Lugares geométricos básicos I
MA13 - Unidade 5
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
Definição
Lugar Geométrico da propriedade P é o conjunto de todos os pontos
que possuem essa propriedade.
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A circunferência
Dados o ponto O e o segmento r , a circunferência de centro O e
raio r é o lugar geométrico dos pontos que distam r de O.
b
A
r
b
O
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A mediatriz
A mediatriz do segmento AB é a reta perpendicular a esse
segmento que passa pelo seu ponto médio.
A mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos que
equidistam das extremidades do segmento.
P
b
b
A
b
b
M
B
Demonstração
a) Todo ponto da mediatriz do segmento AB equidista de A e B.
Seja r a mediatriz de AB, M o ponto médio de AB e seja P um
ponto de r .
Os triângulos PMA e PMB são congruentes (LAL). Logo,
PA = PB.
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b) Todo ponto fora da mediatriz não equidista de A e B.
b
Q
b
A
P
b
b
b
M
B
Seja P um ponto que não pertence à mediatriz r do segmento AB.
Imagine que P está no semiplano de r que contém B.
Trace PA e PB. O segmento PA corta r em Q.
Trace QB. Como Q pertence a r então QA = QB pelo item
anterior.
No triângulo PQB a desigualdade triangular dá PQ + QB > PB.
Isto quer dizer que PQ + QA > PB, ou seja, PA > PB.
Um enunciado equivalente é: Um ponto equidista de dois pontos A
e B se, e somente se, pertence à mediatriz do segmento AB.
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A bissetriz
A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que
equidistam dos lados desse ângulo.
B
b
b
P
b
O
b
A
A demonstração fica para o leitor.
Atenção:
Um enunciado equivalente é: Um ponto equidista dos lados de um
ângulo se, e somente se, pertence à bissetriz desse ângulo.
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Problema
São dados dois pontos fixos A e B. Determine o lugar geométrico
do ponto P sabendo que o ângulo APB é reto.
P
b
A
b
b
b
M
B
b
C
Resposta
O LG é a circunferência de diâmetro AB, exceto os pontos A e B.
Sugestão para demonstração
Assinale o ponto M, médio de AB.
Prolongue PM de um segmento MC igual a PM.
Analise o quadrilátero PACB.
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Mediana relativa à hipotenusa
No triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale
metade da hipotenusa.
P
b
b
A
b
M
b
B
A demonstração decorre do problema anterior.
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Problema
Se em um triângulo ABC a mediana relativa ao vértice A é igual à
metade do lado BC então esse triângulo é retângulo em A.
Solução:
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