TESTE INTERMÉDIO DE MATEMÁTICA A
RESOLUÇÃO - VERSÃO 1
______________________________________________
GRUPO I
1.
O lado extremidade do ângulo que tem
coincide com o semieixo negativo
Uma vez que
1 radianos de amplitude
SB
1 ¸ $,"% , o lado extremidade do ângulo que tem $
radianos de amplitude é o que está representado na opção B.
Resposta B
2.
Na figura, estão representados o círculo trigonométrico, os lados
extremidade dos ângulos cujo seno é !," e, a tracejado, o lado
1
'
extremidade do ângulo que tem
radianos de amplitude.
Como se pode observar:
• no intervalo
1
1
’ # ß # “, a equação sen B œ !," tem uma
solução;
• no intervalo
’!ß 1“, a equação sen B œ !," tem duas soluções;
• no intervalo
’!ß ' “, a equação sen B œ !," tem uma solução;
• no intervalo
’ ' ß # “, a equação sen B œ !," não tem solução.
1
1
1
Resposta D
3.
Vector director da recta
< : Ð#ß !Ñ
Vector director da recta
= : Ð%ß $Ñ
lÐ#ß !Ñl œ #
Sendo
lÐ%ß $Ñl œ È %# $# œ &
α o ângulo das rectas < e =,
cos α œ
¸Ð#ß!Ñ Þ Ð%ß$Ѹ
œ
#‚&
)
#‚& œ !,)
pelo que
α ¸ $(°
Resposta A
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 1
4.
Ð!ß #ß $Ñ não pertence à recta <, logo este ponto não é a
intersecção da recta < com o plano α
O ponto
O ponto
Ð!ß !ß !Ñ pertence à recta < e ao plano α. Logo, a recta e o
plano não são estritamente paralelos. Assim, a intersecção da recta com
o plano ou é aquele ponto ou é a própria recta.
Vamos então considerar um vector director da recta e um vector
perpendicular ao plano
α e averiguar se são, ou não, perpendiculares.
Vector director da recta
< : Ð"ß #ß $Ñ
Vector perpendicular ao plano
α : Ð$ß !ß "Ñ
Ð"ß #ß $Ñ Þ Ð$ß !ß "Ñ œ $ ! Ð $Ñ œ !
Como os vectores são perpendiculares, conclui-se que a recta está
contida no plano.
Resposta D
5.
)!! B "!!! C , sujeito a
O objectivo é maximizar
Ú
Ý
ÝB € !
C€!
Û
Ý
Ý B C Ÿ "!!
Ü C Ÿ $!
Estas restrições excluem as opções C e D.
Na opção A,
W é o ponto Ð(!ß $!Ñ
Na opção B,
W é o ponto Ð"!!ß !Ñ
Como
)!! ‚ (! "!!! ‚ $! )!! ‚ "!! "!!! ‚ ! , podemos
concluir que a opção correcta é a opção A.
Resposta A
GRUPO II
1.1.
Área da região sombreada
œ
œ Área do quadrado ÒEFGHÓ Área do triângulo ÒET HÓ
Como
s œ B , tem-se:
s E œ T EF
HT
pelo que
HT œ
tg B œ
EH
HT
œ
#
HT
#
tg B
Então, a área da região sombreada é igual a
%
EH ‚ HT
#
œ %
# ‚ tg#B
#
#
œ % tg B
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 2
1.2.
#
% tg B
œ
#
Í tg B
Como
1.3.
œ
B −
"# # È$
$
# È$
$
Í tg B œ
Ó 1% ß 1# Ò ,
1
#
Í % tg B
"&
tem-se
œ %
Í
Í tg B œ È$
$
È$
1
Bœ $
"&
cosŠB # ‹ œ "(
# È$
$
"&
Í sen B œ "(
Í sen B œ "(
#
"&
sen# B cos# B œ " Í Š "( ‹ cos# B œ " Í
##&
Í cos# B œ " #)*
Como
B −
Vem, então:
Ó 1% ß 1# Ò ,
'%
Í cos# B œ #)*
tem-se
sen B
tg B œ cos B
)
cos B œ "(
"&
"(
)
"(
œ
œ
"&
)
Assim, a área da região sombreada é
#
% tg B
2.1.
œ %
#
"&
)
"'
%%
œ % "& œ "&
Como as coordenadas do ponto G são Ð%ß "Ñ e as coordenadas do ponto
Ð!ß #Ñ, vem EG œ Ð%ß "Ñ Ð!ß #Ñ œ Ð%ß $Ñ
Assim, o vector de coordenadas
Ð$ß %Ñ
tem a direcção da recta
E são
> e, portanto, o
%
declive desta recta é igual a $
Como a ordenada na origem da recta
> é #, a equação reduzida desta recta é
%
Cœ $ B#
2.2.
O raio do círculo é igual a
&, pelo que a área do círculo é #& 1
Como a área da região sombreada é
sombreada é
"
' da área do círculo.
Portanto, a amplitude do ângulo
#& 1
' , podemos concluir que a área da região
UGT é um sexto de $'!°, ou seja, é '!°
Vem, então:
"
#&
GT Þ GU œ ½ GT ½ ‚ ½ GU ½ ‚ cos '!° œ & ‚ & ‚ # œ #
Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Resolução - Página 3
3.1.
A altura da pirâmide é a cota do ponto
O ponto
Z , que é igual a '
E tem coordenadas ÐBß !ß !Ñ
E pertence ao plano EHZ , tem-se
Como o ponto
'B ") ‚ ! & ‚ ! œ #% Í 'B œ #% Í B œ %
Portanto, as coordenadas do ponto
Tem-se, então,
E são Ð%ß !ß !Ñ
EF œ ÈÐ& %Ñ# Ð$ !Ñ# Ð! !Ñ# œ È"!
A área da base da pirâmide é, portanto, igual a
O volume da pirâmide é igual a
3.2.
O ponto
"!
"!‚'
œ #!
$
Z é o ponto de intersecção de três planos: o plano de equação D œ ' , o plano
EHZ e o plano EFZ
ÚD œ '
Assim, resolvendo o sistema Û 'B ")C &D œ #% , obtemos as coordenadas do
Ü ")B 'C &D œ (#
ponto Z
ÚD œ '
ÚD œ '
ÚD œ '
Û 'B ")C &D œ #% Í Û 'B ")C $! œ #% Í Û 'B ")C œ &%
Ü ")B 'C &D œ (#
Ü ")B 'C $! œ (#
Ü ")B 'C œ %#
ÚD œ '
Í Û ")B &%C œ "'#
Ü ")B 'C œ %#
ÚD œ '
ÚD œ '
Í Û '!C œ "#! Í Û C œ #
Ü ")B 'C œ %#
Ü ")B "# œ %#
ÚD œ '
Í ÛC œ #
ÜB œ $
Deste modo, tem-se
3.3.
O plano
Z Ð$ ß # ß 'Ñ
EHZ é definido pela equação 'B ")C &D œ #%
Ð'ß ")ß &Ñ é perpendicular ao plano EHZ , sendo
portanto um vector director da recta <
Então, o vector de coordenadas
Uma condição que define a recta
< é
É referido no enunciado que o ponto
Como é verdade que
o ponto
F
C "&
B"
D &
œ ")
œ &
'
F tem coordenadas Ð&ß $ß !Ñ
&"
$ "&
!&
œ ")
œ & , conclui-se que a recta < contém
'
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