UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
DISCIPLINA CÁLCULO AVANÇADO - PPGME0039 - 1o
SEMESTRE DE 2014 - PROF. JOÃO RODRIGUES
10a LISTA DE EXERCÍCIOS
(APLICAÇÕES INVERSAS E IMPLÍCITAS)
1. Mostre que um difeomorfismo local f : U ⊂ RM → RM é um difeomorfismo
global do aberto U sobre um aberto V se, e somente se, f é injetiva.
2. Mostre que se f : U ⊂ RM → RN é diferenciável no ponto a ∈ U , com
a ponto de mı́nimo local de x 7→ |f (x)| e f 0 (a) : RM → RN é sobrejetiva,
então f (a) = 0.
3. Seja K ⊂ U ⊂ RM o conjunto dos pontos crı́ticos da função f ∈ C 2 (U, R).
Se a matriz hessiana
2
∂ f
(x)
∂xi ∂xj
é invertı́vel para todo x ∈ K, mostre que K é enumerável.
4. Se K for limitado no exercı́cio anterior, mostre que K é finito.
5. Mostre que o inverso de um difeomorfismo vertical h : RM +N → RM +N é
ainda vertical.
6. Prove que toda submersão f : U ⊂ RM → RN de classe C 1 é uma aplicação
aberta, isto é, f (A) ⊂ RN é aberto sempre que A ⊂ RM for aberto.
7. Mostre que toda transformação linear T : RM → RN sobrejetiva é uma
aplicação aberta.
8. Dizemos que uma aplicação f : U ⊂ RM → RN é um homeomorfismo local
se para cada x ∈ U existe δ > 0 tal que f aplica Bδ (x) homeomorficamente
em f (Bδ (x)) ⊂ RM . Mostre que todo homeomorfismo local é uma aplicação
aberta.
9. Mostre que se a aplicação diferenciável f : U ⊂ RM → RN é tal que f 0 (x)
é sobrejetiva para algum x ∈ U , então M ≥ N . Por outro lado, se f 0 (x) é
injetiva, então M ≤ N .
10. Seja f = (f1 , . . . , fN ) : U ⊂ RM → RN de classe C 1 . Prove que f é uma
submersão se, e somente se, em cada ponto x ∈ U os vetores
∇f1 (x), . . . , ∇fN (x)
são linearmente independentes.
11. (Forma Local das Imersões) Dizemos que uma aplicação diferenciável
f : U → RM +N , definida no aberto U ⊂ RM , é uma imersão quando
f 0 (x) : RM → RM +N é injetiva para todo x ∈ U .
(a) Dê exemplos de imersão;
(b) Mostre que se uma imersão f ∈ C k (U, RM +N ), então, para cada x ∈ U ,
existem abertos Z ⊂ RM +N com f (x) ∈ Z, V ⊂ RM com x ∈ V , W ⊂ RN
com 0 ∈ W e um difeomorfismo h : Z → V × W de classe C k , tal que
h(f (x)) = (x, 0), ∀ x ∈ V.
12. Seja f = (f1 , . . . , fM +N ) : U ⊂ RM → RM +N de classe C 1 . Prove que f é
uma imersão se, e somente se, em cada ponto x ∈ U os vetores
∂f
∂f
(x), . . . ,
(x),
∂x1
∂xM
com
∂f
(x) :=
∂xj
∂f1
∂fM +N
(x), . . . ,
(x) , j ∈ {1, . . . , M }
∂xj
∂xj
são linearmente independentes.
13. Seja f : U ⊂ RN → RN uma aplicação diferenciável. Mostre que as
afirmações abaixo são equivalentes:
(i) f é uma imersão;
(ii) f é uma submersão;
2
14. Seja U ⊂ RN um conjunto aberto de matrizes N × N . Prove que a função
det : U → R é uma submersão se, e somente se, nenhuma matriz em U
tem posto menor ou igual a N − 2. Recorde que o posto de uma matriz
quadrada A de ordem N é o maior natural M ≤ N tal que existe uma
submatriz quadrada B de A, de ordem N , tal que detB 6= 0.
15. (Exemplos de superfı́cies) Para este exercı́cio necessitaremos de algumas
definições:
1 - Um conjunto S ⊂ RN é dito uma superfı́cie diferenciável de dimensão
M e classe C k quando todo ponto p ∈ S está contido em algum aberto
U ⊂ RN tal que V = U ∩ S é a imagem de uma parametrização ϕ : V0 → V
de dimensão M e classe C k .
2 - Uma parametrização de dimensão M e classe C k é uma imersão ϕ :
V0 → V de classe C k que também é um homeomorfismo de V0 ⊂ RM em V .
3 - Dizemos que um ponto c ∈ RN é um valor regular de uma aplicação
diferenciável f : RM → RN quando, para todo x ∈ f −1 (c), a derivada
f 0 (x) : RM +N → RN é uma transformação linear sobrejetiva.
2
Seja c ∈ RN um valor regular da aplicação f : U → RN , de classe C k
no aberto U ⊂ RM +N . Mostre a imagem inversa S=f −1 (c) é uma superfı́cie
de classe C k e dimensão M em RM +N .
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