UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ
Coordenação de Matemática
Lista 05 - Estruturas Algébricas II - 2014.2
Professor Márcio Nascimento
Definição 1 (Grupo) Seja G um conjunto não vazio e ∗ uma operação binária em G. Dizemos que (G, ∗)
compõe a estrutura algébrica grupo ou, simplesmente, que G é um grupo, se:
(i) Vale a associatividade de ∗ em G;
(ii) Existe um elemento neutro em G com relação a operação ∗, isto é, existe x0 ∈ G tal que x ∗ x0 = x e x0 ∗ x = x
para todo x ∈ G;
(iii) Para cada elemento x em G existe o seu simétrico com relação a operação ∗, ou seja, para cada x ∈ G, existe
x0 ∈ G tal que x ∗ x0 = x0
Definição 2 (Grupo Abeliano) Um grupo no qual vale a comutatividade com relação a operação.
Exercı́cios
1. Em cada item a seguir, decida se o par (conjunto, operação) indicado forma um grupo (e também
grupo abeliano):
(a) (R, +), (Q, +), (N, +), (Z, +), (C, +).
(b) (R, •), (Q, •), (N, •), (Z, •), (C, •) onde • é a multiplicação usual.
(c) O conjunto das matrizes 2 × 2 com entradas reais com a soma usual de matrizes.
(d) Idem com o produto usual de matrizes.
(e) O conjunto dos polinômios de grau exatamente 2 com a soma usual de polinômios.
(f) Idem com o produto usual de polinômios.
(g) Idem a composição de funções.
(h) O conjunto de todos os racionais com denominador ı́mpar, com a soma usual dos
racionais.
(i) Idem com a multiplicação.
(j) {1, −1} com a divisão.
(k) O conjunto dos números inteiros com a subtração.
(l) {2m 3n ; m, n ∈ Z} com a multiplicação.
(m) O conjunto de todas as aplicações f : X −→ G onde X é um conjunto e (G, ∗) é um grupo
(fixos), com a operação
f ~ g : X −→ G
x 7→ ( f ~ g)(x) = f (x) ∗ g(x)
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(n) Um espaço vetorial V com a operação +.
(o) O subconjunto das matrizes invertı́veis de ordem n × n, com a multiplicação usual de
matrizes.
(p) O conjunto de todas as funções pares com a adição de funções.
2. Seja G um grupo com uma operação ∗. Mostre que todo elemento de G é regular, isto é, valem
as leis do cancelamento (a direita e a esquerda).
3. Dado um grupo (G, ∗) mostre que o elemento neutro é único. Mostre também que dado um
elemento qualquer a ∈ G, o seu inverso é único.
4. Seja (G, ∗) um grupo. Mostre que a equação x ∗ a = b possui única solução em G.
5. Seja (G, ∗) um grupo. Dados a, b ∈ G, mostre que (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 .
6. Seja (G, ∗) um par (conjunto, operação) tal que
(i) A operação ∗ é associativa;
(ii) Existe um elemento identidade a esquerda e em em G, isto é, e ∗ x = x para todo x ∈ G.
(iii) Para cada a ∈ G, existe um inverso a esquerda a0 em G tal que a0 ∗ a = e
Mostre que, e é também elemento neutro a direita e que a0 é também elemento inverso a direita
para cada a e conclua que tais axiomas definem (G, ∗) como um grupo. Veja que tais axiomas,
aparentemente, parecem ser mais fracos que os de grupo, no entanto, são suficientes.
7. Prove que um conjunto não vazio G, com uma operação ∗ associativa tal que
a∗x=b
e
y∗a=b
têm soluções em G quaisquer que sejam a, b ∈ G, é um grupo.
8. Seja (G, ·) um grupo. Considere a operação ∗ em G definida por a ∗ b = b · a, onde a, b ∈ G. Mostre
que (G, ∗) é um grupo e que é isomorfo1 ao grupo (G, ·). [Sugestão: considere a aplicação φ,
onde φ(a) = a−1 , a ∈ G.]
9. Seja G = { f : S −→ S ; f bijeção}. Considere S = {1, 2, 3, 4}. Descreva o conjunto S4 de todas as
bijeções f : S −→ S.
10. Sejam (G, ∗) e (H, ) grupos com identidades eG , eH respectivamente. Defina em G × H a seguinte
operação:
(G × H) × (G × H) −→ G × H
((g, h), (g0 , h0 )) 7→ (g, h) o (g0 , h0 ) = (g ∗ g0 , h h0 )
(a) Mostre que vale a lei associativa em (G × H, o).
(b) Encontre o elemento neutro de (G × H, o).
(c) Para cada (g, h) ∈ G × H, encontre seu inverso.
(d) Mostre que se G, H são grupos abelianos, então G × H é grupo abeliano.
11. Prove que se G é um grupo então ∆ = {(a, b) ∈ G × G ; a = b} é um subgrupo de G × G.
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Sejam (G, ∗), (G0 , ·) grupos. Uma aplicação f : G −→ G0 é dita um homomorfismo quando f (a ∗ b) = f (a) · f (b). Quando,
além de homomorfismo, f é bijeção, dizemos que f é um isomorfismo entre os grupos G e G0 ou, equivalentemente, que os
grupos G e G0 são isomorfos.
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12. Seja F o conjunto de todas as funções reais com domı́nio R e seja F̃ o subconjunto de F formado
pelas funções tais que f (x) , 0 para todo x ∈ R. Nos itens abaixo, determine se o dado
subconjunto de F com operação induzida é (1) subgrupo do grupo F com respeito a adição, (2)
subgrupo do grupo F̃ com respeito a multiplicação.
(a) O subconjunto F̃.
(b) O subconjunto de todas as funções f ∈ F tais que f (1) = 0.
(c) O subconjunto de todas as funções f ∈ F̃ tais que f (1) = 1.
(d) O subconjunto de todas as funções f ∈ F̃ tais que f (0) = 1.
(e) O subconjunto de todas as funções f ∈ F̃ tais que f (0) = −1.
(f) O subconjunto de todas as funções constantes de F.
13. Mostre que se H e K são subgrupos de um grupo abeliano G, então
{hk ; h ∈ H, k ∈ K}
é um subgrupo de G.
14. Prove que, se G é um grupo abeliano com elemento identidade e então todos os elementos x ∈ G
que satisfazem x2 = e formam um subgrupo H de G.
15. Mostre que um conjunto não vazio H de um grupo G é um subgrupo de G se, e somente se,
ab−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H. Essa é uma caracterização compacta de subgrupos.
16. Sejam (G, ∗), (G0 , ·) grupos e seja φ : G −→ G0 um isomorfismo. Escreva uma prova que convença
um incrédulo de que se H é um subgrupo de G, então φ(H) = {φ(h) ; h ∈ H} também é um
subgrupo de G0 . Isto é, um isomorfismo leva subgrupo em subgrupo.
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