite derivdas parciais em
(x0 , y0 ). O vetor,
∇f (x0 , y0 ) = (
∂f
∂f
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 ))
∂x
∂y
,
denomina-se gradiente de f em (x0 , y0 ).
-Interpretação geométrica
Seja f (x, y) = x2 + y 2 , então ∇f (x, y) = (2x, 2y).
• ∇f (
√ √
2
, 22 )
2
√ √
= ( 2, 2)
• ∇f (1, 0) = (2, 0)
Assim, temos que o vetor gradiente é um vetor normal à curva de nı́vel.
Observações
(i) O gradiente não é perpendicular ao gráfico, e nem poderia, pois ∇f ∈ R2 ;
já vimos que o vetor normal ao gráfico é ( ∂f
(x0 , y0 ), ∂f
(x0 , y0 ), −1).
∂x
∂y
39
(ii) Para funções de uma variável real temos,
dy = f 0 (x0 )dx
para funções de duas variáveis reais, temos
dz =
=(
∂f
∂f
(x0 , y0 )dx +
(x0 , y0 )dy
∂x
∂y
∂f
∂f
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 )) · (dx, dy)
∂x
∂y
Assim, se f é diferenciável em (x0 , y0 ) definimos a derivada de f em (x0 , y0 )
por
f 0 (x0 , y0 ) = (
∂f
∂f
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 )) = ∇f (x0 , y0 )
∂x
∂y
Exercı́cios
1. Calcule o gradiente de f;
(a) f (x, y) = x2 y
(b) f (x, y) = ex
(c) f (x, y) =
2 −y 2
x
y
40