USP/ICMC/SMA -8¯a Lista de Exercı́cios de SMA-300 - Geometria Analı́tica
Professor: Claudio Martins Mendes
04.06.2009
1. Encontre o lugar geométrico dos pontos P do plano xy tais que
r:x=4
2. Encontre o lugar geométrico dos pontos P do plano xy tais que
r:x=4
d(P, F )
1
= , onde F (1, 0) e
d(P, r)
2
d(P, F )
= 2, onde F (1, 0) e
d(P, r)
3. Considere a circunferência x2 + y 2 = 4 e o ponto A = (4, 0). Seja P um ponto movendo-se fora
do cı́rculo tal que sua distância à A seja igual a sua distância à circunferência. Encontre uma
equação do lugar geométrico descrito pelo ponto P . Este lugar geométrico é uma cônica? Em
caso afirmativo, identifique-o.
√
√
4. Discuta a equação e trace o gráfico de x2 + 2 3xy + 3y 2 + 8 3x − 8y + 32 = 0.
5. Desenhe o gráfico
√ da cônica representada por
2
2
(a) x + 4y + 3 3xy − 1 = 0
(b) x2 + 4y 2 + 4xy − 1 = 0
6. Reduza a equação à forma mais simples, através de translação eventual e rotação. Dê o ângulo
de rotação. Descreva √
o conjunto
√ representado.
2
2
(a) x + y − 2xy − 8 2x − 8 2y = 0
(b) 19x2 + 6xy + 11y 2 + 38x + 6y + 29 = 0
(c) 3x2 + 4xy + y 2 − 2x − 1 = 0
7. Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias ao ponto
1
A = (2, 0) e à reta y = x estão numa razão constante igual a √ . Identifique o lugar geométrico.
2
8. Determinar a equação do lugar geométrico determinado pelos pontos P (x, y), centro das circunferências tangentes às circunferências x2 + y 2 = 1 e x2 + y 2 − 4x − 21 = 0. Diga que tipo
de curva é.
9. Determinar a equação do lugar geométrico descrito por um ponto P que se move tal que sua
distância a uma reta fixa L seja igual a distância de um ponto fixo A ao pé da perpendicular
à L determinada por P . Identifique o lugar geométrico. Sugestão: Visando facilitar, escolha um
conveniente sistema de coordenadas.
10. A órbita da Terra em torno do Sol é uma elı́pse, com o Sol em um dos focos. A menor distância
do Sol a Terra (centro a centro) é de 93.000.000 milhas e a maior é de 96.000.000. Qual a
excentricidade da órbita terrestre? Todas as órbitas planetárias do sistema solar são elı́pses,
com o Sol como um dos focos.
11. Se A é um ponto qualquer no interior de um cı́rculo de raio r , ache o lugar geométrico dos
pontos P tais que suas distâncias a A e a circunferência sejam iguais.
12. Determinar a equação e estudar a curva lugar dos pontos do plano cuja razão das distâncias a
dois pontos fixos distintos é constante igual a K.
13. Seja P um ponto movendo-se no semiplano superior, fora do cı́rculo de centro na origem e raio
1, tal que sua distância ao cı́rculo seja igual à sua distância ao eixo x. Qual é o lugar geométrico
descrito pelo ponto P ?
14. Determinar a equação do lugar geométrico descrito por um ponto P (x, y, z) que se move tal
que sua distância à reta r : X = (0, 0, 0) + t(0, 0, 1) seja igual à distância do ponto A = (0, 1, 0)
ao pé da perpendicular à r determinada por P . Dê um nome para o L.G.. Faça um desenho.
15. Determine a equação da superfı́cie gerada pelas retas que passam pelo ponto P (2, 0, 0) e se
apoiam na circunferência de equação y 2 + z 2 = 1, x = −1.
16. Mostre que os lugares geométricos descritos abaixo são superfı́cies esféricas e determine seu
centros e seus raios:
(a) L.G. dos pontos cuja distância à origem é o dobro de sua distância a A = (10, 0, 0).
−−→ −−→
(b) L.G. dos pontos X tais que P X ⊥ QX. Dados: P = (1, 1, 0) e Q = (0, 1, 0)
17. Seja P um ponto movendo-se no semiespaço z ≥ 0, fora da esfera de centro na origem e raio
1, tal que sua distância à esfera seja igual à sua distância ao plano z = 0. Qual é o lugar
geométrico descrito pelo ponto P ? Desenhe-o.
18. Determine a equação da superfı́cie esférica tangente aos planos π1 : x + y + z − 3 = 0 e
π2 : x + y + z − 9 = 0, sabendo-se ainda que seu centro pertence à reta y = 2x, z = 3x.
19. Encontre uma equação da superfı́cie cônica que tem por base a circunferência x2 +y 2 = 4, z = 0
e por vértice o ponto V (0, 3, 3). Desenhe a superficie.
20. Obtenha uma equação da superfı́cie definida como reunião das retas que se apoiam no eixo x e
na circunferência x2 + y 2 = 1, z = 2, mantendo-se paralelas ao plano x = 0. Faça um desenho.
Esta superfı́cie é uma quadrica?
21. Determinar o lugar geométrico dos pontos P , do espaço, tais que 2.d(P, F ) = d(P, π), onde
F = (0, −1, 0) e π é o plano de equação y = −4. Este lugar geométrico pode ser obtido por
rotação de uma curva ? Qual curva ? Qual eixo de rotação ?
Algumas Respostas:
(x − 5)2 y 2
x2 y 2
+
= 1 - Elı́pse
(2)
−
= 1 - Hipérbole.
4
3
4
12
(3) Um ramo de hipérbole
(4) Parábola. X 2 = 4(Y − 2), θ = 600
π
X2
Y2
(5a) Hipérbole. θ = .
−
=1
(5b) Duas retas paralelas.
3
2/11
2
π
(6a) Parábola. θ =
(6b) Vazio. tgθ = −3. t2 + 2w2 + 1 = 0
4
(6c) Duas retas concorrentes.
(7) Elı́pse. 3x2 + 3y 2 + 2xy − 16x + 16 = 0
(1)
(8) Duas elı́pses.
p
p
p
p
x2 + y 2 + (x − 2)2 + y 2 = 6 ou
x2 + y 2 + (x − 2)2 + y 2 = 4
(9) x2 − y 2 = a2 . Hipérbole equilátera [reta L = eixo y e A(a, 0) ]
1
(11) Elı́pse, com focos sendo A e o centro da circunferência.
(10)
63
(12) K = 1 reta (mediatriz) K 6= 1 - circunferência.
(13) x2 = 2(y + 1) - parte da parábola com vértice em (0, −1
)
2
(14) x2 + y 2 − z 2 = 1
(15) Cone: 9y 2 + 9z 2 = (x − 2)2
20
1
(16a) ( 40
, 0, 0),
(16b) ( 12 , 1, 0),
(17) x2 + y 2 = 2(z + 12 ), z ≥ 0.
3
3
2
(18) (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 3
(19) Cone: 9x2 + 9(z − y)2 = 4(z − 3)2
2
2
2
(20) 4y = z (1 − x ). Não.
x2 y 2 z 2
y2 z2
(21)
+
+
= 1 - Elipsóide. Sim. Elı́pse
+
=1,x=0
3
4
3
4
3