Progressões – Vestibular Pág. 632
Prof. Jefferson Ricart Pezeta –
Alternativa e.
Por se tratar de um exercício que usa
geometria, é interessante, e ajuda, imaginar
a figura proposta, no caso deste exercício
um triângulo.
Sabendo que os lados deste triângulo
formam uma PA, temos os termos:
Alternativa e.
Já trabalhamos vários exercícios semelhantes
a este em sala de aula. Transformarmos todos
os elementos em a1 a partir do termo geral de
uma PA an=a1+(n-1).r obtemos o seguinte
sistema:
Resolvendo o sistema chegamos a conclusão
de que o valor da razão r é igual a -4. Desta
forma, basta substituirmos 4 pela razão na
segunda linha do sistema.
Em uma PA de 3 elementos, a soma dos
extremos é igual ao dobro do termo central.
Desta forma, temos:
Resolvendo, chegamos a uma equação de 2º
grau, a qual nos permitirá concluir o valor de
x.
Basta então substituirmos x por 4 para
obtermos os valores dos lados do triângulo.
Apenas um detalhe: O enunciado não solicita
os lados, mas sim o perímetro. Assim sendo,
para concluir o exercício, temos:
As informações do enunciado nos permitem
elaborar o seguinte sistema:
Sabendo-se que, pelo termo geral de uma
PA, a6=a1+5r, a16=a1+15r, a4=a1+3r,
a2=a1+r e 4a2=4a1 + 4r, temos o sistema:
Imaginemos o triângulo e seus ângulos
representando uma PA.
Temos 3 propriedades as quais nos ajudarão
na resolução deste exercício:
a) Em uma PA de 3 elementos, a soma dos
extremos é igual ao dobro do termo central.
b) Esta não é uma propriedade, mas uma
informação do enunciado. O ângulo C é igual a
Agora que temos o primeiro termo e a razão, podemos
definir os termos da PA para buscarmos a solução do
problema.
4 vezes o ângulo A.
c) A soma dos ângulos internos de um
triângulo vale 1800.
Assim sendo, temos:
Substituindo II em I temos:
Substituindo II e IV em III temos:
Basta então resolver a equação acima para
determinar o valor do ângulo A.
Alternativa c.
Matematicamente podes definir interpolar
com intercalar.
Temos aqui uma PA de 9 termos, os dois
extremos 10 e 98 e os 7 termos aritméticos
entre eles.
Desta forma, temos os seguintes elementos
na PA.
Alternativa a.
Sabemos que temos aqui uma PA composta
por números ímpares de 1 a 51.
Desta forma, temos os seguintes elementos:
Para efetuarmos a soma, precisamos da
quantidade de elementos da PA. A partir do
termo geral, temos:
Se temos a1, a9, e n, a partir do termo
geral da PA podemos obter o valor de r.
Agora que temos o valor de n, podemos usar
o termo da soma de uma PA para chegarmos
ao valor solicitado pelo exercício.
Sendo a PA uma PA de 9 elementos, o termo
central é a5. Aplicando-se o termo geral,
podemos chegar ao valor procurado.
Usando o termo da soma de uma PA, temos:
Sabendo-se que a soma é 16 e
simplificando-se o 8 com o 2, obtemos:
Alternativa e.
Este é um exercício que exige raciocínio e
calma na interpretação do enunciado. A
melhor maneira para iniciar é fazer o desenho
conforme proposta do enunciado (Usei a linha
mais espessa para representar azul e a linha
mais fina para representar vermelha).
Passando-se o 4 para a direita da igualdade
e dividindo 16 por 4, temos:
Sabemos que a8 pode ser escrito como
a1+7r. Desta forma, por substituição,
temos:
O exercício já informa que a razão é igual a 2. Desta forma, substituindo r por -2,
obtemos:
Agora que temos a1 e a razão, fica fácil
calcular o valor do sexto termo, ou seja, de
a6.
Sendo cada triângulo obtido a partir do ponto
médio do triângulo anterior, temos que o
perímetro de cada triângulo é a metade do
anterior. Desta forma, sabendo que os lados
do primeiro triângulo valem 6cm, temos:
Observe que o valor de q, ou seja, a razão
desta PG, é a mesma para ambos os
triângulos.
Trata-se de uma PG infinita. Desta forma,
usaremos a soma de uma PG infinita.
S
a1
1 q
Observe que o perímetro de azul é o dobro do
vermelho. Desta forma, podemos concluir que:
Alternativa d.
O primeiro passo é definir quantos e quais
são os múltiplos pares de 7. Desta forma, se
subtrairmos 2500 de 100 e dividirmos por
14, termos que o termo a1 é igual a 1008,
sendo a razão igual a 14.
Alternativa b.
A primeira informação importante é de que o
valor de n não pode ser zero.
Para calcularmos a soma precisamos do
valor de n. Podemos obtê-lo a partir do
termo geral.
O enunciado solicita a soma dos 20 primeiros
termos. Desta forma, precisamos saber o valor
de a20.
Agora que já temos os valores de a1, an, e
n, podemos efetuar a soma desta PA.
Agora que temos os valores de a1, a20 e n,
podemos calcular a soma dos 20 primeiros
termos desta PA.
Alternativa c.
Sabendo o valor de a17 e da razão,
podemos calcular o valor de a1.
Alternativa b.
Se observarmos a quantidade de bolas em
cada sequência, podemos concluir que se trata
de uma PA com as seguintes características:
Como o enunciado solicita o valor da soma
dos 5 primeiros termos, devemos calcular o
valor de a5.
Muito bem. Agora já temos todos os
elementos para calcular a soma dos 5
primeiros termos.
A partir do enunciado, podemos determinar os
valores dos primeiros termos desta seqüência
e, conseqüentemente, o valor da razão
A partir das informações acima, podemos
calcular quantas bolinhas há na 10ª
sequência.
A quantidade de bolinhas que ele possuía pode
ser calculada pela soma da PA obtida.
Alternativa c.
Observe que se trata de uma PA de razão 2
e primeiro termo igual a 3. Temos que 195 é
a soma de todos os termos.
Precisamos saber o valor de n. Desta forma,
vamos definir o valor de an.
Se usarmos a fórmula da soma dos termos
de uma PA, podemos obter o valor de n e,
conseqüentemente, a quantidade de dias
que ele levará para pintar 195m2.
Alternativa e.
O primeiro múltiplo de 3 a partir de 100 é 102,
pois se somarmos os algarismos de 102
termos 3, o qual é um múltiplo de 3. Desta
forma, podemos identificar os seguintes
elementos da PA.
Para que seja possível a soma desta PA, temos
que calcular o valor de n.
Agora que já temos os valores de a1, an e n,
podemos calcular a soma dos elementos desta
PA.
PPara
o cálculo do 1º andarilho, devemos considerar
que ele andará 10km no dia 1 e percorrerá
10km por dia.
Para o segundo andarilho, sabemos o valor de
a1 e a razão, ou seja:
Aplicando o termo geral de uma PA, temos:
Aplicando a distributiva e tirando-se o mínimo
obtemos:
Usando o termo geral da soma de uma PA,
obtemos:
Ainda tem dúvidas sobre algum exercício esta página. Poste no blog ou me pergunte em sala
de aula.